Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用 2015，51（4） 213 改进小波阈值算法在心电信号去噪中的应用 欧阳波，程 栋，王 玲 OUYANG Bo, CHENG Dong, WANG Ling 湖南大学 电气与信息工程学院，长沙 410082 College of Electrical and Information Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China OUYANG Bo, CHENG Dong, WANG Ling. Improved wavelet threshold algorithm in application of ECG signal de- noising. Computer Engineering and Applications, 2015, 51（4）：213-217. Abstract：ECG signal in the process of collecting is always mixed with a variety of noise, the basic theory and method of wavelet transform can be used to remove the noise. After the study of wavelet multi-resolution theory and Donoho’s soft and hard threshold de-noising method, an improved threshold function method is proposed. Improved threshold function can overcome the defects of soft and hard threshold method. MIT-BIH ECG database is used for verification and different methods de-noising results are analyzed . The experimental results show that the improved threshold method can effectively remove noise, and gives better SNR performance than the soft and hard threshold method. Key words：electrocardiogram（ECG）; wavelet transform; improved threshold; de-noise 摘 要：心电信号（ECG）在采集的过程中总是参杂着各种噪声，可利用小波变换基本原理和方法进行去噪处理。对 小波多分辨率理论进行研究后，在分析 Donoho 的软、硬阈值去噪法的基础上，提出一种改进阈值函数量化方法，改 进阈值函数能克服软、硬阈值存在的缺陷，运用 MIT-BIH 心电数据库进行验证，并对 ECG 信号用不同方法去噪后的 结果进行了分析比较。实验表明，改进阈值方法可以有效地去除不同噪声干扰，在信噪比指标上也明显优于常用的 软、硬阈值去噪方法。 关键词：心电信号（ECG）；小波变换；改进阈值；去噪 文献标志码：A 中图分类号：TP911.7 doi：10.3778/j.issn.1002-8331.1306-0078 1 引言 心电信号是人类最早研究并应用于临床医学的生物 电信号之一，一个正常的心电图 ECG（electrocardiogram） 波形，由 P 波、QRS 波群和 T 波等组成，它们的正确检测 是分析 ECG 信号的重要依据。然而心电信号为低频低 幅的弱信号，在采集和记录时，干扰的因素较多，主要 有：工频干扰；基线漂移；肌电干扰等 [1]。由于这些噪声 的存在，从而改变了 ECG 信号的自身特征，影响 ECG 的分析和诊断精度。因此，如何有效地去除各种噪声， 准确无误地提取有用的心电波形，是心脏病诊断的重要 内容。 目前在心电去噪技术研究中，已提出的主要算法 有，形态学去噪算法 [2]、自适应去噪算法 [3]，模板构造法 去除[4]噪声干扰在有的文献中也有提出。