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2009年全国数学建模竞赛B题.doc

发布时间：2022-06-05 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.87M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    眼科病床的合理安排 摘要 眼科病床安排问题是一个重要的问题，如果病床安排得不合理，不仅医院资源不能 得到有效利用，而且会给病人造成一定得损失，也影响医院的发展。建立合理的病床安 排模型不仅能使医院资源得到有效分配，还能为病人带来方便。 首先，为确定病床安排模型的优劣，我们要建立一个合理的评价指标体系。从总成 本和效率两方面进行综合考虑，建立模型一评价指标模型。第一个综合指标总成本包括  ；第二个综合指 病人在排队系统中等待的损失和医院服务成本，即总成本 i 标是用“归一分析法”来分析床位利用效率，其中： Q ax i by i  床位效率指数  期内床位实际周转次数 期内床位标准周转次数  床位使用率 然后采用模型一的这些指标对该问题的病床安排模型的优劣进行综合评价，得出结论是 按照 FCFS（First come, First serve）规则安排住院使总成本不断在大幅度增加，床位一 直处于低效率运行状态。 其次，针对问题中等待住院的病人队列越来越长，并考虑不同病人的病情情况不同， 建立抢占型优先权排队模型，来合理安排病床，从而提高对医院资源的有效利用。模型 中根据不同病症的病情、手术时间安排和术后观察时间长度等不同因素，把四类患者从 高到低分为急症、双眼白内障、单眼白内障、青光眼与视网膜疾病四个优先等级考虑。 优先权等级高的病人优先对其安排床位，优先权等级低的病人在优先权等级高的病人安 排好之后对其进行安排；同优先权等级的病人服从 FCFS 排队规则。根据该住院部当前 已知的情况拟出院病人数，用 C 语言编程求得病人安排住院方案一。用评价指标模型中 的指标体系对模型二进行评价，可知，该模型床位效率指数较高，总成本较低，明显比 FCFS 模型要好，并且可从病人安排住院方案一中看出患者的大概入院时间和大约住院 时长。 再次，当该住院部周六、周日不安排手术时，需避免各类病人入院后等待手术时间 过长，尽可能缩短住院时间，则对各类病症的入院时间有了一个限制，如周五和周六不 宜安排急症患者住院，青光眼和视网膜疾病患者不宜安排在周四和周五入院。综合考虑 这些限制因素，在模型二的基础上建立考虑特殊情况的抢占型优先权排队模型，而医院 的手术时间安排并不用作出相应调整。本模型针对周六和周日是否做手术用 C 程序设计 进行实现，得到病人安排住院方案二。 最后，从为了使医院便于管理的角度出发，对医院病床安排可采取按照各类病人占 用病床的比例进行分类排队的方案。鉴于单眼白内障和双眼白内障病人所需住院时间不 一样，把病人再细分为外伤、单眼白内障、双眼白内障、青光眼和视网膜疾病五类。为 了使得所有病人在系统内的平均逗留时间 T 最短，我们以 T 做为目标函数，建立线性规 划模型，用 LINGO 得到各类病人占用病床的比例 1 x :x :x :x :x 进行分配床数，根据这 个床位占用比例建立分类排队模型，每一类病症做为一个独立的排队模型，按照 FCFS 的规则进行排队安排服务，用 MATLAB 求解得到病人安排住院方案三。 2 3 4 5 关键词： 归一分析法 抢占型优先权排队模型 线性规划 分类排队 1
    一 问题重述 某医院眼科门诊每天开放，共有 79 个病床床位，眼科手术有：外伤，视网膜疾病， 白内障和青光眼四种。外伤属急症，就诊时只要有空床就安排住院，第二天安排手术。 白内障手术前准备一到两天，手术安排在周一和周三，如果是双眼，周一做第一只，周 三做第二只。另外两种病手术前准备两到三天，考虑到医生资源，不安排在周一和周三。 对于外伤也可安排在周一周三。 目前该住院部对全体非急症病人是按照 FCFS（First come, First serve）规则安排住 院，但等待住院病人队列却越来越长，我们需要通过数学建模来帮助解决该住院部的病 床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。我们还需要解决以下问题： 一、分析确定合理的评价指标体系，评价用 FCFS（First come, First serve）规则的 病床安排模型的优劣。 