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2009年湖南高考文科数学真题及答案.doc
2009 年湖南高考文科数学真题及答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.
log
2
2 的值为 【 D 】
A．- 2
B.
2
C.
1
2
D.
1
2
2. 抛物线 2y =-8x 的焦点坐标是 【 B 】
A．（2，0）
B. （- 2，0）
C. （4，0）
D. （- 4，0）
3．设 ns 是等差数列｛ na ｝的前 n 项和，已知 1a =3， 5a =11，则 7s 等于 【 C 】
A．13
B. 35
C. 49
D. 63
4．如图 1 D，E，F 分别是 ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则 【 A 】
=0
+ BE
A． AD
+ CF
B． BD CE DF
C． AD CE CF
D． BD BE FC
=0
=0
=0
图 1
5．某地政府召集 5 家企业的负责人开会，其中甲企业有 2 人到会，其余 4 家企业各有 1 人
到会，会上有 3 人发言，则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为【 B 】
A．14
B. 16
C. 20
D. 48
6．平面六面体 ABCD -
1A
1B
1C 1D 中，既与 AB 共面也与 1CC 共面的棱的条数为【 C 】
A．3
B. 4
C.5
D. 6
7．若函数 y=f(x)导函数在区间［a,b］是增函数，则函数 y=f(x)在区间［a,b］上的图象可
能是（A）
8. 设函数
y
( )
f x
在 (
,
内有定义，对于给定的正数 K，定义函数
)
取函数 ( )
f x
2 x
。当 K =
kf x 的单调递增区间为 【C】
k
( )
f x
k
f
f x
,
( )
k f x
( ),
时，函数 ( )
( )
x
k
1
2
A (
,0)
B (0,
)
C
(
, 1)
D
(1,
)
二 填空题：本大题共七小题，没小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上。
9 . 某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱乒乓球运动，8 人对这两项运
都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12
.
10. 若 0
x ，则
x
的最小值为 2 2 .
2
x
11. 在
(1
)x
4
的展开式中， x 的系数为 6
(用数字作答)。
12 . 一个总体分为 A.B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本。已
知 B层中每个个体被抽到的概率都为
1
12
，则总体中的个体数为 120
13. 过双曲线 C：
2
2
x
a
2
2
y
b
(
1
a
0,
b
的一个焦点作圆 2
x
0)
2
y
2
的两条切线，
a
切点分别为 A.B，若
AOB
120
（O 是坐标原点），则双曲线线 C 的离心率为 2 。
14. 在锐角 ABC
中，
b
6
xlyB
则
AC
cos
A
的值等于 2 ， AC 的取值范围
为 ( 2, 3) 。
15. 如图 2，两块斜边长相等的直角三角板在一起，
若 AD xAB y AC
，则
1
x
3
2
,
y
3
2
三 解答题：每小题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。
16 （每小题满分 12 分）
图 2
以知向量 (sin ,cos
a
2sin ),
b
(1,2)
。
（Ⅰ）若 a // b ，求 tan的值；
（Ⅱ）若
a
b
,0
求的值。
,
解（Ⅰ） 因为 / /a
b ，所以 2sin
cos
1
4
tan=
2sin
，于是 sin
a
cos
，故
（Ⅱ）由 a = b 知， 2
sin +（cos -2sin 2) =5，所以
1-2sin2+4
2
sin =5.
从而-2sin2+2（1-cos2=4，即 sin2+cos2 = -1，于是
Sin（2+
4
）= -
4
<
9
4
，所以 2 +
4
=
2
2
5
4
，或 2-
4
=
7
4
又由 0<<知，
<2+
4
3
，或=
4
因此 =
2
17.（本小题满分 12 分）
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业
建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.
