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2006年浙江高考理科数学真题及答案.doc
2006 年浙江高考理科数学真题及答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
（1）设集合 A=|x｜－1≤x≤2|，B=|x|0≤x≤4|，则 A∩B=
（C）．[0，4]
（B）．[1，2]
（D）．[1，4]
（A）．[0，2]
(2)已知
m
i
1
1
ni
，其中 m，n 是实数，i 是虚数单位，则 m+ni=
（A）1+2i
（B）1－2i
（C）2+i
（D）2－I
（3）已知
0
a
log,1
m
log
a
a
n
0
，则
（A）1＜n＜m
（D）n＜m＜1
(4)在平面直角坐标系中，不等式组
，表示的平面区域的面积是
（B）1＜m＜n
x
x
y
y
y
0
（C）m＜n＜1
2
2
0
0
（A） 24
（B）4
（C） 22
（D）2
(5) 双曲线
2
x
m
2
y
1
上的点到左准线的距离是到的左焦点距离的
1
3
，则 m=
（A）
（6）函数
（A）
1
2
y
1[
2
（C）[
]
1
2sin
2
3,
2
2
2
1
2
（B）
x
sin
2
3
2
,
Rxx
（C）
1
8
（D）
9
8
的值域是
（B）
3[
2
1,
2
2
2
]
2,
2
1
2
]
（D）
[
1
2
2,
2
1
2
]
（7）“a＞b＞0”是“
ab
2
a
2
b
2
”的
（A）充分而不必要条件
（C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
（8）若多项式
2
x
10
x
a
0
(
xa
1
)1
...
(
xa
9
9
)1
a
10
(
x
)1
10
,
则 a9=
（A）9
（B）10
（C）－9
（D）－10
（9）如图，O 是半径为的球的球心，点 A、B、C 在球面上，
OA、OB、OC 两两垂直，E、F 分别是大圆弧 AB 与
AC 的中点，则点 E、F 在该球面上的球面距离是
（A）
4
（B）
3
（C）
2
（D）
2
4
（10）函数 f：|1，2，3|→|1，2，3|满足 f（f（x）=f（x），则这样的函数个数共有
（A）1 个
（B）4 个
（C）8 个
（D）10 个
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分。
（11）设 Sn 为等差数列 na 的前 n 项和，若 S5=10，S10=－5，则公差为
（用数字作答）
（12）对 a、b∈R，记
|max
,
ba
|
最小值是
,
aa
,
ab
b
b
。
函数
)(
xf
||max
x
||,1
x
(||2
Rx
)
的
（13）设向量 a，b，c 满足 a+b+c=0，且（a－b）⊥c，a⊥b，若|a|=1，
则|a|2+|b|2+|c|2 的值是
。
（14）正四面体 ABCD 的棱长为 1，棱 AB∥平面α，则正四面体上的
所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是
三、解答题：本大题共 6 小题，每小题 14 分，共 84 分。解答应写出文字说明，证明过程或
。
演算步骤。
（15）如图，函数
y
2
sin(
),
x
Rx
(
0
其中
2
）
的图象与 y 轴交于点（0，1）
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设 P 是图象上的最高点，M，N 是图象
与 x 轴的交点，求
PM与 的夹角。
PN
（16）设 f（x）=3ax2+2bx+c，若 a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求证
（Ⅰ）a＞0 且
2
b
a
1
（Ⅱ）方程 f（x）=0 在（0，1）内有实根；
（17）如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面为直角梯形，，
AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面 ABCD，且 PA=AD=AB=2BC，
M、N 分别为 PC、PB 的中点。
（Ⅰ）求证：PB⊥DM；
（Ⅱ）求 BD 与平面 ADMN 所成的角。
（18）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有 2 个红球，2 个白球；乙袋装有 2
个红球，n 个白球，现从甲、乙两袋中任取 2 个球。
