数学建模论文铅球掷远研究.doc

发布时间：2022-06-09 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.32M 资料格式：doc 举报版权申诉

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铅球掷远研究班级：姓名：学号：

目录一、问题的提出…………………………………….…….….……..3 二、问题分析……………………………………….………………3 三、模型假设…………………………………………….…………4 四、符号定义……………………………………………………….4 五、模型建立与求解………………………………………………..4 六、模型的评价…………………………………..…………………10 七、参考文献………………………………………………………..10 八、附录………………………………………..……………………10 1

摘要：本文研究了铅球掷远的问题，分析了掷远距离和出手速度、出手角度、出手高度的关系。得出了对于不同的出手速度，确定的了最佳出手角度，比较了掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏度。铅球投掷作为田径比赛的一个重要组成项目，投掷距离 s(米)的远近是教练员和运动，员最关心的问题。由投掷常识知道，影响投掷距离远近的因素主要有三个: 铅球出手时的初、速度 v(米/秒)、出手角度 A(度) 和出手高度 h(米)。迄今为止，利用物理中运动学知识研究铅球投掷运动现象比较多, 而且在研究时很少考虑出手高度的影响。通过建立模型,寻求初速度 v、出手角度 A 和出手高度 h 三个因素对投掷距离 s 的影响度的大小，从而在训练和比赛中对运动员和教练员有一定的理论指导意义. 关键词：铅球掷远投掷距离出手角度灵敏度 2

一、问题提出球掷远比赛要求运动员在直径 2.135m 的圆内将重 7.257kg（男子）的铅球投 45 的扇形区域内，如图 1 所示。观察运动员比赛的录像发现，他们的投掷掷在角度变化较大，一般在 38°- 45°，有的高达 55°，建立模型讨论以下问题： 1．以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型。 2．在此基础上，给定出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度。比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性。 2.135m 45° 图 1：铅球掷远场地二、问题分析针对如何使铅球掷得最远，只需求得铅球在空中停留时间以及铅球在水平方向的速度即可，铅球投掷后在空中停留的时间可以凭借铅球投掷后在垂直方向上先以向上的速度运动到静止，再做自由落体运动落到地面求出。问题分析见参考文献【1】 3

三、模型假设人的高度 h 和铅球投掷初速度v 是一定的，当投掷出时间 1t 后，铅球到达最高点，当时间在 2t 时刻时铅球落地，重力加速度 g  8.9 sm 2 ，速度方向与投掷的水平方向所成角为时 0(  )90  ，此情况下铅球落地点与人的距离是 S 。由于空气阻力对铅球运动的影响非常小，故忽略空气阻力对投掷铅球的影响。模型假设见参考文献【2】四、符号定义： h ：人的高度，假设为 1.7m v ：铅球投掷初速度 ：速度方向与投掷的水平方向所成角 S ：下铅球落地点与人的距离 g ：重力加速度 1t ：当投掷出时间 1t 后，铅球到达最高点 2t ：当时间在 2t 时刻时铅球落地 sm 2 g  8.9 五、模型建立与求解： 5-1.铅球运动轨迹图形）（tH v h o 1t 2t t 图 2：铅球运动轨迹图形 4

5-2.铅球运动轨迹图形示意可求 S：由模拟铅球运动轨迹图形可知，在 1t 时刻铅球到达最高点，此时竖直方向上的速度为 0。 S 的求解见参考文献【3】 ∴ v sin  gt 1 即 t 1  v sin g ∴最高点 tH )( 1  h 1 2 2 gt 1  h 2  2 v sin 2 g 可设该抛物线的方程为 )( tH  ( ta   ) 2 v sin g  h 2  2 v sin 2 g ∵ H )0(  2  2 va sin 2 g  h 2  2 v sin 2 g  h ∴ a  g 2 ∴ )( tH  tg ( 2   ) 2 v sin g  h 2  2 v sin 2 g 又 tH ( 2  ) 0 ∴ t 2  2 h g 2 v  2 sin 2 g v  sin g   又∵ S  v cost 2 可得给定出手高度下，下铅球落地点与人的距离 S S  2 2 hv 2  2 v  ( cos g  ) 2sin 2 g 2 v 2   2sin 2 g 5-3.最大 S 相对应的的求解由最终式子可以看出，一个人投掷铅球，在能力（即初速度）一定时，所投距离 S 只与投掷角度有关有关，要看 S 是否有最大值，即要看 S 关于的函数式是否有最大值。（因为 0S ，当然求最小值无意义，故 S 有极值且为极大值就为 S 的最大值）式子  0 0 S dS d  5

2 2 hv g S 1  2  2 cos (   sin )   2 2 hv 2   cos g 2 v g v    2sin   2  2 v cos g 2 2 2sin 2 g     2 v  2  cos g 2sin   cos 2 2 2sin  2 hv g 4 v  4 2 v g 81 g 2 ghv 2 cos   sin 2 2  2 v  2  cos g v 2 cos 8 ghv 2 2   4 v sin 2 2  2 ( v   g 0 2sin   cos 2 2 gh 2sin   cos 2  8 ghv 2 2 cos   4 v sin 2 )2  即 2 v 2sin   cos 2 cos 2  8 ghv 2 2 cos   4 v sin 2 2   2 gh 2sin   0  2( gh tan 2   v 2 )2sin  2  8 ghv 2 2 cos   4 v sin 2 2   4 2 hg 2 2 tan 2   4 ghv 2 tan 2  2sin  8 ghv 2 2 cos   gh tan 2 2   v 2 tan 2  2sin  2 2 v 2 cos   gh sin 2 2   v 2 sin 2 2  cos 2  2 v (cos 2   )1 cos 2 2   gh sin 2 2   2 v 1[(  cos 2 )2  cos 2   cos 2 2   cos 3 ]2   gh 1(  cos 2 )2   2 v 1(  cos )2  cos 2   gh 1(  cos )2   2v cos 2   cos 2   gh  gh 2 v 可得： 1 2  当 arccos gh  gh 2 v 时投掷距离最远。 6

5-4.模型结果的图形表示速度 v 对应的θ的函数由  1 2 arccos gh  gh 2 v 可得速度 v 对应的θ的函数图像。由图可知，不同的出手速度对应不同的最佳角度，速度不断增加的时候，角度趋于 45°。 7

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