2004 年黑龙江高考文科数学真题及答案
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 共 150 分. 考试时间 120 分钟.
参考公式:
如果事件 A、B 互斥,那么
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件 A、B 相互独立,那么
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么
V=
n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
Pn(k)=C k
n Pk(1-P)n-k
第 I 卷
2R
球的表面积公式
S=4
其中 R 表示球的半径,
球的体积公式
3
4 R ,
3
其中 R 表示球的半径
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合
xxM
|{
2
|,4
N
|{
xx
2
2
x
3
}0
,则集合
NM =
(
)
A.{
|
xx
2
}
B.{
| xx
3
}
C.{
x
1|
x
2
}
D. {
x
2|
x
3
}
(
x
)5
的反函数是
(
)
1
5
(5
2.函数
y
A.
y
C.
y
3.曲线
y
x
1
x
1
x
3
x
x
)0
(5
x
)0
B.
y
x
(5
Rx
)
D.
y
x
(5
Rx
)
3 2
x
1
在点(1,-1)处的切线方程为
(
)
A.
y
x
3
4
B.
y
3
x
2
C.
y
4
x
3
D.
y
x
4
5
4.已知圆 C 与圆
(
x
)1
2
2
y
1
关于直线
y
对称,则圆 C 的方程为
x
(
)
A.
(
x
)1
2
2
y
1
C.
2
x
(
y
2
)1
1
B.
2
x
2
y
1
D.
2
x
(
y
2
)1
1
5.已知函数
y
tan(
)
2
x
的图象过点
A.
6
B.
6
(
12
)0,
,则可以是
(
)
C.
12
D.
12
6.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1,则侧棱与底面所成的角为
(
)
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
7.函数
y
xe
的图象
(
)
A.与
y 的图象 关于 y 轴对称
xe
B.与
y 的图象关于坐标原点对称
xe
C.与
y
的图象关于 y 轴对称
xe
D.与
y
的图象关于坐标原点对称
xe
8.已知点 A(1,2)、B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线的方程是
(
)
A.
4
x
2
y
5
B.
4
x
2
y
5
C.
x
y
2
5
D.
x
y
2
5
9.已知向量 a、b满足:|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|=
(
)
A.1
B. 2
C. 5
D. 6
10.已知球 O 的半径为 1,A、B、C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为
球心 O 到平面 ABC 的距离为
A.
1
3
B.
3
3
C.
2
3
D.
6
3
,则
2
(
)
11.函数
A.
y
4
4
sin
x
2
cos
x
的最小正周期为
(
)
B.
2
C.
D.2
12.在由数字 1,2,3,4,5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中,大于 23145 且小于 43521
的数共有
A.56 个
B.57 个
C.58 个
D.60 个
第Ⅱ卷
(
)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上.
13.已知 a为实数,
(
ax
10)
展开式中 7x 的系数是-15,则 a
.
14.设 yx, 满足约束条件:
x
x
2
,0
,
y
x
y
,1
则
z
3
x
2
y
的最大值是
.
15.设中心的原点的椭圆与双曲线
2
2
x
2
y
2
=1 有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方
程是
.
16.下面是关于四棱柱的四个命题:
①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱
③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱
④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱
其中,真命题的编号是
(写出所有正确结论的编号).
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分)
已知等差数列{ na },
a
2
,9 5
a
.21
(Ⅰ)求{ na }的通项公式;
(Ⅱ)令
nb
na
2 ,求数列 }{ nb 的前 n 项和 Sn.
18.(本小题满分 12 分)
已知锐角三角形 ABC 中,
sin(
BA
)
(Ⅰ)求证
(Ⅱ)设 AB=3,求 AB 边上的高.
;
tan2
B
tan
A
3
5
,
sin(
BA
)
1
5
.
19.(本小题满分 12 分)
已知 8 支球队中有 3 支弱队,以抽签方式将这 8 支球队分为 A、B 两组,每组 4 支.
求:(Ⅰ)A、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率;
(Ⅱ)A 组中至少有两支弱队的概率.
20.(本小题满分 12 分)
如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=1,
CB= 2 ,侧棱 AA1=1,侧面 AA1B1B 的两条对角线交点为 D,
B1C1 的中点为 M.
(Ⅰ)求证 CD⊥平面 BDM;
(Ⅱ)求面 B1BD 与面 CBD 所成二面角的大小.
