2010年山东高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2010 年山东高考理科数学真题及答案本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项： 1．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2．第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。参考公式：锥体的体积公式： V 1 3 Sh 。其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高。如果事伯 A、B 互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）；如果事件 A、B 独立，那么 ( ABP )  ( ( BPAP )  ) 第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知全集 U=R，集合 ||{ xM  x }2|1  ，则 MCU （A）（C）（2）已知 1|{ x  x }3 （B） 1|{ x  x }3  1 或 x  }3 （D） |{ xx  1 或 x  }3  Rbaib ,(  ) ，其中i 为虚数单位，则  ba |{ xx 2 a i  i （A）-1 （B）1 （C）2 （D）3 （3）在空间，下列命题正确的是（B）平行于同一直线的两个平面平行（A）平行直线的平行投影重合（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行（4）设 )(xf 为定义在 R 上的奇函数，当 0x 时， )( xf  x 2  2 ( bbx  为常数），则  )1(f （A）3 （B）1 （C）-1 （D）-3 （5）已知随机变量服从正态分布 2N ,1( ) ，若 ( P )2  .0 023 ，则 P 2(   )2 

（A）0.477 （B）0.628 （C）0.954 （D）0.977 （6）样本中共有五个个体，其值分别为 3,2,1,0,a ，若该样本的平均值为 1，则样本方差为（A） 6 5 （B） 6 5 （C） 2 （D）2 （7）由曲线 y  x 2, y  3 x 围成的封闭图形面积为（A） 1 12 （B） 1 4 （C） 1 3 （D） 7 12 （8）某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A）36 种（B）42 种（D）54 种（C）48 种（9）设 }{ na 是等比数列，则“ a 1  a 2  a 3 ”是“数列 }{ na 是递增数列”的（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件（10）设变量 yx, 满足约束条件 x x x      2  10   8  y 5 y y （B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件 ,0  ,0 则目标函数 3  x ,10 4 y z  的最大值和最小值分别为（A）3，-11 （B）-3，-11 （C）11，-3 （D）11，3 （11）函数 y  2 x  2 x 的图象大致是（A）（B）（C）（D）（12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的 a  ( ), bvm ,  ( qp  ) 。令 a ⊙ b  mq  .np 下面说法错误的是（A）若 a 与b 共线，则 a ⊙ 0b （B） a ⊙ b b  ⊙ a （C）对任意的 (  有 , a R  ) ⊙ b ( a ⊙ )b （D） a( ⊙ b )  ( ba  ) 2 |  a 2 | | b 2 | 第Ⅱ卷（共 90 分）

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。（13）执行右图所示的程序框图，若输入 10x ，则输出 y 的值为（14）若对任意 x  ,0 则 a 的取值范围是。 x 3 2 x  x 1  。  a 恒成立，（15）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 cba , , ，若 a  ,2 b  sin,2 B  cos B  2 ，则角 A 的大小为。（16）已知圆 C 过点（1，0），且圆心在 x 轴的正半轴上，直被圆 C 所截得的弦长为 22 ，则过圆心  x : yl 线 1 且与直线l 垂直的直线的方程为。三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。（17）（本小题满分 12 分） 1 2 2sin x sin   cos 2 x cos   1 2 sin(  2  )  0)(   ，其图象过已知函数 )( xf  点 ). ( 6 1, 2 （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数 y  )(xf 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变，得到函数 y  )(xg 的图象，求函数 )(xg 在 ,0[  ] 4 （18）（本小题满分 12 分）上的最大值和最小值。已知等差数列 }{ na 满足： a 3  ,7 a 5  a 7  .{26 na } 的前 n 项和为 .nS （Ⅰ）求 4a 及 nS ；（Ⅱ）令 b n  1 2  n a 1 项和 .nT ( *Nn  ) ，求数列 }{ nb 的前 n （19）（本小题满分 12 分）如图，在五棱锥 P—ABCDE 中， PA 平面 ABCDE，， AB//CD AE//BC AC//ED ，，  ABC  ,45  AB  ,22 BC  2 AE  4 ，三角形 PAB 是等腰三角形。

（Ⅰ）求证：平面 PCD  平面 PAC；（Ⅱ）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小；（Ⅲ）求四棱锥 P—ACDE 的体积。（20）（本小题满分 12 分）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有 A、B、C、D 四个问题，规则如下： ①每位参加者计分器的初初始分均为 10 分，答对问题 A、B、C、D 分别加 1 分、2 分、 3 分、6 分，答错任一题减 2 分 ②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于 8 分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足 14 分时，答题结束，淘汰出局； ③每位参加者按问题 A、B、C、D 顺序作答，直至答题结束. 假设甲同学对问题 A、B、C、D 回答正确的概率依次为否相互之间没有影响. （Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率； 3 4 1, 2 1, 3 1, 4 ，且各题回答正确与（Ⅱ）用表示甲内当家本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望 E. （21）（本小题满分 12 分）如图，已知椭圆 2 2 x a  2 2 y b  (1 a  b )0 的离心率为 2 2 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 1, FF 2 为顶点的三角形的周长为 )12(4  ，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于项点的任一点，直线 1PF 和 2PF 与椭圆的交点分别为 A、 B 和 C、D. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线 1PF 、 2PF 的斜率分别为 1k 、 2k ，证明： k 1  k 2  1 ；（Ⅲ）是否存在常数，使得 AB  CD   AB  CD 恒成立？若存在，求的值；