（Ⅰ）若 n=3，求取到的 4 个球全是红球的概率；
（Ⅱ）若取到的 4 个球中至少有 2 个红球的概率为
3
4
，求 n。
（19）如图，椭圆
2
2
x
a
2
2
y
b
(1
a
b
)0
与过点
A（2，0）、B（0，1）的直线有且只有一个公共点 T，，
且椭圆的离心率
3e
2
，
（Ⅰ）求椭圆的方程
（Ⅱ）设 F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，M 为
线段 AF2 的中点，求证：∠ATM=∠AF1T
（20）已知函数 f（x）=x3+x2，数列|xn|（xn＞0）
的第一项 x1=1，以后各项按如下方式取定：曲线 y=f（x）
在（xn+！，f（xn+！））处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn））
两点直线平行（如图）。求证：当 n∈N*时
（Ⅰ）
（Ⅱ）
2
n
x
1(
2
x
n
3
x
n
1
)
x
n
2
x
n
1
n
2
2
1
n
1(
2
)
2006 年浙江高考理科数学真题参考答案
一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题 5 分，共 50 分。
（1）A （2）C （3）A （4）B （5）C （6）C （7）A （8）D （9）B （10）D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 16 分。
（11） 1
三、解答题
（12）
3
2
（13）4
（14）
2[
4
1,
2
]
（15）本题主要考查三角函数的图象，已知三角函数值求角，向量夹角的计算等基础知识和基本的运算能力。
满分14分。
解：（Ⅰ）因为函数图象过点（0，1）
所以
sin2
即
,1
sin
1
2
.
因为0≤ ≤
，所以
2
.
6
（Ⅱ）由函数
y
2
sin(
x
及其图象，得
π
6
)
1M(-
6
,0),
1P(
3
,2),
所以
PM
1(
2
),2,
PN
,0),
5N(
6
1(
2
从而
),2,
cos
PM
,
PN
PM
PM
PN
PN
15
17
故<
PM ,
PN
> =
arccos
15
17
.
（16）本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识。满分14分。
证明：（Ⅰ）因为
)0(
f
c
所以
b
)1(
,0
,0
f
.0
3,0
2
a
cb
,0
得消去 ,
cba
由条件
;0 c
,0
得消去 ,
c
cba
2,0
ba
ba
b
2
.1
a
由条件
故
a
,0
（Ⅱ）抛物线
)(
xf
2
3
ax
2
bx
c
(
的顶点坐标为
b
3
a
3
ac
3
a
2
h
),
在
2
b
a
的两边乘以 得,
b-
3a
1
3
2
3
)1(
)0(
.0
,0
f
.
1
1
3
f
又因为
而
f
(
b
S
a
2
a
)
2
c
3
a
ac
,0
所以方程
)(
xf
0
在区间（
故方程
)(
在xf
)1,0(0
,0 ）与（
b
b
3a
3
a
内有两个实根
）内分别有一实根..
1,
.
（17）．本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力。满分
14分。
解：方法一：
（Ⅰ）因为N 是PB的中点，PA=AB,
所以AN⊥PB.
因为AD⊥面PAB，所以AD⊥PB.
从而PB⊥平面ADMN.
因为
DM 平面ADMN，
所以PB⊥DM.
（Ⅱ）取AD的中点G，连结BG、NG，
则BG//CD，
所以BC与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN
所成的角相等.
因为PB⊥平面ADMN，
所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角.
在Rt△BGN中，
sin
BGN
BN
BG
10
5
.
故CD与平面ADMN所成的角是
arcsin
10
5
.
方法二：
如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系
A
,xyz
设BC=1，则A（0，0，0），
P
),3,0,0(
B
),0,0,2(
M
1,1(
2
),1,
D
).0,2,0(
（Ⅰ）因为
PB
DM
3,1)(2,0,2(
2
)1,
=0，
所以PB⊥DM.
（Ⅱ）因为
PB
AD
)0,2,0()2,0,2(
=0
所以PB⊥AD.
又PB⊥DM.
因此<
PB,
DB
>的余角即是CD与平面ADMN.所成的角.