二、就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，根据拟出的模型确定第二 天应该安排哪些病人住院。并用评价体系评价我们建立的模型。 三、运用模型在病人门诊时，就告知其住院的时间区间。 四、该住院部周六、周日不安排手术，重新考虑问题二，并对医院的手术时间做出 相应调整。 五、医院为了便于管理，病床安排采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案， 建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例 分配模型。 二 问题分析 病床安排问题是一个复杂的问题。从题目中所给表格得出，每天都有 7 到 12 个病 号就诊，平均每天出院的人数为 3 到 4 人，如果按 FCFS（First come, First serve）规则 的病床安排模型，就会造成等待入院人数越来越多，给病人入院治病带来不便。 第一步：分析确定病床安排模型的评价标准体系。 一方面，病人入院前等待入院的患者越多，每位病人的平均等待时间越长，给病人 带来的损失越大；病人入院到出院时间消耗过长，造成医院资源不能有效周转和利用。 对每一天这两部分的消耗求和，作为一个评价体系。控制这两部分的和在一个范围内， 若超出此范围则说明模型有待改进。于是，病人等待入院造成的损失和病人住院费用两 部分花销作为评价体系中的一个指标。 另一方面，医院床位的利用情况是反映医院床位利用的重要指标，它主要包括床位 周转次数和床位使用率，这两个指标从不同情况反映病床利用情况，如果单一的从两项 指标分析床位的工作效率，就很难看出病床运转和使用过程中存在的问题。“归一分析 法”就是将病床使用率和病床周转次数综合起来，建立床位工作效率指数模型。因此床 位工作效率指数是一个能较好反映床位工作情况的综合指标，故选用此方法作为评价体 系中的另一个指标。 第二步：通过数学建模来解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的 有效利用，并解决问题二和问题三。 根据患者病情情况不同，可以把四类患者分为急症、单眼白内障、双眼白内障、青 光眼与视网膜疾病四级类型考虑，优先级类型用 m(m=1,2,3,4) 标记。考虑到病床安排系 统为抢占型优先权服务机制下多类排队网络，由 79 张病床服务组成，每个病床服务有 2
    一个无限容量的等待缓存。考虑采用用排队论知识建立抢占型优先权排队模型。设同级 类型的病种有相同的优先权等级，以满足外伤、白内障的优先条件，设服务机制是抢占 型恢复的，即当一个病患进入该系统时，如果该病患优先权等级比已经被安排床位的患 者病种优先权等级高时，那个已经被安排床位但还没入院的病种将被终止服务直到比它 优先权高的工作完成服务后，它才恢复未完成的服务。最后，我们设我们的策略是非空 闲的，即所有病床都一直在进行接受安排工作。 第三步：通过对模型二进行改进，解决问题四。问题四考虑周六和周日不安排手术， 是对模型二中的一个特殊条件限制，在编程中加入条件限制语句，得出满足此条件的床 位分配结果。 第四步：建立模型解决问题五。建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等 待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型，运用线性规划模型解决此问题，并求解 病床分配比例，医院在分配床时按照此模型求解的分配比例，就可以使满足平均逗留时 间最短。然后用分层排队论模型求解出床位安排结果。 三 模型假设 1. 假设住院期间不随意调动病人的安置情况。 2. 假设病人住院时间等于术后观察时间的平均值与术前准备时间之和。 3. 假设将所有外伤都视为急症是合理的。 4. 假设采用优先权排队规则时，等待住院的患者都接受医院的住院时间调动。 5. 假设在出现的等待时间内病人的情况不会变得异常严重。 6. 假设所给数据基本可靠，有实际意义。 7． 假设平均逗留时间（含等待入院及住院时间）与就诊病症的评均出现比例的关系在 一定时间内不变。 8. 假设医院每天有条件做足够多数量的手术。 四 符号说明 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. C 为医院总床位数 为患者平均到达率 为每个服务台的平均服务率 r 为平均到达间隔，也就是平均到达率的倒数 qW 为患者在系统中的平均等待时间 W 为患者在系统中的平均逗留时间 B 为忙期的平均长度 I 为闲期的平均长度 L 为平均队长（系统中的患者数，包括排队等候的和正在接受服务的所有患者) qL 平均队列长（不考虑接受服务的患者, 排队等候的患者数称为队列长） iQ 为第i 天总成本，即为每位住院者入院前等待损失成本与住院医院的床位服务 成本的总花销 a 为每位患者就诊等待入院时每天损失成本系数 b 为每位患者住院时每天医院消耗资源成本系数 nP 为C 个服务台在任意时刻有 n 个患者的概率 3
