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2002江苏考研数学二真题及答案.doc
2002江苏考研数学二真题及答案
2002 江苏考研数学二真题及答案
一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上)
(1) 设函数
( )
f x
tan
1
e
arcsin
ae
,
2
x
,
x
x
2
x
0
x
0
在 0
x 处连续，则 a
.
(2) 位于曲线
y
xe
x
(0
下方， x 轴上方的无界图形的面积是_______.
x
)
(3) 微分方程
yy
y
2
满足初始条件
0
y
1,
y
x
0
x
0
的特解是_________.
1
2
(4)
lim
n
1
n
1 cos
n
1 cos
2
n
...
1 cos
n
n
_____ .
(5) 矩阵
0
2
2
2
2
2
2
2
2
的非零特征值是_________.
二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
1
(1) 设函数 ( )
x 时，相应的函
x 处取得增量
当自变量 x 在
f u 可导，
2(
f x
0.1
y
)
数增量 y 的线性主部为 0.1 ，则 (1)
f =(
)
(A)－1
(B)0.1
(C)1
(D)0.5
(2) 设函数 ( )
f x 连续，则下列函数中，必为偶函数的是(
)
(A)
(C)
x f
0
)
xt f
[
2
(
t dt
x 是二阶常系数微分方程
)]
t dt
( )
t
(
f
0
(3) 设 ( )
y
0
py
0
y
qy
e
3x
满足初始条 (0)
y
y
(0) 0
的
(B)
x f
2
( )
t dt
(D)
xt f
[
( )
t
f
(
)]
t dt
特解，则当
x ，函数
0
2
)
ln(1
x
( )
y x
的极限(
)
(A)不存在
(4) 设函数
y
( )
f x
(B)等于1
) 内有界且可导，则(
(C)等于2
)
在 (0,
(D)等于3
(A)当 lim ( ) 0
f x
时，必有 lim ( ) 0
.
f x
x
x
存在时，必有 lim ( ) 0
(B)当 lim ( )
f x
.
f x
x
x
(C)当
lim ( ) 0
0
x
f x
时，必有
lim ( ) 0
.
0
x
f x
(D)当
存在时，必有
lim ( )
f x
0
x
lim ( ) 0
.
0
x
f x
(5) 设向量组 1
, 线性无关，向量 1 可由 1
, 线性表示，而向量 2 不能由
,
,
2
3
2
3
, 线性表示，则对于任意常数 k ，必有(
,
1
2
3
)
(A)
, ,
,
1
2
3
k 线性无关；
1
2
(C)
, ,
3
,
1
2
2k
1
线性无关；
三、(本题满分 6 分)
已知曲线的极坐标方程是 1 cos
r
直角坐标方程.
四、(本题满分 7 分)
(B)
(D)
, ,
,
1
2
3
k 线性相关；
1
2
, ,
3
,
1
2
2k
1
线性相关
，求该曲线上对应于
处的切线与法线的
6
设
( )
f x
2
x
xe
x
(
e
3
2
x
1)
x
2
,
1
x
0
求函数
( )
F x
,
2
0
x
1
x
1
f
( )
t dt
的表达式.
五、(本题满分 7 分)
已知函数 ( )
f x 在 (0,
) 内可导 ( ) 0
f x ， lim ( ) 1
f x
x
, 且满足
lim(
0
h
)
(
f x hx
( )
f x
1
h
)
1
x
e
,求 ( )
f x .
六、(本题满分 8 分)
xdy
求微分方程
(
x
2 )
y dx
的一个解
0
y
( )
y x
,使得由曲线
y
( )
y x
， 与直线
x
1,
x
以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积最小.
2
七、(本题满分 7 分)
某闸门的性状与大小如图所示，其中直线l 为对
称轴，闸门的上部为矩形 ABCD ，下部由二次抛物线
与线段 AB 所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使
闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之
比为5：4，闸门矩形部分的高 h 应为多少 m (米)？
D 1m
1m C
l
h
A
B
1m
八、(本题满分 8 分)
x
3,
设
0
x
1
n
1
x
n
(3
x
n
)(
n
，证明数列 nx 的极限存在，并求此极限.
1,2,
)
九、(本题满分 8 分)
设 0 a b
，证明不等式
2
a
b
2
2
a
ln
a
ln
b
b a
1 .
ab
十、(本题满分8分)
设函数 ( )
f x 在 0
x 的某邻域内具有二阶连续导数，且 (0) 0,
f
f
(0) 0,
f
(0)
0.
证明:存在惟一的一组实数 1
, ，使得当
,
h 时，
0
2
3
1
( )
f h
2
f
(2 )
h
3
f
(3 )
h
f
(0)
是比 2h 高阶的无穷小.
十一、(本题满分 6 分)
4
E
,其中 E 是3阶单位矩阵.
2
已知 ,A B 为3 阶矩阵，且满足 1
A B B
(1) 证明：矩阵 2A
E 可逆；
2 0
2
0
2
0
,求矩阵 .A
(2) 若
1
1
0
B
十二、(本题满 6 分)
已知 4 阶方阵
A
4
(
,
,
,
1
2
3
),
均为 4 维列向量，其中 2
1
, 线性
,
,
,
,
2
3
4
3
4
无关， 1
2
3
2
.如果
4
，求线性方程组 Ax 的通解.
