2014年北京高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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绝密★启封并使用完毕前 2014 年北京高考文科数学真题及答案本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。第一部分（选择题共 40 分）（1）若集合， A    0,1,2,4  0,1,2,3,4 B  （B）   1,2,3 0,4 ，则 A B  （C） （A） （） 1,2 （D） 3 （2）下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是（（C） ln （B） y e （A） x  y y x ） x （D） y x  （3）已知向量  a  5,7 （A） 2,4 （B）  ，  b   5,9 1,1   ，则 2a b  （C） 3,7 （D） 3,9 （）（4）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（）（D）15 （C） 7 （B）3 （A）1 （5）设 a 、b 是实数，则“ a b ”是“ 2 a 2 b ”的（） (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件（6）已知函数  f x  (A) 0,1 6 log   x (B) 1,2 2 x ，在下列区间中，包含   f x 零点的区间是（） (C) 2,4 (D) 4,  （7）已知圆  : C x 2     3   ，则 m 的最大值为（ 4  y APB 90  （A） 7 （B）6 ）（C）5 2  和两点  1 A m ,0 ，  B m ,0   m  ，若圆 C 上存在点 P ，使得 0  （D） 4

（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t （单位：分钟）满足的函数关系 p  2 at  bt  （ a 、 b 、 c 是常数），如图记录了三次实验的数据.根据 c 上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）（A）3.50 分钟（C） 4.00 分钟（B）3.75 分钟（D） 4.25 分钟第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）若  x i i  1 2     i x R  ，则 x   . （10）设双曲线C 的两个焦点为  2,0 ， 2,0 ，一个顶点是 1,0 ，则C 的方程为 . （11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 . （12）在 ABC 中， 1a  ， 2b  ， cos C  ，则 c  1 4 ；sin A  . （13）若 x , y 满足 y      1 0 x      1 0 x  1 y y ，则 z  3 x  的最小值为 y . （14）顾客请一位工艺师把 A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间粗加工精加工原料原料 A 原料 B 则最短交货期为工作日. 9 6 15 21

三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。（15）（本小题 13 分）已知 na 是等差数列，满足 1  b n 4 a 为等比数列.（Ⅰ）求数列 na 和 nb 的通项公式；（Ⅱ）求数列 nb 的前 n 项和. a  ， 4 a  ，数列 nb 满足 1 12  3 n b  ， 4 b  ，且 20 （16）（本小题 13 分）函数  f x   3sin 2    x   6    的部分图象如图所示. （Ⅰ）写出   f x 的最小正周期及图中 0x 、 0y 的值；（Ⅱ）求   f x 在区间       2 12  , 上的最大值和最小值.   

（17）（本小题 14 分）如图，在三棱柱 ABC A B C 1 1 1  中，侧棱垂直于底面， AB BC ， 1 AA AC  ， 2 E 、 F 分别为 1 1AC 、 BC 的中点. （Ⅰ）求证：平面 ABE  平面 1 //C F 平面 ABE ；（Ⅱ）求证： 1 （Ⅲ）求三棱锥 E ABC 的体积. B BCC ； 1  （18）（本小题 14 分）从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 分组   0 2，   2 4，   4 6，   6 8，   8 10，   10 12，   12 14，   14 16，   16 18，合计频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2 100 （Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率；

（Ⅱ）求频率分布直方图中的 a，b 的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）（19）（本小题 14 分）已知椭圆 C： 2 x y  ，点 B 在椭圆 C 上，且OA OB ，求线段 AB 长度的最小值.  .（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）设 O 为原点，若点 A 在直线 22 y 2 4  3 ( ) f x f x 在区间[ 2,1] （20）（本小题 13 分）已知函数 2 x  上的最大值； P t 存在 3 条直线与曲线 y (0,2) A （Ⅰ）求 ( ) （Ⅱ）若过点 (1, ) （Ⅲ）问过点 ( 1,2),  B (2,10), C  3 x .  ( ) f x 相切，求 t 的取值范围；分别存在几条直线与曲线 y  ( ) f x 相切？（只需写出结论）