    0P 为C 个服务台在任意时刻有 0 个患者的概率 I 为闲期的平均长度 B 为忙期的平均长度 iP 为服务窗口空闲时间的概率 bP 为服务窗口繁忙时间的概率 15. 16. 17. 18. 19. 20. 为服务强度 21. ix 为第i 类病人的病床占用比例 ja 为第 j 类病的平均等待入院时间与病床占用比例的关系系数 kb 为第 k 类病的平均术前准备时间与病床占用比例的关系系数 nc 为第 n 类病的平均术后观察时间与病床占用比例的关系系数 22. 23. 24. 五 模型的建立及求解 问题一的解决：评价指标模型 5.1 5.1.1 总成本评价 成本指标模型用于分析总成本，患者就诊到入院等待时消耗的成本和住院医院的床 位服务成本，入院前等待时间越长，对患者和医院的损失越大，住院时间短会提高医院 的病床使用率，优化医院资源配置，所以建立成本模型指标评价病床安排模型，是综合 患者损失和医院资源配置优劣的评价。 第i 天总成本 iQ 分为两部分，一部分是入院前等待的损失成本，另一部分是每位住 院患者在医院的消耗成本，只有这两部分成本越小，病床安排模型越优。 设 ix 为第i 天患者就诊后等待入院的总人数， iy 为第i 天住院人数，a 为每位患者就 诊后等待入院时每天损失成本系数，b 为每位患者住院时每天医院消耗资源成本系数。 则第i 天总成本 iQ 可表示为： i Q ax i by i   每位患者就诊等待入院时每天损失成本系数[9] 每位患者住院时每天医院消耗资源成本系数[10] 由题目中所给表格得出从 2008-7-13 到 2008-7-31 这 19 天的等待入院患者人数如 a  （元） b  （元） 126 37.5 表 1 所示。 表 1 从 2008-7-13 到 2008-7-31 这 19 天的等待入院患者人数 7 月 13 日 7 月 14 日 7 月 15 日 7 月 16 日 7 月 17 日 7 月 18 日 7 月 19 日 7 15 25 32 43 52 60 7 月 20 日 7 月 21 日 7 月 22 日 7 月 23 日 7 月 24 日 7 月 25 日 7 月 26 日 68 76 80 94 99 102 102 7 月 27 日 7 月 28 日 7 月 29 日 7 月 30 日 7 月 31 日 103 104 98 95 97 日期 人数 ix 日期 人数 ix 日期 人数 ix 这 19 天住院患者人数： 79 代入 i 画出总成本 iQ 关于日期的图像如图 1 所示： by  则对应的 iQ 即可得出。 i Q ax i iy   4 （其中1 i  ）。 19
    图 1 总成本与时间关系图像 从图形粗略分析得出，按 FCFS（First come, First serve）规则的病床安排模型会造 成总成本较高，使医院的综合效益较低；总成本 iQ 图像随时间推移呈增加趋势，也就是 说总成本在一定程度内会越来越高；此规则造成等待入院的队越排越长，等待入院接受 治疗前的时间较长，给患者带来的病痛和损失较大，总花费也随之增大。长期发展下去， 会对医院的长期发展造成威胁。所以不论是从患者还是医院的角度出发，用此模型安排 病床都是不利的。 5.1.2 “归一分析法”分析床位利用效率 “归一分析法”模型就是将病床使用率和病床周转次数综合起来，建立床位工作效 率指数模型。该指数用以下指数求解： 床位效率指数  同一时期床位实际周转次数 同一时期床位标准周转次数  床位使用率 其中，期内床位实际周转次数和床位使用率的求解公式如下： 同一时期床位实际周转次数  出院人数 平均开放病床数 病床使用率  实际占用总床日数 实际开放总床日数  100% 由此可知：实际周转次数等于标准周转次数且床位使用率为 100%时，床位运转状况 达到床位管理的最佳状态，此状态下床位效率指数为 1，因此以 1 为标准判断床位工作 效率情况。当效率指数小于 1 时，床位低效率运行；当效率指数等于 1 时，床位等效率 运行；当效率指数大于 1 时，床位高效率运行。 从题目中给的表格，得出按照 FCFS（First come, First serve）规则安排住院的以下 指标：实际周转次数为 4.43，床位使用率为 1，床位效率指数为 0.2215  1，故床位低效 率运行。 5
