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动态系统识别（德）.pdf
Inhaltsverzeichnis
Einführung
Darstellungsformen dynamischer Systeme
Ziel der Identifikation
Identifikationsverfahren
Wahl des Identifikationsverfahrens
Validierung
Durchführung einer Systemidentifikation
Beispielsystem
Identifikation an Arbeitspunkten
Zusammenfassung
Kenngrößenermittlung
PT1-Glied
DT1-Glied
IT1-Glied
PT2-Glied
Schwingfähiges PT2-Glied
Nichtschwingfähiges PT2-Glied
PTn-Glied
Totzeitglied
Zusammenfassung
Minimierung des Ausgangsfehlers
Ansatz
Beispiele
PT2-Glied
Drei-Massen-Schwinger
Doppelter Drei-Massen-Schwinger
Fazit
Zusammenfassung
Grundlagen Signalverarbeitung
Fourierreihe (FS)
Fouriertransformation (FT)
Zeitdiskrete Fouriertransformation (DTFT)
Diskrete Fouriertransformation (DFT)
Übersicht der verschiedenen „Fouriertransformationen“
Berechnung von DFT und DTFT
Zusammenfassung
Grundlagen Stochastik
Zufallsvariablen
Normalverteilung
Zufallsprozesse
Korrelation und Leistungsdichtespektren
Übertragung stochastischer Eigenschaften bei linearen Systemen
Übertragung durch Gewichtsfunktion und Frequenzgang
Stochastische Konvergenz
Konvergenzbegriffe
Eigenschaften von Schätzern
Beispiele
Quotientenbildung von Zufallsprozessen
Eigenschaften des Quotienten zweier Zufallsvariablen
Schätzen des Quotienten zweier Zufallsvariablen
Schätzen des Quotienten zweier Zufallsvariablen über Produkte (Korrelation)
Zusammenfassung
Signale
Signalleistung und Signalenergie
Stochastische und deterministische Störungen
Rauschen
Konstante Störung
Rampenförmige Störung
Sinusförmige Störung
Zusammenfassung zu der Wirkung von Störungen
Anregungssignale
Signale zur Anregung einer Frequenz
Impulsförmige Anregungssignale
Breitbandige Anregungssignale
Zusammenfassung Anregungssignale
Zusammenfassung
Nichtparametrische Identifikation
Frequenzgang
Filterung
Abtastsysteme
Frequenzgangsschätzung über Amplitudenspektren (H0-Schätzung)
Ablesen aus dem Zeitschrieb
Schätzung über Fourierkoeffizienten
Schätzung über Fouriertransformierte
Einfluss der Störungen
Wahl des Anregungssignals
Umgang mit periodischen Störungen
Frequenzgangsschätzung über Impuls-Leistungsdichten (H1- und H2-Schätzung)
H0-Schätzung bei Messrauschen am Ein- und Ausgang
H1- und H2-Schätzung
Glättung des geschätzten Frequenzgangs
Weitere Verfahren zur nichtparametrischen Identifikation
Zusammenfassung
Methode der kleinsten Quadrate
Beispiele
Allgemeine Formulierung
Prozess
LS-Problem
Lösung des LS-Problems
Schätzgleichung
Eigenschaften
Schätzung der Varianz des Messrauschens
Varianz der Schätzwerte
Monotonie der Varianz der Schätzwerte
Einflussfaktoren auf die Varianz
Konsistenz
Erweiterungen
Verfahren der gewichteten kleinsten Quadrate (Weighted Least Squares)
Exponentielles Vergessen
Rekursives Least-Squares-Verfahren
Numerische Berechnung
Zusammenfassung
Parametrische Identifikation dynamischer Systeme
Schätzung dynamischer Zusammenhänge aus Zeitbereichsdaten
Zeitdiskrete Übertragungsfunktionen
Stochastische Eigenschaften
Wahl der Abtastzeit und der Anregungsgröße
Methode der Instrumentalvariablen
Zeitvariante Systeme
Zeitkontinuierliche Übertragungsfunktionen
Schätzung von Übertragungsfunktionen aus Frequenzbereichsdaten
Schätzen von kontinuierlichen Übertragungsfunktionen
Schätzen von diskreten Übertragungsfunktionen
Übersicht zur parametrische Identifikation über den Gleichungsfehler
Identifikation im geschlossenen Regelkreis
Zusammenfassung
Kalmanfilter
Parameteridentifikation über Zustandsschätzung
Hinführendes Beispiel
Diskretes Kalmanfilter
Korrekturschritt
Prädiktion
Zusammenfassung
Kontinuierlich-diskretes Kalmanfilter
Erweitertes Kalmanfilter
Zeitdiskretes erweitertes Kalmanfilter
Kontinuierlich-diskretes erweitertes Kalmanfilter
Beispiel
Zusammenfassung
Literatur
Identifikation dynamischer
Systeme
Eric Lenz
Skript – Wintersemester 2018/19
Identifikation dynamischer Systeme
Skript – Wintersemester 2018/19
Eric Lenz
Technische Universität Darmstadt
Institut für Automatisierungstechnik
Fachgebiet Regelungstechnik und Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. U. Konigorski
Landgraf-Georg-Straße 4
64283 Darmstadt
Telefon 06151/16-25201
www.rtm.tu-darmstadt.de
1
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
7
1.1 Darstellungsformen dynamischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2 Ziel der Identifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Identifikationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Wahl des Identifikationsverfahrens
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Validierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Durchführung einer Systemidentifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Beispielsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Identifikation an Arbeitspunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Kenngrößenermittlung
25
2.1 PT1-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 DT1-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 IT1-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 PT2-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1 Schwingfähiges PT2-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 Nichtschwingfähiges PT2-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 PTn-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6 Totzeitglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Minimierung des Ausgangsfehlers
47
3.1 Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.1 PT2-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.2 Drei-Massen-Schwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.3 Doppelter Drei-Massen-Schwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Grundlagen Signalverarbeitung
57
4.1 Fourierreihe (FS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Fouriertransformation (FT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Zeitdiskrete Fouriertransformation (DTFT)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4 Diskrete Fouriertransformation (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.5 Übersicht der verschiedenen „Fouriertransformationen“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.6 Berechnung von DFT und DTFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5 Grundlagen Stochastik
93
5.1 Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3
