2019年湖北武汉科技大学概率论与数理统计考研真题及答案.doc-资料库

2019 年湖北武汉科技大学概率论与数理统计考研真题及答案一、选择题(共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分) 1、已知 ( P A  ) 0.5 , P B  ，则 ( ( 0.6 P AB 的最大值为（ ) ) ）. A. 0.5； B. 0.6； C. 0.1； D. 1 2、设随机变量 X N: (0,1) 为， Y  , aX b  ,a b 为常数，且 0 a  ，则下列结论正确的是（） A. EY a ； B. DY 2 a ； C. EY   a b D. DY  2 a  2 b 3、设 ( , F x y 表示二维随机变量 ( ) )X Y 的联合分布函数，则下列说法中不正确的是 , （ A. B. ） F (0,   ) 1 2 F x  关于 x 单调不减； ( , ) C. F (0,0) 表示随机向量 ( )X Y 落在第三象限的概率；（包括边界） , ( )  F F (0,     D. 1 4、设 X 为随机变量， ,EX DX 分别表示 X 的期望和方差，C 为常数，则下述结论正确的是（  ； (0,0) ,0) F ） 0 E X C  ( )  EX C  ； A. C. E X C  ( D X C  ( )  EX ； )  DX C  ； B. D. D EX C  ( 5、设连续型随机变量 X 的密度函数为 ( ) f x )  EX     1, 0 0, 1 x   其它，下述结论不正确的是（ A. E X  ； ( ) ） 1 2 B. D X  ； C. ( ) 1 12 E X  ； ( ) 2 1 3 D. ) 1 E X  ( 2 6、设二维随机变量 ( , X Y ) N (0,0,1,1;0) ，则如下结论不正确的是（） A. E Y  ； ) 1 ( B. D Y  ； C. ) 1 ( ( P Y  0)  ； 1 2 D. ,X Y 不相关二、填空题(共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分) 1 、设事件 , ,A B C 为两两互不相容，且已知 ( P A  ) 0.1, ( P B  ) 0.2, ( P C  ) 0.3 , 则

( P A B C  U U ) . 2、设连续型随机变量 X 的密度函数为 ( ) f x ,  xe   0,  x x   0 0 ，计算 ( P X  1)  . 3、设二维随机变量 ( )X Y 服从区域 , G   ( , x y );0   x 1,0   上的均匀分布，则可 y  1 得 ( P X  1 2 )  4 、设随机变量 X b 1(3, 2 . ) ， Y 服从参数为 1 的泊松分布，且 ,X Y 相互独立，则 D X ( 2 ) Y  . 5 、设 1 X X , , X , 2 10 是来自标准正态总体的简单随机样本，则 X 10 1   的方差 10 X 1  i i 为 . 6、设随机变量 X 服从标准正态分布 (0,1) N ，为常数， ( ) P X   ，则 0.1 ( ) P X    . 三、计算题(共 9 小题，每小题 10 分，共 90 分) 1、盒中有 6 个白球，4 个黑球，从中依次任取两球不放回。（1）求两次都取到白球的概率。（2）先取到一白球后取到一黑球的概率。 2、设连续型随机变量 X 的概率密度函数为     x   x   其他 0 , 1 x a 0, ( ) f x 1 2   x （1）求常数 a ；（2）求随机变量 X 的分布函数。 3、向区间[0,1]内任意投掷 10 个点，设 X 为落入区间（0.8，0.9）内点的个数，求（1） X 的分布律；（2）求 ( P X  1) . 4、设连续型随机变量 X U (0,1) ,（1）求 2X 的密度函数；（2）求 2EX 。 5、已知连续型随机变量 X 的分布函数为

0, x  0 x , 0   x 1 ， ( ) F x         3 4  A B x 1, , 1 4 x   其它（1）确定常系数 ,A B ；（2）求 {1 4 P X  9 4} ；（3）求 X 的概率密度函数 ( ) f x . 6、设二维随机变量 ( )X Y 的联合概率密度函数为 , ( , f x y )  , 3 4 0,     2 x  y  1 ，其它（1）求概率 { P X Y ；（2）求出 ( } )X Y 关于Y 的边缘概率密度函数 ( ) y . , Yf （3）计算 ( P X  0 | Y  1 2 ) . 7、设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 X Y 1 0 1 1 10  0 1 15 4 15 1  2 15 （1）求 ,的值.（2）已知 ,X Y 相互独立，求 ( )X Y 的边缘分布律。 , 8、设 1 X X , , 2 X 是来自于概率密度函数为 , n ( ) f x   1      ( 1 x   ) e , x  1 0, 其它的总体的样本，其中 0 为未知参数，求未知参数的最大似然估计量。 9、某车间用自动包装机包装葡萄糖，每袋净重 X 是一个随机变量，且 X N  ( ,1) ，当包装机工作正常时，其均值 0.5 ，现随机抽查 9 袋，测得样均值为 0.508，本标准差为 0.012 （单位：kg）,则包装机是否正常工作？（  0.05 u ， 0.025  1.96 ， 0.025(8) t  2.3060 ）四、解答题(12 分) 设随机变量 X U (0,200), ( )u x 2/5 x ，