1
2
、
1
3
、
1
6
，现在 3 名工人
独立地从中任意一个项目参与建设要求：
（I）他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（II）至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率。
解:记第 1 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件
1A , 1B , 1C ，i=1，2，3.由题意知 1A 2
3A A 相互独立， 1B 2
3B B 相互独立， 1C 2
3C C 相互
独立， 1A , 1B , 1C （i，j，k=1，2，3，且 i，j，k 互不相同）相互独立，
且 P（ 1A ）=，p（ 1B ）=
1
6
（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率
，p（ 1C ）=
1
3
P=3！p（ 1A 2B
1
6
1
3
1
2
=6x
x
x
3C ）=6p（ 1A ）p（ 2B ）p（ 3C ）
=
1
6
（1I）至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率
2B
3B
）
P=1-p（ 1B
=1-p（ 1B
）p（ 2B
）p（ 3B
）
1
3
18.（本小题满分 12 分）
=1-（1-
2) =
19
27
如图 3，在正三棱柱 ABC- 1A 1B 1C 中，AB=4,A 1A = 7 ,点 D是 BC的中点，点 E在 AC上，
且 DE 1A E
（Ⅰ）证明：平面 1A DE 平面
ACC A ;
1 1
（Ⅱ）求直线 AD和平面 1A DE 所成角的正弦值。
解 （Ⅰ）如图所示，由正三棱柱 ABC- 1A 1B 1C 的性质知 1AA 平面 ABC
又 DE 平面 ABC，所以 DE A 1A .
而 DE A 1A ， 1
AA
A E A
1
1
,所以 DE⊥平面
ACC A
1 1
又 DE 平面 1A DE ，故平面 1A DE ⊥平面
ACC A
1 1
（Ⅱ）解法 1 过点 A作 AF垂直 1A E 于点 F
连接 DF.由（Ⅰ）知，平面 1A DE ⊥平面
ACC A ，
1 1
所以 AF 平面 1A DE ,故 ADF
直线 AD和
平面 1A DE
所成的角。
因为 DE
ACC A 所以 DE AC而
1 1
ABC是边长为 4 的正三角形，于是 AD=2
3 AE=4-CE=4-
1
2
CD =3
又因为 A 1A =
7 所以 1A E=
2
1AA
AE
2
=
( 7)
2
3 = 4
AF
AE AA
1
A E
1
3 7
4
,
sin
ADF
AF
AD
21
8
即直线 AD和平面 1A DE 所成的角的正弦值为
21
8
解法 2 如图所示，设 O 是 AC 的中点，以 O 为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标
1A .(2,0,
7 ), D(-1,
=（-3， 3 ，- 7 ）， DE
=（0，- 3 ，0）， AD
3 ),
E(-1,0.0)
=（-3， 3 ，0）
分别是 A(2,0,0,),
易知 1A B
设 n=（x，y，z）是平面 1A DE 的一个法向量，则
uuuv
{n DE
uuuuv
n A D
1
3
x
y
3
0
3
y
7
z
0
解得
x
7 ,
z y
3
0
故可取 n=（ 7 ,0,-3，）于是
uuur
,
n AD
cos
uuur
n AD
uuur
n
AD
=
3 7
4 2 3
21
8
由此即知，直线 AD和平面 1A DE所成的角是正弦为
21
8
19．（本小题满分 13 分）
已知函数 ( )
f x = 3x +
2bx + cx 的导函数中图象关于直线 x=2 对称。
（1） 求 b 的值；
（2） 若 ( )
f x 在 x=1 处取得最小值，记此极小值为 g(1)，求 g(1)的定义域和值域。
解（1） ( )
f x =3 2x +2bx+c；因为函数 1f （x）的图象关于直线 x=2 对称，所以
2
b
6
=2，于
是
b
6
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ( )
f x = 3x -6 2x +cx； 1f （x）=3 2x -12x+c=3
(
x
2)
2
+c-12.
（ⅰ）当 c 12 时， 'f （x） 0，此时 ( )
f x 无极值。
（ii）当 c 12 时， 'f （x）=0 有两个互异实根 1x · 2x ，不妨设 1x ＜ 2x ，则 1x ＜2＜ 2x
当 x＜ 1x 时， 'f （ x ）>0， ( )
当 1x ＜x＜ 2x 时， 'f （ x ）＜0， ( )
f x 在区间（ ， 1x ）内为增函数；
f x 在区间（ 1x ， 2x ）内为减肥函数
当 1x ＜ 2x 时， 'f （ x ）>0， ( )
f x 在区间（+ ， 2x ）内为增函数
所以 ( )
f x 在 x = 1x 处取极大值，在 x = 1x 处取极小值
因此，当且仅当 12
c 时，函数 ( )
f x 在
x
x 处存在唯一极小值，所以
2
t
x
2
2
于是 ( )g t 的定义域为 (2,
)
由 /
f
( ) 3
t
t
2
12
t
( )
g t
f
( )
t
3
t
得
0
c
c
23
t
12
t
于是
2
6
t
ct
2
t
3
2
6 ,
t
t
(2,
)
当 2
t 时， /
( )
g t
6
t
2
12
t
6 (2
t
所以函数 ( )g t 在区间 (2,
t
) 0,
) 内是减函数，
故 ( )g t 的值域为 (
,8).