而近年来小波 分析的理论发展及其实际应用正成为众多学科关注的 热点，由于小波变换具有良好的时频局部化特性，它实 现了信号从时域到时间-尺度平面的转换，通过多尺度 分析 [5]可以在不同分辨率下观察信号不同的局部化特 征，因此小波分析是对信号进行时频局部特性分析的理 想数学工具，1992 年，Mallta[6]提出了奇异性检测理论，提 出模极大值重构算法，后来，D.L.Donoho 和 I.M.Johnstone 在二进制小波变换的基础上提出了小波去噪阈值方法[7-8]。 本文将重点讨论小波阈值去噪算法在心电信号 ECG 中 的应用，分析已有传统软、硬阈值算法，针对硬阈值法的 不连续性和软阈值法有偏差的缺陷，提出运用一种新的 阈值函数进行改进。不同噪声有不同的噪声频带分布， 作者简介：欧阳波（1989—），男，硕士研究生，主要研究方向：小波分析及应用，数字信号处理，图像处理；程栋（1978—），男，博士， 讲师，主要研究方向：信号处理，图像处理，智能控制；王玲（1962—），女，教授，博士，主要研究方向：现代通信与网络技 术，语音图像传输处理技术。E-mail：ouybo@163.com 收稿日期：2013-06-09 修回日期：2013-12-10 文章编号：1002-8331（2015）04-0213-05 CNKI 网络优先出版：2013-12-11, http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1306-0078.html 

214 2015，51（4） Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用 基线漂移所占频段在 1 Hz 以下，没有和 ECG 信号主要 频段重叠，可以直接运用小波分解和重构法去除[9]，而工 频干扰在信号主要频段都有重叠，肌电干扰呈现白噪声 特性，分布在心电信号各频段内，本文将运用改进阈值 法去除这两种噪声。 2 小波变换理论 2.1 小波多分辨率分析 对任意的函数或者信号 f (x) ，其小波变换定义为： Wf (ab) =  (x)dx = 噪声的性质 [11]，故可以视为白噪声进行去除，设 f (t ) 为 i 原始信号，n(t 高斯白噪声，则采集到的心电信号可建模如下： ) 为期望为 0，方差为 σ 2 的独立同分布的 i i i y(t ) + n(t ) = f (t ) ，i = 12N （4） 由小波变换的线性性质可知，分解得到的小波系数 ，由两部分组成，一部分是信号 f (t) 所对应的小波 i W jk 系数 u jk ，另一部分是噪声 n(t) 所对应的小波系数 v ， jk 白噪声的二进制小波变换 W n(t) 的方差为： 2 j E[|W 2 j n(t)|2]=  ¥  ¥ -¥ -¥ E[n(u)n(v)]φ (ab) __ f (x)ψ  ¥ -¥ R 1 |a| __æ f (x)ψ è x - b a dx ö ø （1） ¥  -¥ (t - u)du = σ 2φ 2 j 式中 ψ 小波基函数，a 为尺度参数，b 为时间参数。在 实际应用中，一般采用二进制离散小波变换，即取 a 的 = 2 j,j Î Z) ，而 b 的 值 仍 取 连 续 的 值 。 值 为 离 散 的 (a j f Î L2(R) 的二进制小波变换定义为： Wf (2 ju) =  ¥ -¥ f ( )t __ dt = f*ψ 2 j(u) ö ø÷ （2） t - u 2 j 1 2 j ψæ èç __æ ψ èç - t 2 j 。 ö ø÷ __ 其中 ψ 2 j(t) = ψ 2 j (-t) = 1 2 j 形象一点说，多分辨率分析[10]就是要构造一组函数 空间，每组空间的构造都有一个统一的形式，而所有的 空间的闭包则逼近 L2(R) 。在每个空间中，所有的函数 都构成该空间的标准化正交基，而所有函数空间的闭包 中的函数则构成 L2(R) 的标准化正交基，那么，如果对 信号在这类空间上进行分解，就可以得到相互正交的时 频特性，而且由于空间数目是无限的，可以很方便地分 析信号的某些特性。 S.Mallat 提出了正交小波的快速算法，从空间上形 象地说明了小波变换的多分辨率特性。