2013年湖南高考理科数学试题及答案.doc-资料库

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2013 年湖南高考理科数学试题及答案本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 5 页，时量 120 分钟，满分 150 分。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.  1  1.复数  z i  i i 为虚数单位在复平面上对应的点位于  A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】 B 【解析】 z = i·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选 B 选 B 2.某学校有男、女学生各 500 名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法【答案】 D 【解析】因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。选 D 3.在锐角中 ABC A．  12 【答案】 D ，角 ,A B 所对的边长分别为 ,a b .若 2 sin  6  4 C． D． B  3 B． a  3 , b 则角等于 A 【解析】由 2asinB :得b3= 2sinA  sinB 3 =  sinB  sinA 3 = 2 A，   2 =A  3 选 D 4.若变量 ,x y 满足约束条件 2 x y     x y     1 y  1 ， 2x y则的最大值是

A． 5- 2 【答案】 C B．0 C． 5 3 D． 5 2 【解析】区域为三角形，直线 u = x + 2y 经过三角形顶点 1( 3 2, 3 ) 时， u 5 3 最大选 C 5.函数   2ln f x  x 的图像与函数   g x  x 2 4  x  的图像的交点个数为 5 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】 B 【解析】二次函数   g x  x 2 4  x  的图像开口向上，在 x 轴上方，对称轴为 x=2，g(2) = 1； f(2) 5 =2ln2=ln4>1.所以 g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为 2 选 B 6. 已知 ,a b 是单位向量， a b  0 .若向量 c 满足 c a b    则的取值范围是 1, c  A． 2-1 , 2+1 ，    C． 1 , 2+1 ，   【答案】 A 【解析】  是b,a 单位向量，  |ba|  B． 2-1 , 2+2 ，     D． 1 , 2+2 ，     |ba-c|,2   .1|c-)ba(|  即一个模为 2 的向量与 c 向量之差的模为 1，可以在单位圆中解得 |1-2  c |  12  。选 A 7．已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 A．1 B． 2 C． 2-1 2 D． 2+1 2

【答案】 C 【解析】由题知，正方体的棱长为 1， 1 正视图的高为，宽在区间 ]2,1[ 上，所以正视图的面积也在区间 ]2,1[ 而上 . 1-2 2  1 。选 C 8.在等腰三角形 ABC 中， = AB AC  ，点 P 是边 AB 上异于 ,A B 的一点， 4 光线从点 P 出发，经 ,BC CA 发射后又回到原点 P （如图1）.若光线QR 经过 ABC A． 2 8 3 C．的中心，则 AP 等 B．1 4 3 D．【答案】 D 【解析】使用解析法。设 ),0,( xP BC 的中点 D ).2,2(  ABC  的重心在中线的 O 2 3  处， O 4( 3 ). 4, 3 (4( kQk )), (3 k 设直线 RQ 的斜率为 k , 则其方程为 y  ( xk  4 3 )  4 3 R 4,0( 3 1(    )2 )1 2(4, )1 k  (3 )1 k  ) 。 k RP  )1 (4 k  3 , k QP  2(4 )1 k  (3)2 kx   (4 k  )1 , 由题知 k  k  ,0 kk  QP RP  k x      1 (0  k  ，  舍）  x     1 2 4 3 选 D  2( 1 k )(1 k  )1  0 二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分. （一）选做题（请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）

9.在平面直角坐标系 xoy 中，若 l : x y    , t  t a   (t 为参数过椭圆 ) C : x y      3cos ,  2sin  ( 为参数的右顶点，则常数 a的值为 3 ) . 【答案】 3 【解析】 l 方程直线 : y ax  , 2 x C 椭圆方程： 9  2 y 4  1 的右顶点 )0,3(  03 a a 3 10.已知 , , a b c ,   a 2 b  3 c  6, a 则 2  4 b 2  9 c 2 的最小值为 12 . 【答案】 12 【解析】考察柯西不等式 . 2 1( 2 1  2 ()1  a 2  2 )2( b  2 ))3( c 1 21 b  （ a 2 31 c  ） a 且当  ,2 b  ,1 c  2 3 时，取最小值 .  36 a 2 2 4 b  2 9 c  12 11.如图 2，在半径为 7 的 O 中,弦 , AB CD 相交于点 , P PA PB  2, PD  ，则圆心到弦CD的距离为 O 1 . 3 2 【答案】【解析】由相交弦定理得 AP  PB  DP PC  PC ,4 DC  5 ，圆心到 CD 的距离 d  2 r  ( PC 2 2 )  3 2 （一）必做题（12-16 题） T x dx 则常数的值为 3 9, T  12.若 2  0 . 【答案】 3

