2019年湖北武汉科技大学高等数学考研真题及答案.doc-资料库

2019 年湖北武汉科技大学高等数学考研真题及答案一、单项选择题(共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 1、 ( f x  2)  2 x  2 x  ，则 ( f 3 f (2))  （）. A. 3； 2、已知函数 B. 0； 2 1 x  3 x   2 y  2 x C. 1； D. 2. ，则 1x  是该函数的（）. A. 无穷间断点； C. 可去间断点； B. 跳跃间断点； D. 振荡间断点. x  时， 3、设穷小，则正整数 n  （ 0 1 cos x  2 是比 tann x ）. x 高阶的无穷小， tann x x 是比 ln(1 2 )x 高阶的无 A. 1； B. 2； C.3； D.4 4、下列级数中，收敛的是（）． A． C． 1 1   ； n n  1   ； 2 n n 1  5、设 ( ), f x g x 在 ( ( ) n ； 1  B．  ln 1  n  n  ． 2 n  1 D．   皆可导， ( ) f x ) ,  ( ) g x ，则（）. A. ( f  x )  g ( x  ； ) B.  ( ) f x  ( ) g x ； C. lim ( ) f x x  x 0  lim ( ) g x x  x 0 ； D. x  0 f ( )d t t  x  0 ( )d g t t . 6、下列关于定积分的不等式错误的是（）. A. C. e 1 1 0   ln d x x  2 d x x   0 e 1 ln  d x x 1 2 d x x ；； B. D. 3 e   2 1 2 ln d x x  ln d x x ； 3 e  2 d x x . 3 d x x  2  1 二、填空题(共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 1、设 ( ) f x  2 cos 2 x ，则 d ( ) f x = . 2 、设函数 ( ) f u 可微，且 (2) 1  ，则函数 f  z  ( f x d |z (1,1)  .  在点 (1,1) 处的全微分 y ) 3、幂级数  3) ( x   3 n n 1  n n 的收敛半径为 .

4、交换 4  0 d y  2 y ( , f x y )d x 积分次序得 5、设 D 为曲线 ( x  4 2 1) ( y  2 1)  9  所围成的闭区域，则二重积分 d d x y  1  D . 6、设曲线 L : 2 y  2 z  4 2  x   1 z  ，则曲线积分 2 d s  .  L 三、解答题(共 9 小题，每小题 10 分，共 90 分) 1、求极限 lim 0 x    x e e arctan x x . 2、已知曲线 L的方程为出切线方程.   x   y   2 t 4 t 1,  2 t  , ( t  0) ，过点 ( 1,0)  作 L的切线，求切点坐标，并写 3、求函数 e 4、求由方程 x y z  的全微分. 1 sin 2   x y y  所确定的隐函数 0 y  ( ) y x 的二阶导数 y 2 d d 2 x . 5、求定积分   0 sin x  sin 3 d x x . 6、计算二重积分 I   D  2e y d d x y ，其中 D 是以 (0,0),(0,1),(1,1) 为顶点的三角形所围的闭区域． 7、设曲线段 L y :  2 x (0   上任意一点 ( , 1) x y 处的线密度函数 12x x ) ，求该曲线段的质量. 8、计算曲面积分 I    2 d d xy y z  yz 2 d d z x  2 d d zx x y ，其中  为球面 2 x  2 y  2 z 2  ， R （ 0R  ）的外侧.   ( ) f x 9、设函数 1 0 2 | t  2 x | d ( t x  0) ，求 ( ) f x 的最小值. 答案一、单项选择题(共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 1、 ( f x  2)  2 x  2 x  ，则 ( f 3 f (2))  （ D ）. A. 3； 2、已知函数 y  B. 2 x 0； 2 1  3 x  x  2 C. 1； D. 2. ，则 1x  是该函数的（ C ）.

A. 无穷间断点； C. 可去间断点； B. 跳跃间断点； D. 振荡间断点. x  时， x 3、设穷小，则正整数 n  （ B ）. 1 cos x  是比 tann 0 2 x 高阶的无穷小， tann x x 是比 ln(1 2 )x 高阶的无 A. 1； B. 2； C. 3； D. 4. 4、下列级数中，收敛的是（ C ）． A． C． 1 1   ； n n  1   ； 2 n n 1  5、设 ( ), f x g x 在 ( ( ) n ； 1  B．  ln 1  n  n  ． 2 n  1 D．   皆可导， ( ) f x ) ,  ( ) g x ，则（ C ）. A. ( f  x )  g ( x  ； ) B.  ( ) f x  ( ) g x ； C. lim ( ) f x x  x 0  lim ( ) g x x  x 0 ； D. x  0 f ( )d t t  x  0 ( )d g t t . 6、下列关于定积分的不等式错误的是（ C ）. A. C. e 1 1 0   ln d x x  2 d x x   0 e 1 ln  d x x 1 2 d x x ；； B. D. 3 e   2 1 2 ln d x x  ln d x x ； 3 e  2 d x x . 3 d x x  2  1 二、填空题(共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 1、设 ( ) f x  2 cos 2 x ，则 d ( ) f x = 2sin 4 dx x  . 2 、设函数 ( ) f u 可微，且 (2) 1  ，则函数 f  z  ( f x d |z (1,1)  d dx y .  在点 (1,1) 处的全微分 y ) n 的收敛半径为 3 . 3、幂级数 4、交换 4  0 n  1  ( 3) x   3 n n  d y 2 y ( , f x y )d x 积分次序得 2  0 2 d xx  0 ( , f x y )d y . 5、设 D 为曲线 ( x  4 2 1) ( y  2 1)  9  所围成的闭区域，则二重积分 d d x y  1  D 6. 6、设曲线 L : 2 y  2 z  4 2  x   1 z  ，则曲线积分 2 d s  4 3.  L 三、解答题(共 9 小题，每小题 10 分，共 90 分)