多分辨率分析 是将信号在 L2(R) 的两个正交子空间上逐级分解，将每 级输入信号分解为低频概貌和高频细节两部分，从而使 输出采样率减半。利用小波多分辨率分析尺度方程和 小波方程的系数，可以得到小波变换 Mallat 算法，即对 任意信号都有以下关系式： (k) = å (k) = å n Î Z j + 1 j + 1 a j d j (n)h (n - 2k) 0 (n - 2k) (n)h 1 a d ì ïï í ïï î 式中 a n Î Z (k) 分别为尺度 j 上信号的尺度变换系数 (k) 和 d j j （3） (t - u)φ 2 j  φ 2 2 j σ 2 (t - v)dudv = （5） n(t)|2 的均值 2 j 2 j 由上式可知，随着尺度 j 的增加，|W 减小，即白噪声具有负奇异而对于原始信号，它的小波 变换的模极大值却随着尺度的增加而增加。正是通过 在尺度空间中模极大值不同的变换趋势来区分信号和 噪声。 阈值消噪法是目前为止应用最为广泛的，而对心电 信号去噪可以分为三个步骤： （1）首先，对含噪声的心电信号 y(t i 变换（DWT），从而得到不同尺度上的小波系数 W ) 进行离散小波 ，其 jk 中 j 为小波分解的尺度。 （2）在小波域通过阈值函数对小波系数 W 量化处理，可得到处理后的估计小波系数 Ŵ 进行阈值 jk ，处理前预 jk 先给定一个阈值（又称门限）λ ，这里取 λ = σ 2 lg N [12]， N 为心电信号的采样点数，σ 可通过小波系数 W 估计 jk 得到，σ = (median|W |) jk 0.674 5 。 （3）再根据处理后得到的估计小波系数 Ŵ ，作离 jk 散小波逆变换（IDWT），就可得到重构后的心电信号，即 去噪后的信号。 在通常的情况下，进行阈值处理都是选用软、硬阈 值的方法，虽然在信号去噪中也取得了较好的效果，但 软、硬阈值法都存在着自身的缺陷，这两种阈值量化方 法如下所述： （1）硬阈值量化方法 硬阈值函数： |W |  λ W ì j k ï í 0|W ï î j k | < λ j k Ŵ jk = （6） 和小波变换系数，即信号的低频概貌和高频细节部分， 0 (k) 是满足尺度差分方程的滤波器系数。 (k) 和 h 1 h 2.2 小波阈值去噪原理及方法 在实际心电信号采集过程中，肌电干扰综合呈现白 将小波分解后的小波系数和阈值 λ 进行比较，大于 或等于阈值 λ 的部分保留原值不变，而对于小于阈值 λ 的部分直接置零，在硬阈值处理过程中，经硬阈值处理 后的信号，可以很好地保留信号的局部特征，但由于得 

欧阳波，程 栋，王 玲：改进小波阈值算法在心电信号去噪中的应用 2015，51（4） 215 - λ)|W |  λ j k j k lb （7） + 1 相当于一个动态调节因子，当 |W |  λ 时， jk 到的估计小波系数值连续性差，会在恢复后的信号中产 生一些人为的噪声点，可能会引起重构后信号的震荡。 （2）软阈值量化方法 软阈值函数： sign(W ì ï í 0|W ï î j k | < λ )×(W Ŵ j k = jk 信号经软阈值方法处理后，得到的小波系数值虽然 连续性良好，易于处理，但由于小波系数较大时，得到处 理后的小波系数值 Ŵ 与原信号的小波系数值相比较， Ŵ 存在着恒定的偏差，可能会丢失一些有用的 与 W jk jk jk 高频信息，这将直接影响重构信号与原信号的逼近程 度，给重构信号带来不可避免的误差。 3 基于改进的阈值量化法的心电信号小波去噪 研究 由于在硬阈值法中，小波估计系数在 λ 处是不连续 重构所得到的估计信号会产生附加振荡， 的，利用 Ŵ jk 不具有同原始信号一样的光滑性。而软阈值法中的小 |  λ 时， 波估计系数，虽然整体光滑性良好，但是当 |W jk 阈值处理后的小波估计系数，与阈值处理前的各尺度下 的小波系数 W ，总存在恒定的偏差，直接影响着重构 jk 信号与原始信号的逼近程度。为了同时克服硬阈值和 软阈值方法的缺陷。本文拟采用一种改进的阈值函数 法，使得通过该方法估计出来的小波系数 Ŵ ，既能降 jk 低硬阈值法引起的振荡，又能减少软阈值法引起的恒定 偏差，从而使去噪效果更加良好。 