若不存在，请说明理由. （22）（本小题满分 14 分） nx  ax  a 1  x  (1 Ra  ) . 时，讨论 )(xf 的单调性；已知函数（Ⅰ）当（Ⅱ）设 1)( xf  1a 2 )( xg  2 x  2 bx  .4 当 a  1 4 时，若对任意 1 x )2,0( ，存在 2 x ]2,1[ ，使 ( xf 1 )  ( xg 2 ) ，求实数b 的取值范围.

参考答案评分说明： 1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分。（1）C （2）B （3）D （4）D （5）C （6）D （7）A （8）B （9）C （10）A （11）A （12）B 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分。  （14）（13） 5 4 三、解答题（17）本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和 y    6 1[ 5 （15）（16）  3 0 x ) , 求解的能力，满分 12 分。 sin 2 sin   x 1 cos 2  cos x 2 x cos   2   1 2 cos  cos 1 2 sin(   2 )    )(0    ( ) f x 1 2 sin 2 sin 2 x   1 2 cos 2 cos )    cos 2 cos x x  解：（Ⅰ）因为所以 x  ( ) f x 1 2 1 sin 2 sin   2 1 (sin 2 sin 2 1 cos(2 2 ). x   x    又函数图象过点 ) 1  ( , 6 2 1 cos(2    2 6  ) 1,  )  所以 1 2 即 cos(   3 又 0    所以   . 3 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ( ) f x  到原来的 1 2 1 2 cos(2 x  ，将函数  ) 2 y  ( ) f x 的图象上各点的横坐标缩短，纵坐标不变，得到函数 y  ( ) g x 的图象，可知

( ) g x  f (2 ) x  1 2 cos(4 x   ), 3 因为 [0,  x  ] 4 [0, ]  所以 4 x 因此 4 x 故   1 2 y , [    2    ] 3 3 ) 1 cos(4   x 3  3  ] [0, 4 所以  ( ) g x 在上的最大值和最小值分别为 1 2 和  1 . 4 （18）本小题主要考查等差数列的基本知识，考查逻辑推理、等价变形和运算能力。解：（Ⅰ）设等差数列{ }na 的首项为 1a ，公差为 d ， a 由于 3  7, a 5  a 7  ， 26 a 所以 1  2 d  7,2 a 1  10 d  ， 26 a 解得 1 3, d  2. 由于 a n  a 1  ( n  1) , d S n  ( n a 1 a n )  2 所以 a n  2 n  1, S n  ( n n  2). （Ⅱ）因为 na 2 n  1 所以 2 1 4 ( n n   na  1) 因此 nb  1 4 ( n n  1)  1 1 ( 4 n  1  ). 1 n  1 3 b n    1 n 1  ) 1 n (1       b 1 1 2  b 2 1 2 ) (1  1 1n  T n 1 4 1 4 故    n n  4( 1) 所以数列{ }nb 的前 n 项和 T n  n n  . 1) 4(

（19）本小题主要考查空间中的基本关系，考查线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和几何体体积的计算，考查识图能力、空间想象能力和逻辑推理能力，满分 12 分。（Ⅰ）证明：在 ABC 中，因为 ABC  °，BC=4， 45 AB  2 2 所以 2 AC  2 AB  2 BC  2 AB BC   cos 45  8 因此 AC  2 2 故 2 BC  2 AC  2 AB 所以 BAC  090 又 PA  平面 ABCDE，AB//CD，所以 CD PA CD AC   , 又 PA，AC  平面 PAC，且 PA∩AC=A，所以 CD  平面 PAC，又 CD  平面 PCD，所以平面 PCD  平面 PAC。（Ⅱ）解法一：因为 APB 是等腰三角形，所以 PA AB  2 2 因此 PB  2 PA  2 AB  4 又 AB//CD，所以点 B 到平面 PCD 的距离等于点 A 到平面 PCD 的距离。由于 CD  平面 PAC，在 Rt PAC 中， PA  2 2, AC  2 2 所以 PC=4 故 PC 边上的高为 2，此即为点 A 到平面 PCD 的距离，所以 B 到平面 PCD 的距离为 2. 设直线 PB 与平面 PCD 所成的角为， h   2 4  ， 1 2 则 sin  h PB  又 [,0 ] 2  . 6   所以解法二：由（Ⅰ）知 AB，AC，AP 两两相互垂直，分别以 AB，AC，AP 为 x 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于 PAB 是等腰三角形，所以 PA AB  2 2

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