2015年重庆理工大学高等代数考研真题A卷.doc

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2015 年重庆理工大学高等代数考研真题 A 卷一. 填空题(共 5 小题，每题 3 分,共 15 分) 1.实数域 R 上的不可约多项式的次数至多为次。 2.设 3 阶方阵 A  1 3 4      2 3  1 9  3 t      ， B 为 3 阶非零矩阵且 AB O ，则 t  。 3.设向量 (2,0,1),     (0,1,1),   (1,0, )k ，且 可由 , 线性表示，则 k  。 4.设 3 阶方阵 A 的三个特征值分别为 1,-1,0，则 2 3 I A  。 5. 若实对称方阵 A 与 B 1 0 0   0 2 0    0 4 0       为。合同，则二次型 1 ( , f x x x 3 , 2 )  T x Ax 的规范形二. 单项选择题(共 5 小题,每题 3 分,共 15 分) 1．设 A 为 5 阶方阵且 =2A秩， *A 为 A 的伴随矩阵，则 *=A秩 ( ) (A). 0 (B).1 (C).2 (D).3

2.设 m nA  的秩为 2n  ， 1 ,   是非齐次线性方程组 Ax b 的 3 个线性无关的解向量，则 , 2 3 Ax b 的通解为( ) (A). k 1 (   1 2  )  k 2 (B). k 1 (   1 2  )  k 2 (C). k 1 (   1 2  )  k 2 (D). k 1 (   1 2  )  k 2 (    2 1  ，其中 1  ) 3 ,k k 为任意常数； 2 (    1 2  ，其中 1  ) 2 ,k k 为任意常数； 2 (    1 3  ，其中 1  ) 3 ,k k 为任意常数； 2 (    2 1  ，其中 1  ) 3 ,k k 为任意常数。 2 3.设 n 阶方阵 A ， B 均可逆且 AB BA ，则下列结论( )错误。 (A). 1  A B BA  1  (B). 1  A B 1   1  B A 1  (C). 1  AB 1  B A (D). 1  BA  1  AB 4.设有 n 维向量组 1     ，其中 1 ,   线性无关， 1 , , , , 2 3 4 2 3 ,   线性相关，则( , 2 4 ) (A). (C). 1 可由 2 ,   线性表示 , 3 4 3 可由 1 ,   线性表示 , 2 4 (B). (D). 2 可由 1 ,   线性表示 , 3 4 4 可由 1 ,   线性表示 , 2 3 5. 若 A 为实对称矩阵，则下列结论不正确的是( ) (A). A 有 n 个不同的特征值 (B). A 有 n 个线性无关的特征向量 (C). A 一定可以对角化 (D). A 的属于不同特征值的特征向量正交

三. ( 14 分) 求证，在 [ ]F x 中， ( ( ), f x g x  当且仅当存在不可约多项式 ( )p x ，使得 ( )) 1 且 ( ) p x f x g x 。 ( ) ( ) ( ) ( p x ( ) f x  ( )) g x 四. ( 18 分) 计算 n 阶行列式 D n 1 1 a a  2 1  1 a   2  0 1        0 0   0 0  0 a 3 a  3 1 0 0      0 0 0 0 1 a  n 1  1  a n a  n 1           五. （ 16 分）已知 A  2   1   1  1 2  1 1   1   2  ， B 1   = 2   a  b a 2      （1）(8 分)求 a 、b 的值；，且矩阵方程 AX B 有解，（2）（8 分）令 B   2  ( , 1 ) ， X  ( X X , 1 ) 2 ，求矩阵 X 的第一列 1X

六．（ 18 分）设 A 是 m n 矩阵， B 是 n m 矩阵， m n ，若 AB C ，（1）（ 6 分）若 m 小于 n ，证明： B 的行向量组线性相关；（2）（ 8 分）若C O ，证明 ( ) R A  ( R B )  ； n （3）（ 4 分）若 C E ， mE 为 m 阶单位矩阵，证明： ( )R B m m 七．（ 18 分）设V 是数域 F 上所有3 维列向量构成的向量空间， A = 4 3  3       6 0 5 0  6 1       ，定义V 到V 的映射： X AX ， X V . （1）（ 4 分）证明：是线性变换（2）（ 6 分）求的核 ker( ) 和像 Im( ) 的维数；（3）（ 8 分）求的特征值，判定能否相似对角化。八．（ 16 分）设 1 ,   是欧式空间 3R 的一个规范正交基， 1     3  ，   , 2 3 1 2     3  ，   2 1 2 W L   2  ( , 1 ) （1）（ 10 分）求W 的一个规范正交基；

（2）（ 6 分）求 3+2     2 在W 中的正投影。九．（ 20 分）已知实二次型 ( f x 1 , x 2 , x 3 )  2 2 x 1 2  ax 2 2  ax 3  6 x x 2 3 的正、负惯性指标均是1，（1）（ 8 分）求 a 的值； ( f x （2）（ 12 分）应用变量的正交变换，将 1 , x 2 , ( x 化为标准形，并指出 1 f x 3 ) , x 2 , ) 1 x  3 表示何种二次曲面。

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