（1）计算 (300 Eu X ) （2）设 Y  min(X,100) ,计算 (220 Eu Y ) . 答案一、选择题(共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分) 1、已知 ( P A  ) 0.5 , P B  ，则 ( ( 0.6 P AB 的最大值为（ A ）. ) ) A. 0.5； B. 0.6； C. 0.1； D. 1 2、设随机变量 X N: (0,1) 为， Y  , aX b  ,a b 为常数，且 0 a  ，则下列结论正确的是（ B ） A. EY a ； B. DY 2 a ； C. EY   a b D. DY  2 a  2 b 3、设 ( , F x y 表示二维随机变量 ( ) )X Y 的联合分布函数，则下列说法中不正确的是 , （ A ） A. F (0,   ) 1 2 B. F x  关于 x 单调不减； ( , ) C. F (0,0) 表示随机向量 ( )X Y 落在第三象限的概率；（包括边界） , ( )  F F (0,     D. 1 4、设 X 为随机变量， ,EX DX 分别表示 X 的期望和方差，C 为常数，则下述结论正确的是（ B ）  ； (0,0) ,0) F 0 E X C  ( )  EX C  ； )  EX     1, 0 0, 1 x   其它，下述结论不正确的是 A. C. E X C  ( D X C  ( )  EX ； )  DX C  ； B. D. D EX C  ( 5、设连续型随机变量 X 的密度函数为 ( ) f x （ D ） A. E X  ； ( ) 1 2 B. D X  ； C. ( ) 1 12 E X  ； ( ) 2 1 3 D. ) 1 E X  ( 2 6、设二维随机变量 ( , X Y ) N (0,0,1,1;0) ，则如下结论不正确的是（ A ） A. E Y  ； ) 1 ( B. D Y  ； C. ) 1 ( ( P Y  0)  ； 1 2 D. ,X Y 不相关二、填空题(共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分) 1 、设事件 , ,A B C 为两两互不相容，且已知 ( P A  ) 0.1, ( P B  ) 0.2, ( P C  ) 0.3 , 则

( P A B C  U U ) 0.6 . 2、设连续型随机变量 X 的密度函数为 ( ) f x ,  xe   0,  x x   0 0 ，计算 ( P X  1)  1e . 3、设二维随机变量 ( )X Y 服从区域 , G   ( , x y );0   x 1,0   上的均匀分布，则可 y  1 得 ( P X  1 2 )  4、设随机变量 X b 1/2 1(3, 2 . ) ，Y 服从参数为1 的泊松分布，且 ,X Y 相互独立，则 D X ( 2 ) Y  19/4 . 5、设 1 X X , , 2 X 是来自标准正态总体的简单随机样本，则 , 10 X 10 1   的方差为 10 X i 1  i 1/10 . 6、设随机变量 X 服从标准正态分布 (0,1) N ，为常数， ( ) P X   ，则 0.1 ( ) P X    0.1 . 三、计算题(共 9 小题，每小题 10 分，共 90 分) 1、盒中有 6 个白球，4 个黑球，从中依次任取两球不放回。（1）求两次都取到白球的概率。（2）先取到一白球后取到一黑球的概率。解：设 iA  { i 第次取到白球， } i  1,2 ，则有 ( P A A 2 1 )  ( P A A 2 1 )  ( P A A P A 1 ) ( | 2 1 )  ( P A A P A 1 ) ( | 2 1 )  6 10 6 10 5 9 4 9     . 1 3 4 15 . 5 分 5 分 2、设连续型随机变量 X 的概率密度函数为     ( ) f x  x a 0,  x 1 2 0 , 1 x   x   其他（1）求常数 a ；（2）求随机变量 X 的分布函数。 ) x dx 解：（1）根据规范性， xdx (2   1 2  0  1  1 ，可得 2 a  . 5 分