1
2
3
参考答案
一、填空题
(1)【答案】 -2
【详解】如果分段函数 ( )
f x 连续，则 ( )
f x 在 0 点处的左右极限相等，从而确定 a 的值．
当
x 时，
0
1
tan
xe
tan
x
； arcsin
x
lim ( )
f x
x
0
lim ( )
f x
x
0
lim
0
x
tan
1
e
arcsin
x
x
2
=
lim
0
x
tan
x
2
lim
0
x
2
x
ae
a
f
(0)
，所以有
x
2
x
2
x
=
2
；
lim
0
x
x
x
2
如果 ( )
f x 在 0
x 处连续，必有 (0 )
f
f
(0 )
f
(0),
即
a
2.
(2)【答案】 1
【详解】面积
S
0
x
xe dx
0
x
xde
xe
x
x
e dx
0
x
xe
x
e
0
lim
b
x
xe
e
x
b
0
lim
b
be
b
b
e
1
1
其中
lim
b
b
be
lim
b
b
b
e
洛
lim
b
1
b
e
0
．
(3)【答案】
y
x
1
【详解】方法 1：这是属于缺 x 的
y
( ,
f y y
)
类型． 命
y
,
p y
dp
dx
dp dy
dy dx
p
dp
dy
．
原方程
yy
y
2
化为
0
yp
dp
dy
2
p
，得
0
p 或
0
dpy
dy
p
0
p ，即
0
dy
dx
，不满足初始条件
0
y
'
1
2
x
0
，弃之；所以
p
0
所以，
dpy
dy
，分离变量得
p
0
dy
y
，解之得
dp
p
1 .Cp
y
即
dy
dx
1 .C
y
由初始条件
y
1,
y
'
x
0
1
2
x
0
，可将 1C 先定出来：
1
2
C C
,
1
1
1
． 于是得
1
2
dy
dx
1
2
y
解之得， 2
y
号
,
x C y
2
x C
．以
2
1C ． 于是特解是
且 2
y
x
1
．
xy 代入，得
1
0
1
C
2
，所以应取“+”
方法 2：将
yy
yy ，从而得
0
yy C ．以初始条件
1
y
2
)
0
改写为 (
y
11
， 所 以 得
2
C
1
y
2,
2
代 入 ， 有
y
x C
yy ． 即 2
1
2
yy ， 改 写 为 2(
1
y
(0)
(0) 1,
1
2
y ． 解 得
1
)
1
x C
．再以初值代入，
C
2
所以应取" " 且 2
1C ． 于是
特解
y
x
1
．
(4)【答案】
2 2
【详解】利用定积分的概念将被积函数化为定积分求极限．
因为
lim
n
1
n
1 cos
n
1 cos
2
n
...
1 cos
n
n
1
lim
n
n
i
1
1 cos
其中 ( )
f x
1 cos ,
x
x
i
i
n
n
,(
i
n
1 lim
n
n
i
1
f
(
i
)
n
x
i
1,2,
，所以根据定积分的定义，有
, )
n
lim
n
1
n
1 cos
n
1 cos
2
n
...
1 cos
n
n
0
1 cos
xdx
2
0
cos
x
2
dx
2 2
1
(5)【答案】4
【详解】记
A
0
2
2
2
2
2
2
2
2
，则
E A
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(对应元素相减)
两边取行列式，
E A
2
2
2
2
2
2
2
2
2
行 行
3
0
2 2
2
2
2
把第 行的公
因子 提出来
2
2
0 1
2 2
2
1
2
1
行 行
2
2
0
0 1
2 2
0
1
2
按第 行展开
1
( 1)
1 1 1
2
1
2
(其中
1 1
( 1) 指数中的 1 和 1 分别是所在的行数和列数)
2(
4)
2(
2 2)
令
E A
，解得 1
30,
0
2
，故
4
4 是矩阵的非零特征值．(另一个特
征值是
0 (二重))
二、选择题
(1)【答案】(D)
【详解】在可导条件下，
y
dy
x x
dx
0
x o x
，当
(
)
dy
dx 时
x x
0
0
dy
x x
dx
0
称为 y 的
x
线性主部．
dy
dx
而
x
2(
f x
)2
x x
，以
x
代入得
0.1
1,
x
dy
dx
x
f
(1) 0.2
，由题设它
等于 0．1，于是 (1) 0.5
，应选(D)．
f
(2)【答案】(D)
x
0
[
t f
( )
t
f
(
)]
t dt
，则
F x
(
)
x
0
[
t f
( )
t
f
(
)]
t dt
，令
【详解】对与(D)，令
( )
F x
，所以
t
u ，则 dt
F x
(
[
t f
x
du
xu f
[
0
0
)
( )
t
f
(
)]
t dt
x
0
(
)[
u f
(
u
)
( )]
f u
du
(
u
)
( )]
( ),
f u du F x
所以(D)为偶函数．同理证得(A)、(C)为奇函数，而(B)不确定，如 ( ) 1
．故应选(D)．
f
