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2005年重庆高考文科数学真题及答案.doc
2005 年重庆高考文科数学真题及答案
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件 A、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件 A、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概
)(
kP
n
k
PC
k
n
1(
P
)
kn
率
第一部分（选择题 共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个备选项中，只
有一项是符合题目要求的.
(
x
2
)2
2
y
5
1．圆
关于原点（0，0）对称的圆的方程为
（
）
(
x
2
)2
2
y
5
2
x
(
y
2
)2
5
B．
(
x
2
)2
(
y
2
)2
5
2
x
(
y
2
)2
5
D．
A．
C．
(cos
12
2．
sin
12
)(cos
12
sin
12
)
（
）
3
A． 2
1
B． 2
1
C． 2
3
D． 2
3．若函数 )(xf 是定义在 R 上的偶函数，在
( 上是减函数，且
]0,
)(
xf
0
，则使得
)(
xf
的0
x
的取值范围是
（
）
(
)2,
A．
,2(
)
B．
(
)2,
,2(
)
C．
D．（－2，2）
4．设向量 a=（－1，2），b=（2，－1），则（a·b）（a+b）等于
（
）
A．（1，1） B．（－4，－4） C．－4
D．（－2，－2）
|
x
log
5．不等式组
,2|2
2
(
2 x
1)1
的解集为
（
）
)3,0(
A．
)2,3(
B．
)4,3(
C．
)4,2(
D．
6．已知 , 均为锐角，若
p
sin:
sin(
),
q
:
2
是则,
p
q
的 （
）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
C．充要条件
7．对于不重合的两个平面 与 ，给定下列条件：
①存在平面，使得α、β都垂直于；
②存在平面，使得α、β都平等于；
③存在直线 l
，直线
m
，使得 ml // ；
④存在异面直线 l、m，使得
l
//
.
m
m
//
//
//
l
,
,
,
其中，可以判定α与β平行的条件有
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
（
）
nx)21(
8．若
展开式中含
3x 的项的系数等于含 x 的项的系数的 8 倍，则 n 等于 （
）
A．5
B．7
C．9
D．11
9．若动点
,(
yx 在曲线
)
2
x
4
2
2
y
b
(1
b
)0
上变化，则
x
2 的最大值为 （
2
y
）
2
b
4
2
b
A．
4
0(
b
)4
(
b
)4
B．
4
2
b
4
2
b
0(
(
b
2
b
4
4
C．
D． b2
)2
b
)2
10．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所
示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面
各边的中点，已知最底层正方体的棱长为 2，且该塔形
的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过 39，则
该塔形中正方体的个数至少是
（
）
A．4
C．6
B．5
D．7
第二部分（非选择题 共 100 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填写在答题卡相应位置上.
11．若集合
A
xRx
{
|
2
4
x
3
},0
B
.
(|
xRx
{
)(2
x
)5
}0
BA
，则
12．曲线
y 在点（1，1）处的切线与 x 轴、直线 2x
3x
所围成的三角形的面积为
.
13．已知 , 均为锐角，且
cos(
)
sin(
),
则
tan
.
2
x
2
y
则,4
x
y
14．若
的最大值是
.
15．若 10 把钥匙中只有 2 把能打开某锁，则从中任取 2 把能将该锁打开的概率为
.
1(
A
2
),0,
B
是圆
(:
xF
1
2
16．已知
2
)
2
y
(4
F
为圆心）上一动点，线段 AB 的垂直平
分线交 BF 于 P，则动点 P 的轨迹方程为
三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 13 分）
.
1
sin(
2
cos
2
2
x
x
)
sin
ax
2
sin(
x
)
4
的最大值为
2 ，试确定常数 a
3
)(
xf
若函数
的值.
18．（本小题满分 13 分）
9
加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为 10
8
、 9
7
、 8
，
且各道工序互不影响.
（Ⅰ）求该种零件的合格率；
（Ⅱ）从该种零件中任取 3 件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的
概率.
19．（本小题满分 13 分）
设函数
)(
xf
3
2
x
(3
a
)1
x
2
6
ax
其中,8
a
R.
