2013年重庆理工大学高等代数考研真题A卷.doc

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2013 年重庆理工大学高等代数考研真题 A 卷一、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1.设 )(xf 为复数域上没有重根的多项式，则 ( ( xf ), f (' x )) __________________ A       2121 10 t t 10 1 t      __________________ 且齐次线性方程组 Ax 的解空间的维数为 2, 则 2. 设 t 3.设矩阵 A 1 2  4      0 2  1 0 1 1       __________________ , E 为单位矩阵，则 3| E  2 *A |  4.设 A 为 3 阶实对称矩阵,且 2 A  , A 秩 ( ) A  2 ,则 A 的全部特征值为 __________________ 5. 若实对称矩阵 A 与矩阵 B  __________________ 1 0 0      0 0 21  2 2      合同 , 则二次型 Ax xT 的标准形为二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1.下列说法正确的是（） A、零多项式能整除任意多项式； B、数域 F 上的任一 ( nn )0 次多项式都可以分解成 F 上的不可约多项式的乘积； C、若多项式 )(xf 在数域 F 上可分解，则 )(xf 在 F 上有根；

D、实数域 R 上的任意二次多项式都是可约的。 2. 设      x 1 x 1 x 1    x 3 9 1  x   3 5 x  3 25 x  3 2 x 2 x 2 ，则该线性方程组（） 2  2   A、对任意都有解； B、仅当 1 时有解； C、仅当 2 时有解； D、仅当 1 时有解。 3.设 A 为 nm  阶矩阵，C 为 n 阶可逆矩阵，秩 rA  ,秩 ( AC )  s ，则（） A、 r s  B、 r s  C、 r s  s 与r D、的关系不确定 4. 若数域 F 上向量空间V 中的向量 , m 1  线性相关，则（ , , 2 ） A、 B、   1 ( ) mrr , , , 2   1 ( ) mrr , , , 2 线性相关；线性无关； C、对V 中的任一向量 1m ，都有 D、对V 中的任一向量 1m ，都有 m   1 m 2 , , , , m   1 m 2 , , , , 线性相关；线性无关。 1 1 5. n 阶实对称矩阵 A 是正定矩阵的充分必要条件是（） A、 | A 0| C、 nA 秩 B、 A 的所有特征值非负 D、 1A 是正定矩阵

三、（12 分）给定多项式 ( ) f x  4 4 x  7 x 2  5 x 1  ， ( ) g x  3 2 x 2  5 x  5 x  ， 3 （1）（5 分）证明： ( ( ), f x ( )) 1 g x  （2）（7 分）若 ( ) f x g x h x ，其中 ( ) ( ) ( ) ( ) h x Q x ，Q 表示有理数域，且 ( )h x 的次数= ( ) f x 的次数，问能否求出 ( )h x 的有理根，若能，求 ( )h x 的所有有理根。四、（12 分）给定齐次线性方程组        (1 x 1   ) a x 1 (2  2 nx 1  nx 2  x n 2 x     x   2 ) a x  2  ( ) n a x    0   n 0  0 n ，（1）（8 分）求已知齐次线性方程组的系数行列式；（2）（4 分） a 取何值时，方程组有非零解？在有非零解时，确定其解空间的维数。五、（14 分）已知 4 阶方阵 A     4  ( , , , 1 2 3 ) ， 1      均为 4 维列向量， , , , , 2 3 4 其中 1 ,   线性无关， 3 22      , 2 4 1 ，      4  ，    2 1 2 3 （1）（6 分）求 dim X AX  ；   （2）（8 分）求线性方程组 AX  的通解。六、（16 分）设矩阵 A 的伴随矩阵 A  ABA  1  BA  1  ， 2 E 1   2   0  3  1 0 0 1 0 0 1 1 0  0 0 9       ，且

（1）（6 分）求 A ；（2）（10 分）求矩阵 B 。七、（16 分）给定向量组 1   (2, 1, 4, 3)    ， 2 ( 1, 1,  6, 6) ( 1,    ， 3  2, 2,  ， 9)   4 (1, 1,  2, 7)   ， 5 (2, 4, 4, 9) ，（1）（10 分）求生成子空间 1 5 ( L      的维数及一个基； ) , , , , 2 3 4 （2）（6 分）向量  (1, 0,  1, 2) 是否属于 1 ( L      ，请说明理由。 ) , , , , 2 3 4 5 八、（16 分）设 A 是 n 阶方阵，且 2 A A 2 （1）（4 分）确定 A 可能的特征值；（2）（6 分）证明： 3A E 可逆；（3）（6 分） ( ) R A  ( R A  2 ) E  。 n 九、（16 分）设 1     是欧式空间 4R 的一个规范正交基， , , , 2 3 ,   是 4R 的一 , 1 2  3 4 ， 3      4     3 8 1 2 3 ，， 2 44          1 2 3 个向量组， 1 42          1 2 3 W L    3  ( , , 1 2 ) ，（1）（6 分）证明： dim W   ； 2 （2）（10 分）求      4     在W 中的正投影。 4 4 1 2 3

十、（18 分）已知实二次型 ( f x 1 , x 2 , x 3 ) (1   2 ) a x 1 (1   2 ) a x 2  2 2 x 3  2(1  ) a x x 1 2 的秩 2 ，（1）（8 分）求 a 的值； ( f x （2）（10 分）应用变量的正交变换，将 1 , x 2 , x 化为标准形。 3 )

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