（2） ( ) F x  x   ( )dx f x  2 x 2 0,           1,  2 x  0 , 0   x 1 x  3 2 , 1   x 2 x  1 5 分 3、向区间[0,1]内任意投掷 10 个点，设 X 为落入区间（0.8，0.9）内点的个数，求（1） X 的分布律；（2）求 ( P X  1) . 解：（1） X b  (10, p ) ， p P  (0.8  X  0.9)  0.1 即 ( P X k  ) C (0.1) (0.9)  k k 10 10 k , k  0,1,2,  ,10 （2） ( P X  1) 1   ( P X  0) 1   C 0 (0.9) 10 10 . 4、设连续型随机变量 X U (0,1) ,（1）求 2X 的密度函数；（2）求 2EX . 解：（1）当 0 1y  5 分 5 分 ( ) YF y  ( P Y  y )  ( P X 2  y )  P (  y  X  y )  y 4 分 f Y ( ) y  '( ) F y       2 1 , y 0, y  0 y  0 （2） 2 EX DX  (EX) 2  1/ 3. 5、已知连续型随机变量 X 的分布函数为 3 分 3 分 ( ) F x , 0, x   3    4   A B x   1, x  0 0   x 1 ， , 1 4 x   其它（1）确定常系数 ,A B ；（2）求 {1 4 P X  9 4} ；（3）求 X 的概率密度函数 ( ) f x . 解：（1）根据连续性，由 F (1 )   F (1 ),  由 F (4 )   F (4 ),  A 得  2 B  1. 故有得 A B   3 4 .

A  （2） {1 4 P  X  9 4}  , 1 2 F .  B 1 4 (9 4)  F (1 4)  (3) 求 X 的概率密度函数 ( ) f x  '( ) F x           8 1 2 0, . 1 2 3 , x  1 8 x 4 分 2 分 0   x 1 , 1   x 4 4 分其它 6、设二维随机变量 ( )X Y 的联合概率密度函数为 , ( , f x y )     3 , 4 0, 2 x   y 1 ，其它（1）求概率 { P X Y ； } （2）求出 ( )X Y 关于Y 的边缘概率密度函数 ( ) y . , Yf （3）计算 ( P X  0 | Y  1 2 ) . 解：（1）由密度函数的对称性， { P X  0}  . 1 2 3 分 (2) f Y ( ) y     ( , f x y dx ) 3 2      (3) ( P X  0 | Y  1 4 )   0  f | X Y ( x | y , 0   y 1 3 分 0 ，其它 1 4 dx ) , ) 1 ( , f x 4 1 ) 4 ( f Y      1, 0, f | X Y ( x | 1 4 )  f | X Y 1 dx  1 2 .    x 1 2 1 2 , 其它 4 分 ( P X  0 | Y  1 4 )  0   1/2 7、设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 X Y 1 1 1 10 0 1 15 1 

0  4 15 2 15 已知 ,X Y 相互独立，（1）求 ,的值.（2）求 ( )X Y 的边缘分布律。 , 解: （1）由 ,X Y 相互独立，可得 (   1 6 )   1 3 1 15 ,(   2 5 )   1 3 4 15 得到  （2） X :  , 1 30  2 5 .    1   2  1 0 1 1 3 1 6       , Y : 1 0   1 4  5 5      6 分 4 分 8、设 1 X X , , 2 X 是来自于概率密度函数为 , n ( ) f x  1      ( 1 x   ) e , x  1 0, 其它的总体的样本，其中 0 为未知参数，求未知参数的最大似然估计量。解：似然函数 l ( )   取对数 n  i 1  ( f x ) i  n  i 1   ( 1 x  i  )  1 ( e  n    1 e  n  i 1  x n  i ) 4 分 n ln   1 n   1 i (  x i n ) ，   ln ( ) l  1 ( n n     1 i 2    x i  n )  0 ，令 )   ln ( l  得 ˆ   MLE X  1. 9、某车间用自动包装机包装葡萄糖，每袋 X 净重是一个随机变量，且 X N  ( ,1) 4 分 2 分，当包装机工作正常时，其均值 0.5 ，现随机抽查 9 袋，测得样均值为 0.508，本标准差为 0.012 （单位：kg）,则包装机是否正常工作？（  0.05 u ， 0.025  1.96 ， 0.025(8) t  2.3060 ）解：问题相当于要检验 0 : H  0.5 , H  1 : 0.5 总体方差已知，用 T 统计量，  XU  0  /  0 n   0.508 0.5 0.012 / 9   1.9815. 3 分 5 分

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