t
t
(3)【答案】(C)
【详解】由
y
py
qy
3x
，且 (0)
y
e
y
(0) 0
，可知 (0) 1
y
方法 1：因为当 2
x 时，
0
ln(1
2
)x
2
，所以
x
lim
0
x
2
)
ln(1
x
( )
y x
lim
0
x
2
x
( )
y x
lim
0
x
2
x
( )
y x
=
lim
0
x
2
( )
y x
2
1
2
，
故选(C)．
方 法 2 ： 由 于 (0)
y
y
(0) 0,
y
(0) 1
． 将 函 数 ( )
y x 按 麦 克 劳 林 公 式 展 开
( ) 0 0
y x
2
x
2
2
(
o x
)
，代入
2
)
ln(1
x
( )
y x
，有
lim
0
x
2
)
ln(1
x
( )
y x
lim
0
x
1
2
2
x
2
x
2
(
o x
)
=
lim
0
x
2
1
(
o x
2
x
)
1
2
2
．
(4) 【详解】方法 1：排斥法．
令
( )
f x
sin
1
x
f x
2
x
，则 ( )
f x 在 (0,
1
2
x
不存在，故(A)不成立；
，但 lim ( )
f x
) 有界，
( )
f x
lim ( ) 0
x
x
sin
x
2
2cos
x
2
，
lim ( ) 0
0
x
f x
，但
lim ( ) 1 0
0
x
f x
，(C)和(D)不成立，故选(B)．
存在，记 lim ( )
方法 2：证明(B)正确． 设 lim ( )
f x
f x
，证明
A
0A ．
x
用 反 证 法 ， 若
0A ， 则 对 于
， 存 在
0X ， 使 当 x X 时 ，
( )
f x
A
，即
A
A
2
A
2
f x 有界且大于
A
2
A
2
x X
( )
f x
(
f X
)
f
( )(
)
(
f X
)
x X
)
由此可知， ( )
．在区间[ ,
x X 上应用拉格朗日中值定理，有
x
0
A
2
( )
f x
A
3
A
2
A
2
]
A
2
(
，与题设 ( )
f x 有界矛盾．类似可证当
0A 时亦有矛盾． 故
从而 lim ( )
f x
x
0A ．
(5)【答案】A
【详解】方法 1：对任意常数 k ，向量组 1
, ， 1
,
2
3
k 线性无关． 用反证法，若
2
, ， 1
1
k 线性相关，因已知 1
, 线性无关，故 1
k 可由 1
,
3
,
,
,
2
3
2
2
3
2
2
线性表出． 即存在常数 1
, ，使得 1
k
3
1 1
,
2
3
2
2
2
3
又已知 1可由 1
, 线性表出，即存在常数 1
l
,
2
3
,
l
2
,
l ，使得 1
3
3
l
1 1
l
2
l
3
2
代入上式，得
k
1
2
(
k l
1 1
3
1 1
l
3
l
2
2
3
2
2
2
3
)
2
1
(
kl
1
)
2
(
1
kl
2
)
3
(
2
kl
3
)
3
与 2 不能由 1
方法 2：用排除法
, 线性表出矛盾．故向量组 1
, ， 1
k 线性无关，选(A)
,
,
2
3
2
3
2
B 选项：取 0
k ，向量组 1
, ， 1
k 即 1
, ， 2 线性相关不成立，
,
,
2
3
2
2
3
否则因为 1
, ， 2 线性相关，又 1
, 线性无关，故 2 可由 1
, 线性表
,
,
,
2
3
2
3
2
3
出．即存在常数 1
, ，使得 2
3
1 1
,
2
3
2
2
3
与已知矛盾，排除(B)．
C 选项：取 0
k ，向量组 1
, ， 1
2k
,
2
3
，即 1
, ， 1线性无关不成
,
2
3
立，因为 1可由 1
, 线性表出， 1
, ， 1线性相关，排除(C)．
,
,
2
3
2
3
D 选项： 0
k 时， 1
, ， 1
2k
,
2
3
线性相关不成立．若 1
, ， 1
2k
,
2
3
线性相关，因已知 1
, 线性无关，故 1
2k
,
2
3
可由 1
, 线性表出．即存在常
,
2
3
数 1
, ，使得 1
k
3
1 1
,
2
3
2
2
2
3
. 又已知 1可由 1
, 线性表出，
,
2
3
l
即存在常数 1
,
l
2
,
l ，使得 1
3
3
l
1 1
l
2
l
3
2
代入上式，得
1
3
(
l
1 1
1 1
l
2
l
3
k
k
)
2
2
3
2
2
2
3
2
3
l
3
l
1
k
l
1
2
(
)
(
)
(
)
1
1
k
l
1
1
2
2
k
l
2
2
2
3
3
k
, ,
3
,
2
l
3
3
因为 0
k ，故
2
与 2 不能由 1
故选(A)．
, 线性表出矛盾．故 1
,
2
3
2k
1
线性相关不成立，排除(D)．
三【详解】由极坐标到直角坐标的变换公式
x
y
r
r
cos
sin
，化极坐标曲线 1 cos
r
为直
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