Functional Analysis Lecture
泛函分析 讲义
Victory won’t come to us unless we go to it.
整理:张敬信
整理时间:July 14, 2016
Email: zhjx_19@163.com
Version: 1.0
ElegantLaTeX
目 录
引 言
1 距离空间
1.1 距离空间的基本概念 .
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1.2 开集、闭集及连续映射 .
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1.3 稠密与可分 .
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1.4 完备性 • 集合的类型 .
1.5 列紧与紧 .
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1.6 Banach 压缩映射原理 .
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2 赋范线性空间与 Banach 空间
2.1 赋范线性空间基本概念 .
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2.2 有限维赋范线性空间的同构 .
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2.3 Banach 空间的几何性质 .
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3 内积空间与 Hilbert 空间
3.1 内积空间基本概念 .
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3.2 正交与正交分解 .
3.3 标准正交基 .
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4 有界线性算子
4.1 有界线性算子基本概念 .
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4.2 开映射定理 .
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4.3 闭图像定理 .
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4.4 一致有界原理 .
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5 共轭空间和共轭算子
5.1 Hahn-Banach 延拓定理 .
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5.2 共轭空间 • 自反空间 .
5.3 共轭算子 .
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5.4 弱收敛 .
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5.5 弱 * 收敛 .
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1
3
3
8
12
16
22
29
33
33
45
50
53
53
57
61
67
67
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81
81
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目 录
6 线性算子的谱理论
6.1 线性算子的谱理论 .
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6.2 有界自共轭线性算子的谱 .
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6.3 紧算子与紧算子的谱 .
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105
. 105
. 110
. 110
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目 录
引 言
一. 什么是泛函分析?
《泛函分析》是 “更广泛、更一般化的”《数学分析》,是将分析中的具体问题抽
象到一种更加纯粹的代数、拓扑的形式中加以研究,综合运用分析、代数、几何的观
点与方法,研究无限维空间上的函数、算子和极限理论,解决分析学中的问题.
二. 起源与地位
泛函分析是 20 世纪 30 年代,从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子
物理等研究中发展起来的一门数学分支学科,它的产生使数学的发展进入了一个新的
阶段,它是 20 世纪对数学影响最大的新兴学科之一,是近代分析的基础.
泛函分析在微分方程、概率论、函数论、计算数学、控制论、最优化理论、连续
介质力学、量子物理等,以及一些工程技术学科中都有重要的应用.
三. 主要研究对象8<:空间 —– 集合 + 一定的结构
算子 —– 无限维空间到无限维空间的映射1
四. 主要研究方法
1. 引入空间、极限的概念,把函数、算子当成空间中的元素,在新的空间的框
架下讨论它们的性质;
2. 研究线性算子(线性运算)的性质,进一步讨论由线性算子组成的空间的性
质,通过归纳、类比的方法把分析、代数中的结果(有条件地)推广到无限
维空间.
绪 论
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五. 本课程主要研究内容
(1) 距离空间;
(2) 赋范线性空间和 Banach 空间;
(3) 内积空间和 Hilbert 空间;
(4) 线性算子和线性泛函;
(5) 共轭空间和共轭算子;
(6) 线性算子的谱理论.
六. 怎么学好泛函分析?
1. 了解基本概念的来源和背景,进而深入理解概念;
2. 注重研究一些重要的、一般性定理的深刻的、具体的含义;
3. 学习数学研究的基本方法:划分、类比、归纳、联想;
4. 训练一定的抽象思维能力:概念清楚、思维清晰、逻辑推理严谨.
我们认为要真正理解泛函分析中的一些重要的概念和理论,灵活运用
这一强有力的工具,其唯一的途径就是深入了解它们的来源和背景,注重
研究一些重要的、一般性定理的深刻的、具体的含义.不然的话,如果只
是从概念到概念,纯形式地理解抽象定理的推演,那么学习泛函分析的结
果只能是 “如宝山而空返,一无所获.”
