2008年山东青岛科技大学高等代数考研真题.doc

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2008 年山东青岛科技大学高等代数考研真题一、(30 分) 1 设 A 是三阶方阵，具有三个不同的(非零)特征值： 1、 2 、 3 ，依次对应的特征向量为 1 、 2 、 3 ，令     3  ，试证：、 (   1 2 )A  、 2( A  线性无关。 ) 2 设 nV 是 n 维线性空间，是 nV 上的线性变换， 0 是的一个 k 重特征值， 0V 是 0 对应的特征子空间，试证： dimV   。（这里 k 0 dimV 表示子空间的维数） 0 二、(30 分) 1 设 A  0 0 1 0 0 1      1 1  0      ，求 100A 。 2 设 B  1 0 0      0 2 1 1  0 1      ，一元多项式 ( ) f x  2 x 11  8 2 x 7  8 x 5  3 x  4 x  17 x 3  ，求 4 ( f B ，并求 ) ( f B  。 )) ( 1

三、(30 分) 试证：1 当 A 、 B 是两个 n 阶方阵时，有 n E   AB  E  n  BA 2 当 A 是 m n 矩阵， B 是 n m 矩阵 ( n m ) 时有： E  n  BA  n m   E  AB m 四、(30 分) 试证矩阵方程 AX B 有解当且仅当  r A   ( r A  B ) 五、(20 分) 设 n 阶方阵 A  a ij ， ija  ， , i 1 j 1,2,   ，试求 A 的特征值， A 的最小多项式。 n , A 是否与对角阵相似？若相似求出与其相似的对角阵。六、(10 分) 给定方程组(1) 2 2    x 1 x 1   2 4 x 2 x 2   x 3 2 x 3 2 x  4 3 x  4 9  12  与向量  (4,2, 5,1)  ，

设 1V 是(1)的导出方程组的解空间， 0 是(1)的一个特解，令的距离。 V V  0  ，试求向量到V 1

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