【解析】 T  0 x 2 dx  3 x 3 T 0  3 T 3  T 9 3 13.执行如图 3 所示的程序框图，如果输入 1,  a b 【答案】 9 【解析】 a 922221  则输出的的值为 2, a 9 . 14．设 1 ,F F 是双曲线 2 C : 2 2 x a  2 2 y b  1( a  0, b  的两个焦点，P 是 C 上一点，若 0) PF  PF 2 1  6 , a 且  PF F 1 2 的最小内角为30 ，则 C 的离心率为___。【答案】 3 【解析】设 P 点在右支上， m |  PF 1 |, n |  PF 2 |,  则   nm nm   6 2 a a  m ,4 na  2 a FPF  由题知， 21 中，  FPF 21  .30  由余弦定理得 : cos 30  2 16 a 2 4 a 2 4 c   82 ac   1 4 3( a c  c a )  3 2  e c a 3 15．设 nS 为数列 na 的前 n 项和， S n   ( 1) n a n  1 2 n , n N   , 则（1） 3a  _____；

S （2） 1  S 2    S 100  ___________。【答案】 3 【解析】设 P 点在右支上， m |  PF 1 |, n |  PF 2 |,  则   nm nm   6 2 a a  m ,4 na  2 a 16．设函数 ( ) f x  x a x  b  c x , c 其中   a 0, c b   0. （1）记集合 M   ( , , a b c a b c , ) , 不能构成一个三角形的三条边长，且 =b ，则 ( , a b c M 所 , ) a  对应的 ( ) f x 的零点的取值集合为__ ]10( ， __。【答案】 ]10( ，【解析】由题知 c  , ca  ba 2 a ，令 )( xf  x 2 a  x c  c x (2[ a c x ) ]1  0 ( c a x )  c a .2 又  ln c a  2ln  0 2ln 2ln  2ln c ln a 所以 f(x)的零点集合为 ]10( ，  ,0 x  ]10( ，。 2ln c ln a  2 x 2ln c ln a （2）若 , ,a b c ABC是的三条边长，则下列结论正确的是 ①②③ .（写出所有正确结论的序号）  ① x     ,1 ,   f x  0; ② x R   使 , x , xa b c , x x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若 ABC  为钝角三角形，则 x     1,2 , 使   f x  0. 【答案】 ①②③ 【解析】 )( xf  c x [( a c x )  b )( c x  ],1  a c  ,1 b c  ,1 x ( (),1, a c x )  b )( c x (1  a c 1 )  b 1 )( c 1  cba  c  0

1 所以①正确。 x 令  ,1 a  b ,1 c  ,2 a 则 x  x ,1 b  ,1 c x  2 不能构成三角形的三条 . 边长所以②正确。若三角形为钝角三角形 a，则令 2  2 b 2 - c  ;0 f )1(  cba ,0 f )2(  2 a  2 b 2 - c  0  x ),2,1( 使 0)( xf  。所以③正确。三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) f x  sin( x   ) 6  cos( x  ). ( ) g x  2sin 2 x 2 。（I）若是第一象限角，且 ( f   ) 。求 ( g  的值； )  3 3 3 5 （II）求使 ( ) f x  ( ) g x 成立的 x 的取值集合。【答案】（I） 1 5 （II） 2[ k  2, k  2  ], 3 Zk  【解析】（I） )( xf  3 2 sin x  cos x  1 2 cos x  sin x  sin3 x  ) ( f  sin3   33 5 .  sin    3 5 , ,0(  ) 2  cos   , g且 ) (   sin2 2 1  cos   1 5 1 2 4 5 3 2  2 （II） )( xf  )( xg  sin3 x 1  cos x  3 2 sin x  1 2 cos x  sin( x )  6  1 2  x  6 2[ k    6 2, k   5  ] 6  x 2[ k   2, k 2  ], 3 k  Z .(完) 18．（本小题满分 12 分）某人在如图 4 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶

点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示： X Y 1 51 2 48 3 45 4 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米。（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。【答案】（Ⅰ） 2p 9 （Ⅱ） YE )( 46 【解析】 (Ⅰ) 由图知，三角形边界共有 12 个格点,内部共有 3 个格点. 从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有 0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1 对格点，共 8 对格点恰好“相近”。所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率 P 8  3 12  2 9 （Ⅱ）三角形共有 15 个格点。与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 1 个的格点有 2 个，坐标分别为(4,0),(0,4)。 YP所以 ( )51  4 15 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 2 个的格点有 4 个，坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1)。 YP所以 ( )48  4 15 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 3 个的格点有 6 个，坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0， 1,) ,(0，2),(0，3,)。 YP所以 ( )45  6 15 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 4 个的格点有 3 个，坐标分别为(1，1), (1,2), (2,1)。 YP所以 ( )42  3 15 如下表所示：

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