绝密★考试结束前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）C （2）B （3）A （4）C （5）D （6）C （7）B （8）B 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）2 （12） 2 15 8 （10） 2 x 2 y  1 （11） 2 2 （13）1 （14）42 三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15）（共 13 分）解：（Ⅰ）设等差数列 na 的公差为 d ，由题意得 d  a 1  a 4  3 12 3  3  3  n    3 n n  1 2 ，，．  a 的公比为 q ，由题意得 3 q  b 4 b 1    20 12  4 3   8 ，解得 2 q  ．  na 所以 a  1 设等比数列 b n n  1 d  a 4 a 1 所以 b n  a n   b 1  1 n a q  1  n  ． 1  2 从而 nb  3 n  n 2  1 n  1 2 ，，  （Ⅱ）由⑴知 nb  3 n  n 2  1 n  1 2 ，，．  数列 3n 的前 n 项和为  n n  ，数列  1 3 2 12n 的前 n 项和为 1 2 n  1 2  1 ×  n 2  1 ．所以，数列 nb 的前 n 项和为  n n  3 2  1  n 2 1  ．（16）（共 13 分）解：（Ⅰ）   f x 的最小正周期为 π x  ． 0 0 y  7π 6 3

（Ⅱ）因为 x      π 2  ， π 12    ，所以 2 x      π 6 5π 6 ，． 0    于是当 2 x   ，即 0 x   时，   f x 取得最大值 0； π 12 当 2 x  π 6   ，即 x   时，   π 3 ABC A B C 1 1 1  f x 取得最小值 3 ． π 6 π 2 （17）（共 14 分）解：（Ⅰ）在三棱柱中， 1BB  底面 ABC ． AB ．所以 1BB 又因为 AB BC ．所以 AB  平面 1 1 所以平面 ABE  平面 1 B BCC ． B BCC ． 1 （Ⅱ）取 AB 中点 G ，连结 EG ， FG ．因为 E ， F 分别是 1 1AC ， BC 的中点，所以 FG AC∥ ，且 FG  1 2 AC ．因为 AC A C∥ ，且 1 1 AC A C 1 1 ，所以 FG EC∥ ，且 1 FG EC ． 1 所以四边形 FGEC 为平行四边形． 1 EG∥ ．所以 1C F 又因为 EG  平面 ABE ， 1C F  平面 ABE ，所以 1C F ∥平面 ABE ． AA （Ⅲ）因为 1 AC  ， 2 BC  ， AB BC ， 1 2  AB 所以 BC 所以三棱锥 E ABC AC   2  ． 3 的体积 V  1 3 S  AA 1 △ ABC    1 1 3 2 3 1 2    3 3 ．（18）（共 13 分）解：（Ⅰ）根据频数分布表，100 名学生中课外阅读时间不少于 12 小时的学生共有    名，所以样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是 6 2 2 10 10 100 1   ． 0.9 从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于 12 小时的概率为 0.9 ．（Ⅱ）课外阅读时间落在组[4 6)，的有 17 人，频率为 0.17 ，所以 a  频率组距  0.17 2  0.085 ．课外阅读时间落在组[8 10)，的有 25 人，频率为 0.25 ，所以 b  频率组距  0.25 2  0.125 ．

（Ⅲ）样本中的 100 名学生课外阅读时间的平均数在第 4 组．（19）（共 14 分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆 C 的标准方程为 2 x 4 2 y 2 1  ．所以 2 a  ， 2 b  ，从而 2 c 4 2  2 a  2 b  ． 2 因此 2 a  ， c  ． 2 故椭圆 C 的离心率 e  c a  ． 2 2 2t ，， （Ⅱ）设点 A ， B 的坐标分别为 x 0 y，，其中 0 x ≠ ． 0 0  因为 OA OB ，   OA OB  0 ，所以 tx 即 0 02 y  ，解得 0 t   ． 0 2y x 0 又 2 x 0 2 AB 2 02 y  x 0   ，所以 4  2  t   y 0  2 2      x 0  2 0 2 y x 0      y 0  2 2   2 x 0  y 2 0  2 4 y 0 2 x 0  4  2 x 0  4 2 x 0  2  2 x 0  2 4  2 x 0  4  2 x 0 2  8 2 x 0   4 0  ≤ ． 4 2 x 0  因为 2 x 0 2  8 2 x 0 ≥  4 0 2 x 0 x  时等号成立，所以 2 ≤ ，且当 2 0 AB ≥ ． 4 8 4  故线段 AB 长度的最小值为 2 2 ．（20）（共 13 分）解：（Ⅰ）由   f x  32 x  得   3 x f x   26 x 3  . 令   0 x  ，得 f x   或 2 2 x  2 2 . 因为  f    ， 10 2 f      2 2      2 ， f     2 2       2 ， f   1 1   所以   f x 在区间  2 1  ，上的最大值为（Ⅱ）设过点  1P t，的直线与曲线  y    f x f      2 2 相切于点  2 .     x 0 y，， 0  则 y 0  2 3 x 0 所以切线方程为 3 x 0  ，且切线斜率为  2 06 x y 0 3     y k   ， 3 2 06 x 0 x x ，

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