1、求极限 lim 0 x    x e e arctan x x . 解： lim 0 x    x e e arctan x x  lim 0 x  x e  x e  x （5 分）  x lim(e x  0  x e )   . 2 （5 分） 2、已知曲线 L的方程为   x   y   2 t 4 t 1,  2 t  , ( t  0) ，过点 ( 1,0)  作 L的切线，求切点坐标，并写出切线方程. 解： d y d x t  将 x 2 2 1   ，设切线为 t   4 t 1, y t 0 0 0 0 0 y  2( t  1)( x 1)  ，（2 分） 2  带入切线方程， t 解得 0  01,( t    ，舍)， 2 0 所以，切点为 (2,3) ，切线方程为 y 1 x  . （4 分）（2 分）（2 分） x y 3、求函数 e z  的全微分. 1 e y z  x  z  y    解：，  x y x 2 e y x y ， d y  z  x  d + x z  y  d y  x e d y x  1 y x 2 y x e d y y . （4 分）（6 分） 4、求由方程 x   y 1 sin 2 y  所确定的隐函数 0 y  ( ) y x 的二阶导数 y 2 d d 2 x . 解：方程的两边对 x 求导得 1  整理得继续求导得 y 2 d d 2 x   5、求定积分   0 sin x  sin 3 d x x . 1 2 d y d x  cos d y d x d yy 2sin d x (2 cos ) y  2 d yy d x   0 2 2 cos  （3 分）（2 分） y  4sin y 2) y  (cos 3 . （5 分）

解：原式   0 sin x cos d x x sin d(sin ) x x     2 sin d(sin ) x x   2 0  4 3  . （4 分）（4 分）（2 分） 6、计算二重积分 I   D  2e y d d x y ，其中 D 是以 (0,0),(0,1),(1,1) 为顶点的三角形所围的闭区域．（5 分） . （5 分）  e 1 0 I   e d y  y 2 y 解：  1  0 0 dy x  1 (1 e )   2 y  d y 1 2 : L y 的质量. m 解：  12  L d x s  12 1 0  x 2 1 4 d  x x 7、设曲线段  2 x (0   上任意一点 ( , 1) x y 处的线密度函数 12x x ) ，求该曲线段（4 分） . （6 分）  5 5 1   d d xy y z 2  8、计算曲面积分 I   yz 2 d d z x  2 d d zx x y ，其中  为球面 2 x  2 y  2 z 2  ， R （解： 2 I  0R  ）的外侧. y   2 2 sin d d d r r r    x (  2    ， 2 z )d d d x y z ，（4 分）（3 分）  2   0    d    sin d 0 0 R r 4 d r  5 4 R  5 . （3 分） 2 | t  2 x | d ( t x  0) ，求 ( ) f x 的最小值. 9、设函数解：当 0 1  ( ) f x  1x  时， 0 ( ) f x    0 4 3 2 t 1 3 1 3 当 1x  时， ( ) f x  1 0  2 ( x  )d t  2 x  故， ( ) f x      4 3 2 x 3 x  2  x  x  1 , 3   x 1 ， 1 ,0 3 1 x 2 | t  2 x | d t  x 0  2 ( x  2 t )d t   1 x 2 ( t  2 x )d t 3 x  2 x  ，（3 分），（3 分）

又由定义得 (1) f    f  (1)  ，则 (1) f  2  ， 2  ( ) f x     24 2 ,0 x x  2 , 1 x x    x 1 ， 0 1x  时，  ( ) f x  2 4 x  2 x  解得驻点 0 所以 x  为极小值点，极小值为 1 2 f ( 1 2 ) 1  . 4 x  ， 1 2 1( f  2 )  1x  时，令 ( ) f x  2 x  ,得 0 x  (舍去)， 0 所以 ( ) f x 的最小值为 1 4 .   ， 2 0 （2 分）（2 分）

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