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2012年北京普通高中会考数学真题及答案.doc
2012 年北京普通高中会考数学真题及答案
第一部分 选择题（每小题 3 分，共 60 分）
在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．
，
1,4
0,1,2
B
（B） 4
，那么集合 A B 等于（ ）
（C）
2,3
（D）
1,2,3,4
1．已知集合
M
（A） 1
2．在等比数列 na 中，已知 1
a
22,
a
，那么 5a 等于
4
(B)8
(A)6
3．已知向量 (3,1),
a
(C)10
(D)16
，那么 2 +a b 等于（
( 2,5)
b
）
A.（－1,11）
B. （4,7）
C.（1,6）
D（5,－4）
的定义域是（ ）
2
x
y
4．函数
log ( +1)
5．如果直线3
(A)
x
0, (B) ( 1,+ )
y 与直线
0
mx
(A)
3
(B)
1
3
(C)
(C) 1, （ ） (D)
y 平行，那么 m 的值为（ ）
1,
1 0
1
3
(D) 3
6．函数 =sin
y
x 的图象可以看做是把函数 =sin
y
x 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原
来的
1
2
倍而得到，那么的值为（ ）
(A) 4
(B)
2
(C)
7．在函数
y
3
x ， 2x
y ，
y
1
2
log
2
(D) 3
x
， y
x 中，奇函数的是（ ）
(A)
y
3
x
(B)
y
2x
(C)
y
log
x
2
(D)
y
x
8．
sin
(A)
11
6
2
2
的值为（ ）
(B)
1
2
x
2
x
B.
9．不等式 2 3 +2 0
的解集是（
A.
C..
>1
x x
10．实数 lg 4+2lg5 的值为（ ）
x x
x
(C)
1
2
）
(D)
2
2
1
x
2
D.
x x
1,
或
x
2
(A) 2
(B)
5
(C)
10
(D) 20
11．某城市有大型、中型与小型超市共 1500 个，它们的个数之比为 1：5：9．为调查超市每日的零售额
情况，需通过分层抽样抽取 30 个超市进行调查，那么抽取的小型超市个数为（ ）
(B)
(A) 5
12．已知平面∥平面，直线 m 平面，那么直线 m 与平面 的关系是(
(D) 20
(C)
18
9
)
A.直线 m 在平面内
C.直线 m 与平面垂直
B.直线 m 与平面相交但不垂直
D.直线 m 与平面平行
13．在 ABC
中，
a ， 2
b ， 1c ，那么 A 的值是（
3
）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
6
14．一个几何体的三视图如右图
所示，该几何体的表面积是（ ）
A．3
B．8
C． 12
D．14
15．当 >0x 时，
2
x
的最小值是（
1
2
x
）
A． 1
B． 2
C． 2 2
D． 4
16．从数字 1,2,3,4,5 中随机抽取两个数字（不允许重复），那么这两个数字的和是奇数的概率为（ ）
A． 4
5
B． 3
5
D． 1
5
C． 2
5
1
y
x
y
2
y
x
0
6 0
17．当 ,x y 满足条件
时，目标函数 z
的最小值是（ ）
x
y
(A)
2
18．已知函数
A.
4
B.
0
( )
f x
(B) 2.5
x
2 ,
x
,
x x
C. 1或 4
(C)
3.5
(D)4
≥
如果 0(
f x ，那么实数 0x 的值为（ ）
2
)
0,
0.
D. 1或 2
(A)
4
(B)
0
(C)
1 或 4
(D)
1 或－2
19．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造。三年后，城市污水排放量由原来每年排放 125 万吨降
到 27 万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是（ ）
(A)
50%
(B)
(C)
30%
(D)
20%
40%
|
BC BA AC AC
)
20.在△ ABC 中，
（
2
|
，那么△ABC 的形状一定是（
）
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
第二部分
非选择题（共 40 分）
一、填空题（共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分）
21．已知向量 (2,3),
，且 a
a
b
(1,
)m
b ，那么实数 m 的值为
．
22．右图是甲、乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况
的茎叶图．那么甲、乙两人得分的标准差 S甲
S乙 （填<,>,=）
23．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的 a 的最大值为
24．数学选修课中，同学们进行节能住房设计，在分析气候和民俗后，设计出房屋的剖面图（如下图所示）．屋
．
顶所在直线的方程分别是
横坐标是
．
y
1=
2
+3
x 和
y
1=
x
6
+5
y(m)
屋顶
竖直窗户
O
A
x(m)
，为保证采光，竖直窗户的高度设计为 1m 那么点 A 的
开始
n=1
a
=15
输出 a
n=n+1
n>3
是
结束
否
二、解答题：（共 4 小题，共 28 分）
25．(本小题满分 7 分)
在三棱锥 P-ABC 中，侧棱 PA⊥底面 ABC,AB⊥BC,E,F 分别是 BC,PC 的中点．