    综合成本模型指标和病床效率指数对按照 FCFS（First come, First serve）规则安排 住院的情况评价可知，此模型下的床位运作情况，不仅对医院还是患者不利，而且床位 运行效率过低，所以此规则安排床位有待改进。 5.2 问题二、三的解决：抢占型优先权排队模型（ M/M/C/   / / FR 排队模型） 排队论模型，是通过数学方法定量地对一个客观复杂的排队系统结构和行为进行动 态模拟研究，科学、准确地描述排队系统的概率规律。在医院的病床安排系统中如果进 行科学的模拟和系统的研究，从而对病床安排和住院手术安排进行最优设计，以获得反 映系统本质特征的数量指标结果，进行预测、分析或评价，最大限度的满足患者及家属 的需求，将有效避免资源浪费。 5.2.1 模型系统的描述 我们所考虑的排队系统是一个抢占型优先权服务机制下多类排队网络，其服务窗口 由 79 张病床组成，每个服务窗口有一个无限容量的等待缓存，接受服务的病人的病情 情况各不相同，服务内容包括安排入院、进行手术和术后观察。 此系统具有如下特征： 1. 输入过程：各类顾客单个到达，形成一个顾客流，一定时间内患者到达服从正 态分布。 2. 服务时间：患者得到安排住院时间服从负指数分布。 3. 服务窗口：C 个床位代表 C 个窗口，窗口之间并连服务。 4. 排队规则：服从等待制和优先权服务，即当一个病患进入该系统时，如果该病 患优先权等级比已经被安排床位的患者病种优先权等级高时，那个已经被安排 床位但还没入院的病种将被终止服务直到比它优先权高的工作完成服务后，它 才恢复未完成的服务。 5.2.2 分析建立模型二 由各类患者病情情况不同：外伤（急症）病情比较紧急，需要首先安排入院，并要 尽快进行手术，一般需要第二天进行手术；双眼白内障必需在间隔一天的三天内进行手 术，即必需安排在周一和周三进行手术，术前准备时间一般为 1~2 天，最宜安排在周六 和周日入院；单眼白内障也需在周一或周三进行手术，术前准备时间一般也为 1~2 天， 宜安排在周六、周日、周一和周二入院；青光眼和视网膜疾病的手术时间都不能安排在 周一和周三，其术前准备时间一般为 2~3 天，另外其术后观察时间比较长。根据患者病 情情况不同，把四类患者分为急症、双眼白内障、单眼白内障、青光眼与视网膜疾病四 个优先等级(从高到低)考虑，优先级类型用 im （i=1，2，3，4）标记。根据患者四个优 先级类型建立抢占型优先权排队模型（ M/M/C/ 5.2.2.1 优先权说明 排队模型）。 / FR   / 设同优先等级类型的病人有相同的服务优先权，服从 FCFS 排队规则，并且设服务 机制是抢占型恢复的，即当一个病患进入该系统时，如果该病患优先权等级比已经被安 排床位的患者病种优先权等级高时，那个已经被安排床位但还没入院的病种将被终止服 务直到比它优先权高的工作完成服务后，它才恢复未完成的服务。最后我们设我们的策 略是非空闲的，即所有病床都一直在进行接受安排工作。 各优先等级类型的病人的服务等级分别为： 等级一 1m 急症： 只要有空床位就首先安排急症患者入院，安排其第二天进行手术。 等级二 2m 双眼白内障：优先权次于急症患者，只要最近的周六和周日有未安排的空 位就安排其入院，如果是周六安排其入院，则相应的术前准备时间为 2 天；如 果是周日安排其入院，则相应的术前准备时间为 1 天。 6
    等级三 3m 单眼白内障：优先权次于双眼白内障患者，只要最近的周六、周日、周一和 周二有未安排的空位就安排其入院，如果是周六和周一安排其入院，则相应的 术前准备时间为 2 天；如果是周日和周二安排其入院，则相应的术前准备时间 为 1 天。 等级四 4m 青光眼与视网膜疾病： 优先权次于单眼白内障患者，只要最近日期有未安 排的空位就安排其入院，如果是周六和周一安排其入院，则相应的术前准备时 间为 3 天；其他时间内安排其入院相应的术前准备时间为 2 天。 另外，从题中所给数据中可得出第一手术后所需观察时间（即表中已知所有患者的 第一次手术到出院的平均间隔）：外伤的为 6 天、单眼白内障的为 3 天、双眼白内障的 为 5 天、青光眼的为 7 天、视网膜疾病的为 10 天。然后根据此模型中安排的入院时间 和手术时间，便可得出大约入住时间和大约住院时长告诉病人。 