20 （本小题满分 13 分）
已知椭圆 C的中心在原点，焦点在 x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的圆边
形是一个面积为 8 的正方形（记为 Q）
（1） 求椭圆 C 的方程：
（2） 设点 P 是椭圆 C 的左准线与 x 轴的交点，过点 P 的直线 L 与椭圆 C 相交于
M.N 两点，当线段 MN 的中点落在正方形 Q 内（包括边界）时，求直线 L 的斜
率的取值范围。
解 （1） 依题意，设椭圆 C 的方程为
2
2
y
b
1(
a
焦距为 2c ，由题设条件
0),
b
知， 2
a
8,
b
所以
c
,
2
b
4.
2
2
x
a
21
a
2
故椭圆 C 的方程式为
2
x
8
2
y
4
1
（3） 椭圆 C 的左准线方程为
x 所以点 P 的坐标 ( 4,0)
4,
，显然直线l 的斜
率 k 存在，所以直线l 的方程为
y
(
k x
。
4)
如图，设点 M，N的左边分别为 1
(
,
x y
1
),(
x y 线段 MN的中点 G
2
),
,
2
(
x y ，
0
)
,
0
由
k
2
y
x
8
x
2
(
y
4
4 )
1
得
2
(1 2 )
k
2
x
16
2
k x
32
k
2
8 0
由
2 2
(16 )
k
4(1 2 )(32
k
2
2
k
8) 0
解得
2
2
k
2
2
……①
……②
因为 1
,x x 是方程①的两根，所以
2
x
1
x
2
2
16
k
1 2
k
2
，于是
x
0x 1
x
2
2
=
2
8
k
1 2
k
2
y
， 0
(
k x
0
4)
4
k
1 2
k
2
因为 0x
2
8
k
1 2
k
2
0，所以点 G不可能在 y 轴的右边，有直线 1
2F B , 1F 1B 方程分
别为
y
x
2,
y
所以点G 在正方形Q 内（包括边界）的充要条件为
2,
x
{ y
y
0
0
x
x
0
0
2
2
既
4
k
1 2
k
4
k
1 2
k
2
2
2
8
k
1 2
k
2
8
k
1 2
k
2
2
2
2
亦即
2
2
2
2
k
k
2
2
k
k
1 0
1 0
解得
3 1
2
k
3 1
2
，此时②也成立
故直线l 斜率的取值范围是[
3 1
2
,
3 1
2
)
21.（本小题满分 13 分）
对于数列
nu 若存在常数 M＞0,对任意的 n N ，恒有
u
n
1
u
n
u
n
u
n
1
u
2
u M
1
则称数列
nu 为 B 数列
(I) 首项为 1，公比为
(II)
设 S n 是数列
的等比数列是否为 B-数列？请说明理由;
1
2
xn 的前 n 项和。给出下列两组判断：
A 组：①数列
xn 是 B-数列。
②数列
xn 不是 B-数列。
③数列
Sn 是 B-数列。
④数列
Sn 不是 B-数列
请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
(Ⅲ)若数列{a n }是 B 数列，证明：数列{a 2
n }也是 B 数列。
解（I）设满足题设的等比数列为 na ,则
na
1(
2
n
1
)
，于是
a
n
a
1
n
(
1
2
n
1
)
(
1
2
n
2
)
3
2
*(
1
2
n
2
)
,
n
2
｜ 1na -
na ｜+｜ na -
1na ｜+…+｜ 2a - 1a ｜
=
3
2
1
1
2
1
2
n
-1
（ ） （ ）
2
1
2
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