Gram-Schmidt 正交化方法 正射影 设欧式空间V 中向量 ;1 1    2    3  3  s  s   2  1  1 , , 1 3  1  1 , , 1 s  1  1 , , 1  1 ;  1   1  s , , 2 1 线性无关,令 (1)  s 1  . 3  2  2 , , 2 s  2  2 , , 2  2 ;……  2    s ,  1 s   s 1  , s 1  1  均非零向量,且两两正交.再令 , s , , 2   i 1  i  i , i .2,1  , s   为规范正交组. ,{ 1 s } , , 2 则 则 将(1)重新写成  i  t  1, 1 i    t  i  1  i 1, ii  , i ,2,1  , s 其中 ikt  i  k  k , , k , i  ,2,1 , s , k  ,2,1  , i  .1   ,2,1 j i , , s , 有  j , i  i 1   k 1  t ik  i  k ,  t  , t i 2 , t  1 i 1, ii  ,0,1,  0,        j 1   k 1  t jk  j  k  2 2  1 , 1 0  0 0 , 0 令 T          s s s 1, 1,1  2,1  t t t t t 21 1   1 0 2, s  0 0   1 0 0 0 , 1 ss  1 t         0 0  2 , 2                        t t j 1 1 j  1 j t 1 0  0             

则         1 ,  1 ,  1 2  , 1 ,  2 ,  2 2  ,      1 ,  s ,  2 s  ,  s s  s 1  , s         /  T          1 1 , 0  0 0  2 0  ,  2  0  0  0 0  ,  s 0 1  s 1  0 0  0 ,  s s     T      2 s s   1 2 1  , 1  , 1 s s 上式左端的实方阵是 1  的格兰母矩阵，记为：  , G s , , s  , 1  ，上式右端 , , 2 2 中 间 的 对 角 阵 是 , s 1  , , 2 的 Gram 矩 阵 . 即 有: G   s  , , , 2 1   / GT   s  , , , 2 1 T 因此 det G   s  , , , 2 1   det G   2    , , , , , 2 1 1 2 1 s   s , s 注意：对任意一个向量组，无论它是线性相关，还是线性无关，它总有 Gram 矩阵 （或者事先给出定义）. 例 1 设 , 1  欧式空间V 中向量，则 s , , 2 （1） det G （2） det G    s , , , 2 1    s , , , 2 1   0   0 1  线性无关; , s , , 2 1  线性相关. , s , , 2 证明:只证（2） ) 设 , , 1  线性相关，则存在一个向量，不妨设为 1 ,可由其余向量线性 , s 2 表示:   k  2 2 1  sk  s 给 s 阶的行列式 det G  s 1  的第 i 行乘数  ,  , , 2 ik 加到 第1行， i ,3,2  , s 得 det G   s  , , , 2 1  1 , 1    2 1 1 , , i i s i   k 2  ,  1 2  ,  1 s 0 ) 法一：由上页证明推理过程立即得证。 s i 2   k  ,  2 2  ,  2 s  s , i i  2 , i i  s , 1     s i 2   k  ,  2 s  ,  s s 法二：当 det G    , , ,  0 s 2 1 时，  G s  , 1  的行向量组线性相关， , , 2 因此存在不全为零的实数 1 , k k , 2 k ，使 , s 

s  i 1  k i   j , i k   i j , i  0, j  1,2,  . s , s  i 1    k i k , i s i 1  s i 1   i i  0 ，即有 s  k i i i 1  即 故  . s ,  0, j  1,2, 0 . 即有 1    线性相关. , , , 2 s 注：当 1    线性无关时， , , , det G      ( ) , , , 0 ，且 1 2 2 s s det G      ( ) , , , 0 . 1 2 s 推论 1 设 1    是欧氏空间V 中任意向量，则 , , , 2 s (ⅰ) (ⅱ) G    是半正定矩阵； ( , , , )s 1 2 G    是正定阵  1 )s ( , , , 1 2    线性无关. , , , 2 s i 证明(ⅰ)对任意 1   1 i 2    i k s ，主子式 det[ G (    s  , , , 1 2 )]    i 1 i 1 i 2 i 2   i i k k     det G 因此 1 G    是半正定矩阵. )s ( , , , 2 (    i  , , , i i 1 2 总大于或等于零. ) k (ⅱ)（  ）当 1 i    线性无关时，对任意 1   1 , , , 2 s i 2    i k s ，主子 式 det[ G (    s  , , , 1 2 )]    i 1 i 1 i 2 i 2   i i k k     det G (    i  , , , i i 1 2 总大于零（因为 ) k    线性无关）.故 1 G    是正定阵. )s ( , , , , , , 2 i i 1 i 2 k （ ）由例 1，这是显然的. 推论 2 (ⅰ)设欧氏空间V 中向量 1    线性无关，则 2 s , , , det G    s  ( , , , 1 2 ) s   i 1    i , i ，且上式取等号  1    两两正交. 2 s , , , (ⅱ)设 1 s V     2 , , , （欧），则 det G    s  ( , , , 1 2 ) s   i 1    i , i . 