以下是本文拟采用的改进阈值法的函数式[13]： Ŵ = jk ì ïï sign(W í ïï 0,|W î jk |W j k | - λ × t × lb æ çç è | || | λ j k n | || | W ) j k æ çç è | < λ + 1 ,|W ö ÷÷ ø ö ÷÷ ø |  λ j k （8） 在上式中，t 为调节因子，取值为 0 < t < 1 ，而取它的值为 黄金分割 t = 0.618 [14]；λ 为阈值，n 为正整数。从数学角 度可以很容易地证明，|W | - λ × t × lb jk | || | æ çç è λ W jk | n || | + 1 总是介 ö ÷÷ ø 于 |W jk | 和 |W jk - λ| 两者之间，把式（8）称之为阈值法小 波系数的估计器。 由于用单纯的软阈值方法估，计算出来的小波系数， |  λ 时），因此 总是比原系数 λ 要小 (|W 其绝对值 W jk jk 要设法减小这种偏差，但若把这种偏差减小为零（硬阈 本身就是 值法的情况）也不是最理想的办法，因为 W 由 |u jk |（原心电信号对应的小波系数）和 v jk jk （噪声信号 对应的小波系数）组成的，它可能由于 v 的影响使得 jk |（对于大多数的 |W | 来说），而目的是使得 jk | 最小，因此在本文提出的改进的阈值函数中， jk |W |Ŵ | > |u jk - u jk æ | çç || | è λ W jk jk | n || | ö ÷÷ ø 则 可 得 到 0 < lb | || | æ çç è λ W jk | n || | + 1  1 ，伴 随 着 |W ö ÷÷ ø | 的 增 加 ， jk | || | λ W jk | || | 不断减小，从而 lb | || | æ çç è λ W jk | n || | + 1 也不断减小，这样 ö ÷÷ ø 可以有效地避免软阈值方法中对于绝对值较大的小波系 数与其处理后的小波系数估计值相比总存在恒定的偏差， 且会产生恒定的衰减不足。可以用 W 衡量衰减程度， jk 衰减随其绝对值的增大而减小，而本文提出的改进阈值 函数中，lb | || | æ çç è λ W jk | n || | + 1 可以是动态的，自适应地减小衰 ö ÷÷ ø 减，可以有效地避免高频信息的丢失，提高重构后信号 的信噪比。因子 n 可以调节动态阈值 lb | || | æ çç è λ W jk | n || | + 1 的 ö ÷÷ ø 变化程度，因子 t 决定重构后信号的信噪比，t 越大，信 噪比越小，信号失真越大，震荡小，t 越小，信噪比越大， 信号失真小，震荡大。实验表明，经过本文阈值处理后 得到的小波系数 Ŵ （原信号对应的小波 更加接近 u jk jk 系数）。 4 改进阈值量化方法在心电去噪中的应用研究 为了验证该方法在心电信号（ECG）去噪中的优越 性，实验选择由美国麻省理工 MIT-BIH 心电数据库中提 供的心电数据进行实验，MIT-BIH 数据库数据的采样频 率为 360 Hz，采样精度为 11 位，该数据库每个记录的头 文件保存了信号的格式、采样率、长度以及有关此记录 的信息。标准文件里包括心拍、节律和信号质量等信 息。本文进行仿真的数据均来自于该数据库。本文取 MIT-BIH 中的 100 号心电数据作为实验数据，如图 1 所 示，取信号长度为 N = 1 024（即采样点的个数）。 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 －0.2 －0.4 －0.6 －0.8 / V m 值 幅 0 200 400 600 800 1 000 1 200 采样点数 图 1 原始含噪声心电信号 