(I)证明：EF∥平面 PAB;
(II)证明：EF⊥BC．
26．(本小题满分 7 分)
已知向量 =(2sin ,2sin )
x
a
x
， =(cos ,
x
b
sin )
x
，函数 ( )=
f x
a b ．
+1
(I)如果
( )=
f x
，求sin 4x 的值；
1
2
2
(II)如果 (0,
x
)
，求 ( )
f x 的取值范围．
27．(本小题满分 7 分)
已知图 1 是一个边长为 1 的正三角形，三边中点的连线将它分成四个小三角形，去掉中间的一个小三角形，
得到图 2，再对图 2 中剩下的三个小三角形重复前述操作，得到图 3，重复这种操作可以得到一系列图形．记
第 n 个图形中所有剩下的
．．．．．小三角形的面积之和为 na ，所以去掉的
．．．．．三角形的周长之和为 nb ．
(I) 试求 4a ， 4b ；
(II) 试求 na ， nb ．
28．(本小题满分 7 分)
已知圆 C 的方程是 2
x
2+
y
2 + =0
y m
．
(I) 如果圆 C 与直线 =0y 没有公共点，求实数 m 的取值范围；
(II) 如果圆 C 过坐标原点，直线l 过点 P(0，) (0≤ a ≤2)，且与圆 C 交于 A,B 两点，对于每一个确定的
a ，当△ABC 的面积最大时，记直线l 的斜率的平方为u ，试用含 a 的代数式表示u ，试求u 的最大值．
参考答案：
1、B
2、C
3、B
4、B
5、A
6、B
7、A
8、B
9、C
10、A
11、C
12、D
13、B
14、B
15、
B
17、A
18、D
19、B
20、C
21、
； 22、＞ ；23、45；24、 4.5 ；
16、B
2
3
25、(I)证明：∵E,F 分别是 BC,PC 的中点，∴EF∥PB．∵EF 平面 PAB,
PB 平面 PAB,∴EF∥平面 PAB;
(II)证明：在三棱锥 P-ABC 中，∵侧棱 PA⊥底面 ABC,PA⊥BC．∵AB⊥BC,
且 PA∩AB=A,∴BC⊥平面 PAB．∵PB 平面 PAB,∴BC⊥PB．
由（I）知 EF∥PB,∴EF⊥BC．
26、（I）解：∵ =(2sin ,2sin )
x
a
x
， =(cos ,
x
b
，∴ ( )=
f x
a b
+1
=2sin cos
x
x
2
x
+1
=sin 2
x
cos 2
x
．∵
( )=
f x
1
2
，∴
in 2
x
cos 2 =
x
，∴
1+2sin 2 cos 2 =
x ．∴
x
1
4
sin 4 =
x ．
sin )
x
1
2
2sin
1
4
(II)解：由（I）知 ( )=sin 2
f x
x
cos 2
x
= 2(
2
2
sin 2 +
x
x = 2(sin 2 cos +cos 2 sin
x
x
4
)
4
x
= 2 sin (2 + )
4
2
f x 的取值范围为 ( 1, 2]
．∵ (0,
∴ ( )
x
．
)
∴
4
<2 + <
x
5
4
4
∴
cos 2 )
2
2
2 0m
2
（ ）
可得： 2
x
28、（I）解：由 2
x
m
，即 <1m ．又∵圆 C 与直线 =0y 没有公共点，∴1
∴1
综上，实数 m 的取值范围是 0< <1m ．
(II)解：∵圆 C 过坐标原点，∴ =0m ．∴圆 C 的方程为 2
x
+
y
n
)
1
3
2
1 =1
y
2
（ ）
．∵ 2
+
x
<1m
，即 >0m ．
1 =1
m
表示圆，
y （ ） ，圆心 C（0,1），半径为 1．
1 =1
2
当 =1a 时，直线l 经过圆心 C，△ABC 不存在，故 [0,1)
由题意可设直线l 的方程为 = +
y kx a ，△ABC 的面积为 S．
1
2
|CA|·|CB|·sin∠ACB=
a
则 S=
1
2
(1,2]
．
sin∠ACB．∴当 sin∠ACB 最大时，S 取得最大值．
要使 sin∠ACB=
2
，只需点 C 到直线l 的距离等于
2
2
．即
|
a
2
k
1|
+1
2=
2
．
整理得 2
k
=2(
a
1)
2
1 0
．解得
1
a
2
2
或
a
1+
2
2
．
1 当
a
[0,1
2 当
(1
a
∵ =sin
y
x 是 (
,2]
]
[1+
2
2
时，sin∠ACB 最大值是 1．此时 2
k
2
2
2
2
,
上的减函数，∴当∠ACB 最小时，sin∠ACB 最大．
2
时，∠ACB (
)
,
2
(1,1+
2
2
,1)
．
)
)
2=2
a
a
4 +1
，即
u
2=2
a
a
4 +1
．
过 C 作 CD⊥AB 于 D，则∠ACD=
1
2
∠ACB．∴当∠ACD 最大时，∠ACB 最小．
∵sin∠CAD=
|CD|
|
|CA
=|CD|,且∠CAD
(0,
2
)
，∴当|CD |最大时，sin∠ACD 取得最大值，即∠CAD 最大．
∵|CD|≤|CP|,∴当 CP⊥l 时，|CD|取得最大值|CP|．
∴当△ABC 的面积最大时，直线l 的斜率 =0k ．∴ =0u ．
综上所述，
u
=
2
2
a
4 +1,
a
a
[0,1
0,
a
(1
2
2
2
2
,1)
]
[1+
2
2
,2]
(1,1+
2
2
)
．
]
[1+
2
2
,2]
，
u
2=2
a
a
4 +1
=2(
a
1)
2
1
,当 =2a 或 =0a 时，u 取得最大值 1．
i）
a
[0,1
ii）
(1
a
2
2
2
2
,1)
(1,1+
2
2
)
， =0u ．
由 i），ii）得u 的最大值是 1．
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