(II)解:由(I)知,
S
n
1
n
1
4
S
n
1
n
1
(
n
)2
,于是 Sn+1=4(n+1)·
Sn
1
1
n
=4an(n 2 )
又 a2=3S1=3,则 S2=a1+a2=4=4a1, 因 此 对 于 任 意 正 整 数 n ≥ 1 都 有
20.解法一:(I)如图,连结 CA1、AC1、CM,则 CA1= 2 ,
∵CB=CA1= 2 ,∴△CBA1 为等腰三角形,
又知 D 为其底边 A1B 的中点,∴CD⊥A1B,
∵A1C1=1,C1B1= 2 ,∴A1B1= 3 ,
又 BB1=1,∴A1B=2,
∵△A1CB 为直角三角形,D 为 A1B 的中点,CD=
1 A1B=1,CD=CC1
2
A
C
D
B
Sn+1=4an.
A'
C'
M
B'
又 DM=
1 AC1=
2
2 ,DM=C1M,∴△CDN≌△CC1M,∠CDM=∠CC1M=90°,即 CD⊥DM,
2
因为 A1B、DM 为平面 BDM 内两条相交直线,所以 CD⊥平面 BDM
(II)设 F、G 分别为 BC、BD 的中点,连结 B1G、FG、B1F,
则 FG∥CD,FG=
1 CD∴FG=
2
1 ,FG⊥BD.
2
由侧面矩形 BB1A1A 的对角线的交点为 D,知 BD=B1D=
1 A1B=1,
2
所以△BB1D 是边长为 1 的正三角形,于是 B1G⊥BD,B1G=
3 ,
2
∴∠B1GF 是所求二面角的平面角
又 B1F2=B1B2+BF2=1+(
2 )2=
2
3 .
2
A'
C'
A
D
C
F G
B
M
B'
∴cos∠B1GF=
GB
1
FB
1
2
FG
2
GB
1
2
FG
2
3(
2
2
)
2
)
1(
2
3
2
3
2
2
1
2
3
3
即所求二面角的大小为π-arccos
3
3
解法二:如图以 C 为原点建立坐标系
(I):B( 2 ,0,0),B1( 2 ,1,0),A1(0,1,1),D(
2 ,
2
1 ,
2
1 ),
2
M(
2 ,1,0),
2
DM (0,
CD (
1 ),
2
1 ,-
2
2 ,
2
1 ,
2
BA
1
1 ),
2
,0
CD
BA1
( 2 ,-1,-1),
DM
,0
CD
∴CD⊥A1B,CD⊥DM.
因为 A1B、DM 为平面 BDM 内两条相交直线,
所以 CD⊥平面 BDM
(II):设 BD 中点为 G,连结 B1G,则 G
23(
4
1,
4
1,
4
),
BD (-
2 ,
2
1 ,
2
1 ),
2
),
∴
BD
GB
1
0
,∴BD⊥B1G,又 CD⊥BD,∴ CD 与 GB1 的夹角等于所求二面角的平面角,
GB1
(
cos
|
2
4
CD
|
CD
1,
3,
4
4
GB
1
|
GB
1
3
3
.
|
所以所求二面角的大小为π-arccos
3
3
21.解:(I)C 的焦点为 F(1,0),直线 l 的斜率为 1,所以 l 的方程为 y=x-1.
将 y=x-1 代入方程 y2=4x,并整理得 x2-6x+1=0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1+x2=6,x1x2=1,
OA
OB
|
|
|
OA
=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3.
OB
]16
xxxx
21
21
2
x
1
(4
|
x
1
x
y
x
2
2
2
2
)
2
[
41
cos<
OA,
OB
>=
|
OB
|
OB
|
3
41
41
.
2
y
1
OA
|
OA
所以 OA 与 OB 夹角的大小为-arccos
3
41
41
.
解:(II)由题设知
FB
AF
2=λ2y1
2, ∵y1
由 (2)得 y2
2=4x1,y2
联立(1)(3)解得 x2=λ.依题意有λ>0.
∴B(λ,2 )或 B(λ,-2 ),又 F(1,0),
得直线 l 的方程为(λ-1)y=2 (x-1)或(λ-1)y=-2 (x-1)
得:(x2-1,y2)=λ(1-x1,-y1),即
1
1(
y
1
2=4x2,∴x2=λ2x1……………………………………(3)
x
2
y
x
1
)
2
)1(
)2(
当λ∈[4,9]时,l 在 y 轴上的截距为
2
1
或-
2
1
由
=
1
2
3
4
2
1
2
2
1
1
4
4 ,-
3
3
∴
,可知
-
2
1
2
在[4,9]上是递减的,
1
3
4
直线 l在 y 轴上截距的变化范围是
4[
3
3,
4
]
3[
4
4,
3
]
22.(I)解:函数 f(x)的定义域是(-1,∞), 'f (x)=
1
x
1
1
.令 'f (x)=0,解得 x=0,当-1
0,
(II)证法一:g(a)+g(b)-2g(
当 x>0 时, 'f (x)<0,又 f(0)=0,故当且仅当 x=0 时,f(x)取得最大值,最大值是 0
2
b
ba
ab
2
a
由 (I) 的 结 论 知 ln(1+x)-x<0(x>-1, 且 x ≠ 0) , 由 题 设 0-
ln
2
b
ba
ba
2
1ln(
ba
2
b
)
ba
2
b
.
0
.
ln
2
a
ba
1ln(
所以 a
ln
又
2
a
ba
2
a
ba
ba
2
b
ab
2
a
ln
b
)
2
b
ba
2
a
ln
ba
,
a
综上 0a 时
xF
)('
,0
因此 F(x)在(a,+∞)上为增函数从而,当 x=a 时,F(x)有极小值 F(a)因为 F(a)=0,b>a,所以 F(b)>0,即
0a,所以 G(b)<0.即 g(a)+g(b)-2g(
0
,因此 G(x)在(0,+∞)上
xG
当 x>0 时,
)('
).
x
ba )<(b-a)ln2.
2