（1）若
)(
xf 在
x
3
处取得极值，求常数 a 的值；
（2）若
)(
在xf
(
)0,
上为增函数，求 a 的取值范围.
20．（本小题满分 13 分）
如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD⊥底面 ABCD，E 是 AB 上
一点，PE⊥EC. 已知
PD
,2
CD
,2
AE
1
2
,
求
（Ⅰ）异面直线 PD 与 EC 的距离；
（Ⅱ）二面角 E—PC—D 的大小.
21．（本小题满分 12 分）
已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为（2，0），右顶点为
)0,3(
（1）求双曲线 C 的方程；
（2）若直线
:
yl
kx
2
与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且
OA
OB
2
（其
中 O 为原点）. 求 k 的取值范围.
22．（本小题满分 12 分）
}{
a
n
满足
a
1
81
且
a
a
n
n
1
16
a
n
1
2
a
n
5
(0
n
).1
记
数列
（Ⅰ）求 b1、b2、b3、b4 的值；
b
n
1
1
2
a
n
(
n
).1
（Ⅱ）求数列 }{ nb 的通项公式及数列
{
nnba
}
的前 n 项和 .nS
参考答案
一、选择题：每小题 5 分，满分 50 分.
1.A
二、填空题：每小题 4 分，满分 24 分.
6.B 7.B
2.D 3.D
4.B
5.C
8.A
9.A
10.C
2|{
x
x
}3
11．
8
12． 3
三、解答题：满分 76 分.
17．（本小题 13 分）
13．1
14． 22
17
15． 45
2
x
4 2
y
3
1
16．
)(
xf
解：
21
2
2
cos
sin(
2
x
1
x
)
sin
ax
2
sin(
x
)
4
2
cos
2
2
cos
x
x
sin
ax
2
sin(
x
2
sin(
x
)
4
2
a
sin(
x
)
4
)
4
sin
x
cos
ax
2
sin(
x
)
4
2(
2
a
)
sin(
x
)
4
因为 )(xf 的最大值为
2
,3
sin(
x
)
4
的最大值为 1，则
2
2
a
2
,3
,3a
所以
18．（本小题 13 分）
9
10
（Ⅰ）解：
P
8
9
7
8
7
10
；
7
（Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为 10
，由独立重复试验的概率公式得：
恰好取到一件合格品的概率为
至少取到一件合格品的概率为
解法二：
1
C
3
7
10
3(
10
2
)
.0
189
，
3(1
10
)
3
.0
973
.
恰好取到一件合格品的概率为
1
C
3
7
10
3(
10
2
)
.0
189
，
至少取到一件合格品的概率为
19．（本小题 13 分）
C
1
3
7
10
3(
10
2
)
C
2
3
7(
10
2
)
3
10
C
3
3
7(
10
3
)
.973.0
解：（Ⅰ）
f
)(
x
2
6
x
(6
a
)1
x
6
a
(6
)(
xax
).1
)(
xf 在
x
3
因
取得极值， 所以
f
)3(
3(6
a
)13)(
.0
解得
.3a
经检验知当
a
,3
时
x
3
为
)(
xf
为极值点.
（Ⅱ）令
f
)(
x
(6
)(
xax
)1
0
得
x
1
,
xa
2
.1
a
,1
若时
x
(
),
a
,1(
),
则
f
)(
x
,0
所以
)(
xf
(
在
),
a
,1( 上为增
)
和
当
函数，故当
0
a
,1
)(
时 xf
(
在
)0,
上为增函数.
a
,1
若时
x
(
)1,
,(
a
),
则
f
)(
x
,0
所以
)(
xf
(
在
当
数，从而
)(
在xf
(
]0,
上也为增函数.
综上所述，当
a
,0[
20．（本小题 13 分）
解法一：
)(
)
时 xf
,
(
在
)0,
上为增函数.
)1,
和
,(
a
)
上为增函
（Ⅰ）因 PD⊥底面，故 PD⊥DE，又因 EC⊥PE，且 DE
是 PE 在面 ABCD 内的射影，由三垂直线定理的逆定理知
EC⊥DE，因此 DE 是异面直线 PD 与 EC 的公垂线.
设 DE=x，因△DAE∽△CED，故
x
AE
CD
x
,
即
2
x
,1
x
1
（负根舍去）.