5.2.2.2 模型的状态概率和主要运行指标 假设患者平均到达率为，单个病床的平均服务率（表示单位时间内被服务完的患 者数）为，整个机构的平均服务率C，服务强度等于平均到达率与平均服务率之比：  ，只有当 1 时，才不会排成无限的队列， nP 为C 个服务台在任意时刻有 n 个 患者的概率，当平均到达率为，平均服务率为C到达稳态系统时，可得：  C   P 0  [ P n  )   )  C 1  1  ( ! k 0 k  1 (   ! n 1 ! C C     k  1 C  ! 1 1     (  C ) ] n  P 0 ,0   n C  ) 1  (  n n  P n C 0  ,  1 (1) (2) 当系统在平衡状态时， 平均队列长为： L q  C ( ) C   2 ) !(1 C    P 0 平均对长为： L L C   q    P 0    C C  L q ) ( C   2 ) !(1 C   ) ( C    2 ) !(1 C    C ( ) C    2 !(1 )    1  P 0 P 0   L q  L   C 患者在系统中的平均等待时间： W q  患者在队伍中的平均逗留时间： W  服务台的工作强度和利用程度： 闲期的平均长度 I ： 1   B LI  忙期的平均长度 B ： I  1    5.2.2.3 模型二的求解 根据该住院部当前已知的情况拟出院病人数，拟出院情况见附表 1。对模型二进行 c 程序设计，求得病人安排住院方案一（见附表 2），统计方案一中 9 月 12 日至 9 月 20 日各类病人的入院人数如表 2 所示，由表 2 中可看出该模型中病床周转次数较快，床位 效率指数较大。得出安排方案后便可告诉病人大概入住时间和大约住院时长告诉病人。 7
    程序流程图参见附录 2。 表 2 方案一中 9 月 12 日至 9 月 20 日各类病人的入院人数 日期 12 13 外伤 1 白内障 0 青光眼 2 视网膜 3 6 总计 0 20 0 0 20 14 0 6 0 0 6 15 0 0 0 2 2 16 0 9 0 0 9 17 0 0 1 3 4 18 0 0 1 3 4 19 0 0 2 9 11 20 0 15 9 15 39 经得知服务强度 =0.0108<1,  -242 （人） 计算主要数量指标如下： qL =7.0355 10 L=0.8571 （人） 242 qW 5.8629 10  W=0.7143 （天） （天）   服务台的工作强度和利用程度： 服务窗口空闲时间的概率 服务窗口繁忙时间的概率 iP = 0.1429 bP = 0.8571 根据以上数据指标可得：病床 85.71%的时间是处于被占用的，只有 14.29%的时间 是空闲的；系统中的患者数，包括排队等候的和正在接受服务的所有患者为 0.8571 人； 除已安排好住院床位的患者外,系统中排队等候的患者数为 5.8629 10 中平均逗留时间为 0.7143 天，平均等待时间为 5.2.2.4 用模型一检验模型二 7.0355 10 242 人；患者在系统 天。 -242 （1）用成本指标模型检验模型二如下： 根据求得病人安排住院方案得出从 2008-8-30 到 2008-9-11 这 13 天的等待入院患 者人数 Xi 如表 3 所示： 表 3 从 2008-8-30 到 2008-9-11 这 13 天的等待入院患者人数 Xi 日期 人数 64 8 月 30 日 8 月 31 日 9 月 1 日 9 月 2 日 9 月 3 日 9 月 4 日 9 月 5 日 6 14 29 37 50 60 24 67 9 月 6 日 9 月 7 日 9 月 8 日 9 月 9 日 9 月 10 日 9 月 11 日 64 日期 人数 这 13 天住院患者人数： iy = 79 by  得出对应的 iQ ，因为从 2008-8-30 到 2008-9-11 期间天数较少，受之 代入 i i 前床位占用一直到 9 月 11 日还为周转开来影响， iQ 在这 13 天期间只能呈现一直增长状 态。 Q ax i 102 80 89 75  （2）用归一分析法检验模型二如下： 由附表 2 该住院部当前情况的病人安排方案可以看出，病人安排类型由分散变为集 中，有效的缩短了手术前的观察时间，加快了病床周转次数，床位效率指数增大，床位 运行效率比 FCFS 模型要高，使多数患者的等待时间缩短。患者的大概入院时间和大约 住院时长由附表 2 可看出。 8
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