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openFOAM 编程日志单相不可压缩流动 How to Write CFD Codes with OpenFOAM Section1: Perform an Incompressible Singe Phase Flow Simulation CloudBird 2020 第Ⅱ版 Second Edition in 2020

故幾於道處眾人之所惡上善若水水善利萬物而不爭东摘西采初学者的笔记勘误请联系：cloudbird7@foxmail.com 获取最新修订版请访问我的 CSDN 博客：https://blog.csdn.net/CloudBird07

目录一控制方程与离散..................................................................................................................... - 1 - 1. 控制方程及计算难点......................................................................................................- 1 - 2. 动量方程的有限体积离散..............................................................................................- 2 - 3. 压力泊松方程的构建......................................................................................................- 5 - 二压力速度耦合算法................................................................................................................. - 8 - 1. 压力速度耦合算法概述..................................................................................................- 8 - 2. PISO 算法......................................................................................................................... - 8 - 1. SIMPLE/SIMPLEC 算法与 simpleFoam........................................................................- 11 - 1. SIMPLE 算法........................................................................................................... - 11 - 2. SIMPLEC 算法.........................................................................................................- 13 - 3. PIMPLE 算法与 pimpleFoam........................................................................................ - 15 - 1. PISO 算法和 SIMPLE 算法的讨论.........................................................................- 15 - 2. PIMPLE 算法...........................................................................................................- 17 - 附录..............................................................................................................................................- 19 - 附录 1 icoFoam 代码解析.................................................................................................- 19 - 附录 2 simpleFoam 代码解析.......................................................................................... - 23 - 附录 3 pimpleFoam 代码解析..........................................................................................- 25 - 附录 4 压力震荡与 Rhie-Chow 插值...............................................................................- 29 - 1. 离散的一维压力泊松方程................................................................................... - 29 - 2. 压力的数值震荡....................................................................................................- 31 - 3. Rhie-Chow 插值与其 openFOAM 实现............................................................... - 32 -

4. 梯度计算引起的数值震荡................................................................................... - 34 - 附录 5 icoFoam 与 pisoFoam 的区别..............................................................................- 35 - 附录 6 附加显式体积力源项的耦合算法........................................................................- 36 - 附录 7. UEqn.A()，UEqn.H()与 pEqn.flux()?...............................................................- 40 - 待补充内容................................................................................................................................. - 42 - 参考资料..................................................................................................................................... - 43 - 更新日志..................................................................................................................................... - 44 -

How to Write CFD Codes with OpenFOAM CLoudBird 一控制方程与离散注：本章内容整理自李东岳老师的 icoFoam 解析[1]，大部分符号与东岳老师的解析内容相通，但部分推导过程有所不同。 1. 控制方程及计算难点对于单相不可压缩流体的流动，系统的能量方程与动量方程不存在耦合关系，当不需要计算温度等能量参数时，可以无需求解能量方程。此时流动的控制方程为与连续性方程与动量方程（N-S 方程）： ∇∙U =0 ⋯⋯(1) U+∙(UU)−∙(∇U)=− ⋯⋯(2) 注意，对于不可压缩流动，密度可以提出到各算符之外，因此，为了简化表达，上述方程中 p 的单位为压力除以密度的单位，即 m2⋅s−2，若不单独指出，下文中出现的各类方程均作此处理。方程二中等号右侧各项从左往右依次是瞬态项，对流项，和扩散项（拉普拉斯项），其中的对流项的处理是 CFD 计算的难点。对于这一项，当速度待求时，UU 是两个未知量的积（注意，此处的求积是张量积，向量的张量积运算结果为一张量），存在强烈的非线性耦合，难以求解。通常可以选用非线性求解器对对流项进行求解，但 CFD 中往往使用线性化的方式进行处理。若记上标 n 为当前步的已知量，n+1 为下一步中待求的未知量，线性化即是将原来需要计算的∙( +1 +1)处理为∙( +1)，这样做的缺点是速度信息会有一定的滞后。 CFD 中的另一个计算难点是压力的求解。方程 1 是一个限制性方程，其无法直接求出速 - 1 -