因为
cos<
PB,
DB
> =
PB
PB
DC
DC
=
10
5
所以C 与平面ADMN所成的角为
arcsin
10
5
.
（18）本题主要考查排列组合、概率等基本知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。满分14分。
解：（Ⅰ）记“取到的4 个球全是红球”为事件A.
(
)
AP
C
C
2
2
2
4
C
C
2
2
2
5
1
6
1
10
1
60
.
（Ⅱ）记“取到的 4 个球至多有 1 个红球”为事件 B，“取到的 4 个球只有 1 个红球”为事
件 B1，“取到的 4 个球全是白球”为事件 B2。
由题意，得
1
n
3
CC
2
2
C
n
2
31)
(
BP
4
1
1
CC
3
2
2
C
4
(
1)
BP
.
1
4
2
C
n
2
C
n
2
C
C
2
2
2
4
(3
n
2 2
n
)(2
；
n
)1
(
BP
2 )
C
C
3
3
3
4
(6
2
C
n
2
C
n
(
nn
)(2
n
2
)1
n
；
)1
所以
P（B）= P（B1）+P（B2）
(
nn
n
)(2
)1
n
(6
)1
n
)1
2 2
n
)(2
(3
n
1 ，
4
化简，得
7n2 －11n－6 = 0,
解得 n = 2，或
3n
7
（舍去），
故 n = 2.
（19）本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，考查解析几何的基本思想方
法和综合解题能力。满分 14 分。
x
2
解：（Ⅰ）过 A、B 的直线方程为
y
.1
因为由题意得
2
2
x
a
y
2
y
2
b
1
2
,1
有惟一解。
x
1
即
2
(
b
1
4
2
)
xa
2
2
2
baxa
2
0
有惟一解，
所以
2
2
(
aba
2
2
4
b
)4
0
（ab≠0），
故
a2 + 4b2 －4 = 0.
又因为
3
2
所以 a2 = 4b2 .
c
,
即
2
b
2
a
2
a
3
4
，
从而得 2a = 2，
2 b
，
1
2
2
x
2
6c
2
6(
2
F
2
2
y
2
.1
，
，
)0,
故所求的椭圆方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以
(
F
1
6
2
),0,
从而
1( M
6
4
).0,
2
x
2
y
由
所以
2
x
1
,1
2
y
1
2
1,1(T
2
解得 x1 = x2 = 1,
).
因为 tan∠AF1T
6
2
1
，
又
tan
TAM
1
2
tan,
TMF
2
2
6
，得
tan
ATM
2
6
1
1
2
1
6
因此 ∠ATM = ∠AF1T
6
2
，
1
（20）本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查
逻辑推理能力。满分 14 分。
证明：（Ⅰ）因为 f′(x) = 3x2 + 2x
所以曲线 y= f(x)在 (xa+1, f(xa-1))处的切线斜率 ka+1 = 3xa+1
2 + 2xa+1 .
因为过（0，0）和(xa， f (xa))两点的直线斜率是 xn
2 + xn .
所以 xn
2 +xn = 3xa+1
2 + 2xa+1
（Ⅱ）因为函数 h (x) = x2 + x 当 x > 0 时单调递增，
而 xn
2 +xn = 3xa+1
2 + 2xa+1
≤4xa+1
2 + 2xa+1
所以
x
a
2
x
a
1
,
即
1
x
a
x
a
1
2
.
因此
x
a
x
x
n
n
1
x
x
n
1
n
2
x
2
x
1
1(
2
)
n
1
.
又因为
x
2
n
x
n
(2
x
2
1
n
x
n
1
)
令 ya = xa
2 + xa.
1
2
.
y
a
y
1
n
则
因为 y1 = x1
所以
y
a
n
1
)
y
1
2 + x1 = 2,
1(
1(
2
2
1(
)
x
2
2
x
2
a
a
n
)
.
1(
2
1
n
)
x
a
a
因此
故
x
1(
2
n
2
.
)
n
2
.
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