—– 张恭庆(中科院院士)
第 1 章 距离空间
1.1 距离空间的基本概念
一. 距离空间的定义及例
定义 1.1.1. 设 X 为非空集,若对 8 x, y 2 X, 均有一个正实数 d(x, y) 与之对应,
且满足:
(i) (非负性) d(x, y) 0, d(x, y) = 0, 当且仅当 x = y;
(ii) (对称性) d(x, y) = d(y, x);
(iii) (三角不等式) d(x, y) d(x, z) + d(y, z).
则称 d(, ) 为 X 上的一个距离。定义了距离的集合称为距离空间,记为 (X, d).
注 1.1.1. (1) 距离的定义,是实轴上绝对值概念的推广,保留了绝对值最本质的
性质;
(2) 性质 (i)–(iii) 称为距离公理,其中 (iii) 来源于 “平面三角形两边之和大于第三
边”;
(3) 由 (iii) 和 (ii) 易知1,
d(x, y) d(y, z)
d(x, z),
8 x, y, z 2 X
实际上,
d(x, y) d(x, z) + d(z, y) =) d(x, y) d(y, z) d(x, z)
d(y, z) d(y, x) + d(x, z) =) d(y, z) d(x, y) d(x, z)
下面给出一些具体的距离空间的例。
1. n 维欧氏空间 Rn
}
对于任给的 Rn 中的两个元 x = (x1, , xn) 与 y = (h1, , hn), 定义
{
Rn =
(x1, , xn) : xk 2 R
) 1
( n
jxk hkj2
2
d(x, y) =
1“平面三角形两边之差小于第三边”
k=1
第 1 章 距离空间
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要证 (Rn, d) 是距离空间,只需验证 d(, ) 满足距离公理 (i)–(iii).
(i), (ii) 显然,为验证 (iii), 我们先证明 Cauchy 不等式:
( n
k=1
) 1
2
( n
k=1
a2
k
) 1
b2
k
2 ,
ak, bk 2 R
n
akbk
实际上,对 8 l 2 R, 都有
k=1
0 n
k=1
(ak + lbk)2 =
n
k=1
a2
k + 2l
n
k=1
akbk + l2
n
k=1
b2
k
上式右端是关于 l 的二次函数,对任意的 l 2 R 都是非负的,故根判别式小于等于 0,
即
(
)2 4
n
2
akbk
n
a2
k
n
k=1
0
b2
k
对于 Rn 中任意的点 x = (x1, , xn), y = (h1, , hn), z = (z1, , zn),
) 1
令 ak = xk zk, bk = zk hk, 则有
2
( n
jxk hkj2
k=1
jxk zkj2
2 +
jzk hkj2
) 1
2
即 d(x, y) d(x, z) + d(y, z), 因此,(Rn, d) 是距离空间.
) 1
注 1.1.2. (1) 对于 n 维复欧氏空间 Cn, 可类似地定义距离
d(x, y) =
jxk hkj2
2
( n
k=1
其中,j j 表示复数的模,也构成距离空间;
(2) 同一集合上可定义不同的距离,从而得到不同的距离空间.例如,在 Rn 上定
义
d1(x, y) =
n
jxk hkj,
{jxk hkj : k = 1, n
k=1
}
d¥(x, y) = max
都构成距离空间。
k=1
k=1
故 Cauchy 不等式成立.由 Cauchy 不等式可得
n
( n
) 1
(ak + bk)2 =
n
a2
k + 2
a2
k + 2
n
n
k=1
k=1
k=1
k=1
=
a2
k
2 +
b2
k
k=1
n
( n
]2
) 1
k=1
2
b2
k
akbk +
) 1
2
a2
k
n
k=1
b2
k
) 1
( n
k=1
k=1
k=1
[( n
( n
k=1
) 1
2 +
n
k=1
b2
k
(1.1)