从而 DE=1，即异面直线 PD 与 EC 的距离为 1.
（Ⅱ）过 E 作 EG⊥CD 交 CD 于 G，作 GH⊥PC 交 PC 于 H，连接 EH. 因 PD⊥底面，
故 PD⊥EG，从而 EG⊥面 PCD.
因 GH⊥PC，且 GH 是 EH 在面 PDC 内的射影，由三垂线定理知 EH⊥PC.
因此∠EHG 为二面角的平面角.
在面 PDC 中，PD= 2 ，CD=2，GC=
2
1
2
3
2
,
因△PDC∽△GHC，故
GH
PD
EG
2
DE
DG
2
2
1
CG
PC
3
2
，
1(
2
2
)
3
2
,
又
故在
Rt
EHG
,
中
GH
EG
,
因此
EHG
4
,
即二面角 E—PC—D 的大小为
解法二：
.
4
（Ⅰ）以 D 为原点， DA 、 DC 、 DP 分别为 x、y、
z 轴建立空间直角坐标系.
由已知可得 D（0，0，0），P（0，0， )2 ，
C（0，2，0）设
)(0,0,(
xA
x
则
),0
),0,2,(
xB
1,(
xE
2
),0,
PE
1,(
x
2
,
),2
CE
3,(
x
2
).0,
PE
CE
得
PE
CE
0
，
由
2
x
即
3
4
,0
故
x
3
2
.
由
DE
CE
3(
2
1,
2
3()0,
2
3,
2
)0,
得0
DE
CE
，
又 PD⊥DE，故 DE 是异面直线 PD 与 CE 的公垂线，易得
|
DE ，故异面直线 PD、
1|
CE 的距离为 1.
（Ⅱ）作 DG⊥PC，可设 G（0，y，z）.由
DG
PC
0
得
,0(
,2,0(),
zy
)2
0
z
即
,2
y
故可取
DG
),2,1,0(
作 EF⊥PC 于 F，设 F（0，m，n），
EF
(
3
2
,
m
1
2
,
n
).
EF
PC
(0
得
3
2
,
m
1
2
,2,0(),
n
)2
2,0
即
m
1
2
n
0
，
则
由
又由 F 在 PC 上得
n
2
2
m
,2
故
m
,1
n
2
2
,
EF
(
3
2
1,
2
2,
2
).
EF
PC
,
DG
PC
,
因
故平面 E—PC—D 的平面角的大小为向量
EF与 的夹角.
DG
cos
故
DG
DG
||
EF
EF
|
|
2
2
,
4
,
21．（本小题 12 分）
即二面角 E—PC—D 的大小为
.
4
解：（Ⅰ）设双曲线方程为
2
2
x
a
2
2
y
b
1
(
a
,0
b
).0
由已知得
a
,3
c
,2
再由
2
a
2
b
2
,2
得
2
b
.1
故双曲线 C 的方程为
2
x
3
2
y
.1
y
kx
2
代入
2
x
3
2
y
1
得
（Ⅱ）将
31(
k
2
2
)
x
26
kx
9
.0
由直线 l 与双曲线交于不同的两点得
2
31
,0
k
)26(
k
2
31(36
k
2
)
1(36
k
2
)
.0
2
k
即
1
3
2
且
k
.1
① 设
(
xA
,
y
),
(
xB
,
y
B
)
B
A
A
，则
x
A
x
B
26
k
2
31
k
,
xx
BA
9
31
k
2
,
由
OA
OB
2
得
xx
BA
yy
BA
,2
xx
BA
yy
BA
xx
BA
(
kx
A
)(2
kx
B
)2
2
(
k
)1
xx
BA
(2
xk
A
x
B
2)
而
2
(
k
)1
9
31
k
2
2
k
26
k
2
31
k
2
2
2
3
k
3
k
7
1
.
2
2
3
k
3
k
7
1
于是
,2
即
2
3
k
2
3
k
9
1
,0
解此不等式得
1
3
k
2
.3
②
由①、②得
1
3
k
2
.1
故 k 的取值范围为
,1(
3
3
)
3(
3
).1,
22．（本小题 12 分）解法一：
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