How to Write CFD Codes with OpenFOAM CLoudBird 度，必须根据方程 2 才可以得到速度的计算结果。即方程 1 和 2 虽然是含有两个未知数的两个方程，但其显然缺乏求解压力的方程。如何构建关于压力的方程并与速度耦合求解是流动计算的关键。本文后面的所有内容基本上都是在处理这两个问题。 2. 动量方程的有限体积离散在本节中，将推导最基本的动量方程有限体积离散过程。本部分是理解 openFOAM 中离散格式具体设置内容的前提，其推导的结果也是下面推导各类压力速度耦合算法的基础。对于动量方程 2，将其线性化，并对瞬态项采用欧拉离散格式有：左右对有限体积（计算网格）和时间积分，各项为： +1− ∆ ∙( +1)=−+1 ⋯⋯(3) ) ⋯⋯(4) ( +1 ) ∆ )−∙(∇ +∙( +1 +1− ( +1− = ∆ )= )= +1 ( +1 ( +1∙) ⋯⋯(5) =∆ +1)= +1)= (∇ ( ∇ +1) ⋯⋯(6) =∆ ∙(∇ 其中，V 为计算网格的体积，下标 f 表示网格面上的值，为已知时间步的速度通量。 +1) ∆ (∇ 式 4，5 使用高斯定理得到，式 6 使用高斯定理的推论得到。压力项暂不进行有限体积离散处理，这是因为对压力梯度的离散可能会导致严重的数值震荡，实际上，动量方程右侧所有的梯度求解都有可能导致数值震荡，这部分内容将在附录中进行阐述。 - 2 -

How to Write CFD Codes with OpenFOAM CLoudBird 将式 4-6 带回式 3 可得： ∇ ( +1) ( +1− )+∆ ( +1) −∆ 在式 6 和式 7 中， ∇ +1为面法向梯度，对于正交网格，其值为： +1− +1 +1= ∇ ⋯⋯(8) =−∆+1 ⋯⋯(7) 其中下标 N 表示相邻网格的值，下标 p 表示当前网格的值。注意，上式仅对于正交网格成立，对于非正交网格并不成立。面法向梯度在 openFOAM 里的算符为 snGrad，对于 snGrad 项，需要指定其离散格式，对于非正交网格，必须指定非正交的离散格式。方程 5 中的 +1为面上的值，需要通过体心的值插值得到。假设采用中心离散的格式则有： +1= +1+ +1 2 ⋯⋯(9) 关于空间插值格式的更多内容，可以参考附录。将 8，9 式带入 7 可得： ( +1− )+∆ +1+ ( +1 2 =−∆+1 ⋯⋯(10) ) −∆ +1− +1 ( ) 整理可得： (∆+ 2 + +1 +( 2 − ) = ∆ −+1 ⋯⋯(11) ，=∆ ，= 令=∆+ 2 − 2 + +1=− +1+ +1 ⋯⋯(12) ) +1 ，则 10 式可化为： - 3 -

How to Write CFD Codes with OpenFOAM CLoudBird 显然，在给定时间步内，，，均是已知的值。以上过程虽然是通过将各项进行最简单的线性离散得到的，但其结论是普适的。无论采用何种离散格式，动量方程最终总可以写为式 12 的形式。如果待求解的问题是稳态问题，也可以得到类似的结果，只是方程中的系数=0, 会变为： = 2 + +1= ∆ +1=+1++1 2 +1= (+1 ) ⋯⋯(14) 方程 14 中+1也为面上的值，可按下面的式子计算： ⋯⋯(15) 为了之后讨论方便，我们将 openFOAM 中压力项的有限体积离散结果写在这里： ⋯⋯(13) 接下来，我们简单对有限体积离散过程中涉及到的离散格式及其 openFOAM 设置进行说明：我们将瞬态项U 处理为 +1− ∆ ，可以在 fvSchemes 文件中指定其他的时间离散格式。求解梯度时，最终转化为求解面上的物理量的值，例如式 15，对压力的梯度操作最终落实在了求解面上压力，这是求解梯度的高斯方法（即通过插值实现面值计算以求解梯度）。除了高斯法，还有其他方法可以求解梯度，可以在 fvSchemes 文件中设定。openFOAM 在 fvSchemes 文件中指定拉普拉斯项通常采用的形式为 Gauss 。在式 6 中我们可以清楚的看到，拉普拉斯项最后的计算中其实为一个系数的面值（如）与一个面法向梯度（如 ∇ +1）的计算。interpolationScheme 指定了系数的插值方式，snGradScheme 指定了面法向梯度的插值方式。对流项离散格式通常采用的指定格式为 Gauss , 从式 5 可以看出，对于对流项的计算，最后落到了面上值的计算，这里的 interpolationScheme 就是指定了面上值离散的方法。另 - 4 -

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