21.(本小题满分 12 分)
若函数
)(
xf
1
3
3
x
1
2
2
ax
(
a
)1
x
1
在区间(1,4)内为减函数,在区间
(6,+∞)上为增函数,试求实数 a的取值范围.
22.(本小题满分 14 分)
给定抛物线 C:
2
y
,4
x
F 是 C 的焦点,过点 F 的直线l 与 C 相交于 A、B 两点.
(Ⅰ)设l 的斜率为 1,求
OA与 夹角的大小;
OB
(Ⅱ)设
FB
若AF
,
]9,4[
,求l 在 y 轴上截距的变化范围.
参考答案
一、选择题
2 A
1 C
3 B
4 C
5 A
6 C
7 D
8 B
9 D
10 B
11 B
12 C
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上.
13.
1
2
14.5
15.
2
x
2
2
y
1
16.②④
三、解答题
17.本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质,考查运算能力,满分 12 分.
解:(Ⅰ)设数列 }{ na 的公差为 d,依题意得方程组
a
1
a
1
,9
,21
d
d
4
解得
a
1
,5
d
.4
所以 }{ na 的通项公式为
an
n
4
.1
(Ⅱ)由
a
n
4
n
1
得
b
n
2
4
1
n
,
所以 }{ nb 是首项
2b
1
5
,公式
42q
的等比数列.
于是得 }{ nb 的前 n 项和
nS
5
2
n
4
2(
4
2
1
)1
32
n
)1
.
4
2(
15
18.本小题主要考查三角函数概念,两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力,
满分 12 分.
(Ⅰ)证明:
sin(
BA
)
3
5
,
sin(
BA
)
,
1
5
sin
cos
A
cos
B
A
sin
B
,
2
5
1
5
tan
tan
A
B
.2
3
5
A
,
tan(
BA
)
3
4
,
tan2
B
代入上式并整理得
)
tan
所以
(Ⅱ)解:
sin
sin
A
cos
B
cos
A
sin
B
A
cos
B
cos
A
sin
B
3
5
1
5
,
.
tan
2
tan
1
A
.
tan2
B
BA
tan
A
tan
tan
A
2
tan2
B
B
B
tan4
,
即
BA
sin(
3
4
.01
,将
B
解得
tan
B
6
2
2
,舍去负值得
tan
B
6
,
2
2
tan
A
tan2
B
2
.6
设 AB 边上的高为 CD.
则 AB=AD+DB=
CD
tan
A
CD
tan
B
2
CD
2
6
.
由 AB=3,得 CD=2+ 6 . 所以 AB 边上的高等于 2+ 6 .
19.本小题主要考查组合、概率等基本概念,相互独立事件和互斥事件等概率的计算,运用
数学知识解决问题的能力,满分 12 分.
(Ⅰ)解法一:三支弱队在同一组的概率为
C
C
1
5
4
8
故有一组恰有两支弱队的概率为
解法二:有一组恰有两支弱队的概率
3
5
4
8
C
1
7
C
11
6
7
7
2
CC
3
4
C
8
.
2
5
.
6
7
.
2
5
2
CC
3
4
C
8
(Ⅱ)解法一:A 组中至少有两支弱队的概率
2
5
2
CC
3
4
C
8
1
5
3
CC
3
4
C
8
1
2
解法二:A、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为 1,由于对 A 组和 B 组来说,至少有两支弱队的
1
概率是相同的,所以 A 组中至少有两支弱队的概率为 .
2
20.本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力.
满分 12 分.
解法一:(Ⅰ)如图,连结 CA1、AC1、CM,则 CA1=
.2
∵CB=CA1= 2 ,∴△CBA1 为等腰三角形,
又知 D 为其底边 A1B 的中点,
∴CD⊥A1B. ∵A1C1=1,C1B1= 2 ,∴A1B1= 3
又 BB1=1,A1B=2. ∵△A1CB 为直角三角形,D 为 A1B
的中点,
BDM.
FG=
1
2
∴CD=
1
2
A1B=1,CD=CC1,又 DM=
1
2
AC1=
2
2
,DM=C1M.
∴△CDM≌△CC1M,∠CDM=∠CC1M=90°,即 CD⊥DM.
因为 A1B、DM 为在平面 BDM 内两条相交直线,所以 CD⊥平面
(Ⅱ)设 F、G 分别为 BC、BD 的中点,连结 B1G、FG、B1F,则 FG//CD,
CD.
∴FG=
1
2
,FG⊥BD.