216 2015，51（4） Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用 4.1 算法实现步骤 4.1.1 小波基的选取 小波基的选取[15]是一个非常重要的问题，同一信号 去噪选取不同的小波基函数将会得到不同的效果，可以 根据需要处理信号的特性（统计性或者非统计性）进行 选取小波基函数，而总的来说，理想的小波基函数应该 具备以下的性质： （1）线性相位性，可以减少或消除重构信号在边缘 处的失真。 （2）紧支集特性，支集越短，小波变换计算的复杂度 越低，便于快速实现。 （3）消失矩特性，决定小波变换后能量集中于低频 分量的程度。 （4）正则性，对信号的重构及获得较好的平滑效果 很有用。 （5）相似性，如果选择的小波基函数和待处理的信 号有一定的相似性，则变换后的能量会比较集中。 结合以上特性，db4 小波是一个紧支撑小波，其不具 有对称性。对于给定的支撑长度和消失矩阵比相同阶 数的其他小波要好，且 db4 小波具有正交性和正则性等 特点，并通过实验比较其他小波基函数的去噪效果，得 出 db4 是最佳选择。故本文选取 db4 小波用于文中的小 波分解。 4.1.2 心电信号的小波分解 本文确定选用 db4 小波，并确定分解尺度为 8 层，然 后对心电信号进行逐层分解，对信号的小波分解实际上 就是通过低、高通 2 个滤波器进行滤波，滤波器输出分 别对应于信号的低频概貌和高频细节，再对低频概貌进 行类似的分解。依此类推，每一次的分解把该次的输入 信号分解为一个新的低频概貌和一个新的高频细节，不 断地这样分解下去，这样就实现了对信号的多分辨率的 分析。图 2 是用 db4 小波分解信号各层的高频系数。 4.1.3 小波分解高频系数的阈值量化 对小波各层分解系数进行阈值量化，通过 stein 无偏 似然估计可以计算得到一个阈值，然后运用本文改进阈 值量化方法对小波分解系数进行阈值量化处理，从而得 出小波估计系数，再将这些系数进行小波重构，即可以 得到去噪后的心电信号。 4.1.4 心电信号的小波重构 由本文阈值处理估计得到的 Ŵ 作离散小波反变 jk 换 IDWT，根据底层小波低频系数和阈值量化处理后的 各层高频系数进行一维小波重构，重构后的心电信号 （即去噪后的信号）如图 3 所示，其中横坐标为采样点 数，信号的采样频率为 360 Hz，采样点数为 1 024，纵坐 标为信号的电压值。 0.05 0 －0.05 / V m 值 幅 0.2 0 －0.2 / V m 值 幅 / 1 V m 0 值 －1幅 / 1 V m 0 值 －1幅 0.5 0 －0.5 / V m 值 幅 0.5 0 －0.5 / V m 值 幅 0.1 0 －0.1 / V m 值 幅 0.1 0 －0.1 / V m 值 幅 d1 0 200 400 600 800 1 000 1 200 采样点数 d2 0 200 400 600 800 1 000 1 200 采样点数 d3 0 200 400 600 800 1 000 1 200 采样点数 d4 0 200 400 600 800 1 000 1 200 采样点数 d5 0 200 400 600 800 1 000 1 200 采样点数 d6 0 200 400 600 800 1 000 1 200 采样点数 d7 0 200 400 600 800 1 000 1 200 采样点数 d8 0 200 400 600 800 1 000 1 200 采样点数 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 －0.2 －0.4 －0.6 －0.8 / V m 值 幅 图 2 心电信号分解各层高频系数（d1~d8） 改进阈值处理 0 200 400 600 800 1 000 1 200 采样点数 图 3 重构后的心电信号 4.1.5 三种噪声的消除 信号分解后，通过分析低频、高频系数，低频段的心 电信号主要能量集中分布在 1~6 层，由于基线漂移所占 频段在 1 Hz 以下，主要集中在第 7、8 层小波分解的近似 信号上，所以在信号重构中，可以直接将这部分分量置 零，以消除基线漂移干扰。 而 50 Hz 的工频干扰主要集中在小尺度上，与心电 