5.3 Zufallsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3.1 Korrelation und Leistungsdichtespektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.4 Übertragung stochastischer Eigenschaften bei linearen Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4.1 Übertragung durch Gewichtsfunktion und Frequenzgang . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.5 Stochastische Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.5.1 Konvergenzbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.5.2 Eigenschaften von Schätzern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.5.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.6 Quotientenbildung von Zufallsprozessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.6.1 Eigenschaften des Quotienten zweier Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.6.2 Schätzen des Quotienten zweier Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.6.3 Schätzen des Quotienten zweier Zufallsvariablen über Produkte (Korrelation) . . . 125
5.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6 Signale
127
6.1 Signalleistung und Signalenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.2 Stochastische und deterministische Störungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2.1 Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.2.2 Konstante Störung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.2.3 Rampenförmige Störung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.2.4 Sinusförmige Störung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.2.5 Zusammenfassung zu der Wirkung von Störungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.3 Anregungssignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.3.1 Signale zur Anregung einer Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.3.2 Impulsförmige Anregungssignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.3.3 Breitbandige Anregungssignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.3.4 Zusammenfassung Anregungssignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7 Nichtparametrische Identifikation
161
7.1 Frequenzgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.2 Filterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.3 Abtastsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.4 Frequenzgangsschätzung über Amplitudenspektren (H0-Schätzung) . . . . . . . . . . . . . . 167
7.4.1 Ablesen aus dem Zeitschrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.4.2 Schätzung über Fourierkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.4.3 Schätzung über Fouriertransformierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.4.4 Einfluss der Störungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.4.5 Wahl des Anregungssignals
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.4.6 Umgang mit periodischen Störungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.5 Frequenzgangsschätzung über Impuls-Leistungsdichten (H1- und H2-Schätzung) . . . . . . 199
7.5.1 H0-Schätzung bei Messrauschen am Ein- und Ausgang . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.5.2 H1- und H2-Schätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.6 Glättung des geschätzten Frequenzgangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.7 Weitere Verfahren zur nichtparametrischen Identifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.8 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8 Methode der kleinsten Quadrate
213
8.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4
Inhaltsverzeichnis
8.2 Allgemeine Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.2.1 Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.2.2 LS-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.3 Lösung des LS-Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.3.1 Schätzgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.3.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.3.3 Schätzung der Varianz des Messrauschens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.4 Varianz der Schätzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.4.1 Monotonie der Varianz der Schätzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.4.2 Einflussfaktoren auf die Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.4.3 Konsistenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.5 Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.5.1 Verfahren der gewichteten kleinsten Quadrate (Weighted Least Squares) . . . . . . 236
8.5.2 Exponentielles Vergessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8.5.3 Rekursives Least-Squares-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8.6 Numerische Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
8.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
9 Parametrische Identifikation dynamischer Systeme
247
9.1 Schätzung dynamischer Zusammenhänge aus Zeitbereichsdaten . . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.1.1 Zeitdiskrete Übertragungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.1.2 Stochastische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
9.1.3 Wahl der Abtastzeit und der Anregungsgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
9.1.4 Methode der Instrumentalvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
9.1.5 Zeitvariante Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9.1.6 Zeitkontinuierliche Übertragungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
9.2 Schätzung von Übertragungsfunktionen aus Frequenzbereichsdaten . . . . . . . . . . . . . . 286
9.2.1 Schätzen von kontinuierlichen Übertragungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
9.2.2 Schätzen von diskreten Übertragungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
9.3 Übersicht zur parametrische Identifikation über den Gleichungsfehler . . . . . . . . . . . . . 297
9.4 Identifikation im geschlossenen Regelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
9.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
10 Kalmanfilter
301
10.1 Parameteridentifikation über Zustandsschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
10.2 Hinführendes Beispiel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
10.3 Diskretes Kalmanfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
10.3.1 Korrekturschritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
10.3.2 Prädiktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
10.3.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
10.4 Kontinuierlich-diskretes Kalmanfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
10.5 Erweitertes Kalmanfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
10.5.1 Zeitdiskretes erweitertes Kalmanfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
10.5.2 Kontinuierlich-diskretes erweitertes Kalmanfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
10.6 Beispiel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
10.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
Literatur
Inhaltsverzeichnis
323
5
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