由侧面矩形 BB1A1A 的对角线的交点为 D 知 BD=B1D=
所以△BB1D 是边长为 1 的正三角形.
1
2
A1B=1,
于是 B1G⊥BD,B1G=
3
2
.
∴∠B1GF 是所求二面角的平面角,
又 B1F2=B1B2+BF2=1+(
2
2
2)
=
3
2
,
∴
cos
GFB
1
2
GB
1
FB
1
2
FG
2
FGCB
1
3(
2
2
)
2
2
3
2
1(
2
3
2
2
)
1
2
3
3
.
即所求二面角的大小为
arccos
3
3
.
解法二:如图,以 C 为原点建立坐标系.
(Ⅰ)B( 2 ,0,0),B1( 2 ,1,0),A1(0,1,1),
2 ,1,0),
2
BA
1
),1,1,2(
D(
2
2
CD
DM
)
,M(
1,
1,
2
2
1,
1,
2(
2
2
2
1,0(
1,
),
2
2
),
则
CD
BA
1
,0
CD
DM
,0
∴ CD⊥A1B,CD⊥
因为 A1B、DM 为平面 BDM 内两条相交直线,所以 CD⊥平面 BDM.
(Ⅱ)设 BD 中点为 G,连结 B1G,则
G(
23
4
1,
4
1,
4
),
(BD
2
2
、
1
2
、
1
2
),
(
GB
1
2
4
3,
4
1,
4
),
DM.
,0
BD
BD
与
GB
1
GB
1
的夹角
BD
GB
1
CD
等于所求的二面角的平
又
.
,
BD
.
面角
cos
CD
|
CD
GB
1
|
GB
1
|
|
3
3
.
所以所求的二面角等于
arccos
3
3
.
21.本小题主要考查导数的概念的计算,应用导数研究函数单调性的基本方法,考查综合运
用数学知识解决问题的能力.满分 12 分.
解:函数
)(xf 的导数
f
)(
x
2
x
ax
a
.1
令
f
x
)(
0
,解得
1
x
x
或
11
a
当
11
a
当
a
a
函数时即
a
函数时即
,2
,2
.1
)(
xf
)(
xf
在
)
,1(
,
上是增函数
(
)1,
,
上为增函数
在
不合题意
)1
,
内为减函数
,1(
在
a
(
在
a
,1
)
为增函数.
依题意应有 当
x
)4,1(
,
时
f
)(
x
,0
当
x
,6(
,
)
时
f
)(
x
.0
4
5
解得
所以
所以 a的取值范围是[5,7].
a
.61
a
.7
22.本小题主要考查抛物线的性质,直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。
满分 14 分。
解:(Ⅰ)C 的焦点为 F(1,0),直线 l的斜率为 1,所以 l的方程为
y
.1 x
将
y
1 x
代入方程
y
42 ,并整理得
x
2
x
6
x
.01
设
(
(
xByxA
),
,
1
1
,
y
2
),
2
则有
x
1
x
2
,6
xx
21
.1
OA
OB
(
,
yx
1
1
()
x
2
,
y
2
)
xx
21
yy
1
2
2
xx
21
(
x
1
x
2
1)
.3
|
OA
||
OB
|
2
x
1
2
y
1
x
2
2
y
2
2
xxxx
21
21
[
(4
x
1
x
2
)
]16
.41
cos(
,
OA
OB
)
OA
OA
||
OB
OB
|
|
3
14
41
.
所以
OA与 夹角的大小为
OB
arccos
3
14
41
.
(Ⅱ)由题设
FB
AF
得
(
x
2
,1
y
2
)
1(
x
1
,
y
1
),
即
x
2
y
2
1
1(
y
.1
x
1
),
①
②
由②得
2
2
y
2
2
y
1
, ∵
2
y
1
,4
yx
1
2
2
,4
x
2
∴
2
x
2
.1
x
③
联立①、③解得
2x
,依题意有
.0
∴
B
2,(
),
或
B
2,(
),
又 F(1,0),得直线 l方程为
(
)1
y
2
(
x
)1
或
(
)1
y
2
(
x
),1
当
]9,4[
时,l在方程 y 轴上的截距为
2
1
或
2
1
,
2
1
2
1
2
,
1
可知
2
1
在[4,9]上是递减的,
由
∴
3
4
2
1
4
3
4,
3
直线 l在 y 轴上截距的变化范围为
2
1
4[
3
,
3
4
3,
4
]
3[
4
4,
3
].