(ⅲ)设 A M (  ， ) n A     i   ), ( , , , 1 2 n  n  ，则 1 ( )s     G , , , 2  A A ， 故 det(  ) A A  (det ) A 2 n n   i 1  j 1  a 2 ji . 当 A 可逆时，上式取等号  , i k   {1,2,  , }, n i  k ，有 n  j 1  a a ji jk  0 . 例 2 设 1 ( ), f x f 2 ( ), x ( ) f x , s 是欧氏空间 [ , ] C a b 中的向量，且它们线性无关. 证明 max 1 i s   b  a 2 f i ( ) x dx  b  a f j ( ) x f k ( ) , x dx j  ; , k j k  1,2,  . s , 证明 令 ( )ij n n b  B  ，其中 b ij  ( ), f x i f j ( ) x b   a ( ) f x f i j ( ) x dx . 则 B 是线性无关向量组 1 f , f 2 , f 的Gram 矩阵，故 B 正定. , s 假如 B 的元素中，绝对值最大者不在主对角线，设 b kl  max{ b i ij , j   ， k 1,2, , } s l .则 b kl b kk  ， 0 b kl b ll 0  . 故 2 b kl  b b kk ll .这样 B 的二阶主子式 b kk b lk b kl b ll  b b kk ll  b b kl lk  b b kk ll  2 b kl  .这 0 与 B 是正定阵相矛盾.因此 B 的元素中，绝对值最大者必是主对角元，结论得证. 注：从例 2 的证明中，可以看出这样一个结论：任意 m 阶（实对称）正定阵 的元素中，绝对值最大者必在主对角线上.    是 ( 0) { , 设 1 }n , , 2 n  维欧氏空间V 的规范正交基， , V  ，    ， a  i i    ，则 b  i i n i 1  n i 1  1） a i  i , , i   . 1,2, n , 2）  , n   . a b i i i 1  3）       . 2 a i  , 2 n i 1  4） d ( ,      )  n  a ( i i 1  b i ) . 设W 是欧氏空间V 的有限维子空间，则V W W    . 

          W V , , ,   ，表示法唯一. W 称为在W 上的正射影.当 1   2 , ,  为W 的规范正交基时，在W 上的正射 , t 影为      2   1 1 2 , ,     n n , . 例 3 证明， 3 中向量 0 ( x y z 到平面 ) , , 0 0 W  {( , , ) x y z  3  | ax by   cz  0} ax 的距离等于 0 a  2 by 0 2 b    cz 0 2 c . 证明  ( , x y z 0 , 0 ) 0 ，  1 b 2 a  2  2 c ( , , ) a b c ，在 L（）的正射影的 长度即为所求：  ,  例 4 设 { ,    1 , , 2 ax by   2 cz 0 2 ax by   2 cz 0 2   0 2 b 0 a 是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明，对于任意 }m 0 a 0 2    b c c . V ，以下不等式成立： 2 . 2 ,   i m  i  证明：令W L 1 1 ( )m    , , , 2 ，则V W W    ， ,V        ，   ,W    W .简单的计算表明 2      2 2 .故 2   2 . 而在W 上的正射影  m    i 1 2 ,  i  2 . m   1 i ,   i i .因此由 2   知 2 注：设    与 1 , m 2,   , , 2 1 , , m  均是V 的规范正交基，且 2 2 ( )m L 1    , , , 2 ( = L 1   2 , , )m  , ，则 i ,  i 1  i ,  i . 1 m   m  