欧阳波，程 栋，王 玲：改进小波阈值算法在心电信号去噪中的应用 2015，51（4） 217 信号频段重叠，且肌电干扰呈现白噪声特性，也在心电 信号各波能量的频段范围内，本文采用改进的阈值函数 进行阈值处理，以达到去除这两种噪声的目地。从实验 结果分析看出，利用本文提出的阈值量化方法重构后的 心电信号（即去噪信号）已经明显地消除噪声信号，而且 相对准确地还原了心电信号的波形及其奇异点信息，达 到了良好的消噪效果。 4.2 消噪效果评价 为了比较不同阈值量化方法处理的消噪效果及优 越性，原始信号为标准信号 f (t) ，经本文阈值处理消噪 后的信号为 s(t) ，且信号的长度为 N ，信噪比（SNR）公 式可定义为： SNR = 10 lb é ê ê ê êê å ê ë i = 1 N N å f 2(i) ù ú ú ú i = 1 úú (s(i) - f (i))2 ú û （9） MIT-BIH 数据库的心电信号进行实验仿真，得到良好的 去噪效果。实验结果表明，本文的改进阈值法更加有效 地去除心电信号中三种噪声的干扰，为后续的心电诊断 提供了良好保证，因而具有十分重要的应用价值。 参考文献： [1] 赵艳娜，魏珑，徐舫舟，等.基于小波变换的心电信号去噪 综合算法[J].现代生物医学进展，2009，9（16）：3128-3130. [2] 田絮资，杨建，黄力宇.心电信号去噪的数学形态学滤波器[J]. 计算机工程与应用，2012，48（2）：124-126. [3] 赵勇，郭鹏.自适应阈值的小波噪声消除方法及其在消除 心电图（ECG）噪声方面的应用[J].生物医学工程学杂志， 2008，25（3）：531-535. [4] 刘澄玉，刘常春，管琳，等.心电模板构造方法及其在心电去 噪中的应用[J].计算机工程与应用，2009，45（31）：203-206. [5] Mallat S.信号处理的小波导引 [M].北京：机械工业出版 原 始 信 号 与 去 噪 后 的 信 号 之 间 的 均 方 根 误 差 社，2002. （RMSE）公式可定义如下： n RMSE = max i = 1 (|s(i) - f (i)|) （10） RMSE 表示经去噪后的信号与原信号相比，该数值 越小，则表示去噪后的信号与原始信号越逼近。 为了进一步比较消噪效果，还有可以引入峰值误差 （PE），公式可定义如下： N PE = max i = 1 (|s(i) - f (i)|) （11） 对同一个含噪信号，经处理后峰值误差（PE）越小 越好。 运用三种方法的去噪效果可以从表 1 中比较看出， 改进阈值去噪后的信噪比 SNR 最高，均方误差 RMSE 最小，峰值误差 PE 最小，本文运用的改进阈值方法明显 优于传统的软、硬阈值方法。 表 1 不同方法降噪效果的比较 去噪方法 硬阈值 软阈值 改进阈值 SNR RMSE PE 15.060 8 15.768 0 17.508 9 0.064 0 0.402 4 0.059 0 0.402 3 0.048 3 0.196 7 5 结束语 [6] Mallat S.A wavelet tour of signal processing[M].California： Academic Press，1999. [7] Donoho D L.Denoising by soft-thresholding[J].IEEE Trans- actions on Information Theory，1995，41（3）：613-627. [8] Agante P M，Marques J P.ECG noise filtering using wavelet with soft-thresholding methods[J].Computers in Cardiology， 1999，26：523-538. [9] 陈春晓，刘建业.基于小波变换的心电信号去噪处理[J].生 物医学工程学杂志，2004，21（1）：89-92. [10] 柯熙政，汪丽，倪广仁.改进的小波阈值消噪法应用于脉冲 星弱信号处理[J].西安理工大学学报，2008，24（1）：18-21. [11] Ucar F N，Korurek M，Yazgan E.A noise reduction algo- transform[C]//Bio- rithm in ECG signals using wavelet medical Engineering Proceedings of the 1998 2nd Interna- tional Conference，1998：187-192. [12] 叶裕雷，戴文战.一种基于新阈值函数的小波信号去噪方 法[J].计算机应用，2006，26（7）：1617-1619. [13] 苑津莎，张冬雪，李中.基于改进阈值法的小波去噪算法 研究[J].华北电力大学学报：自然科学版，2010，37（5）： 92-97. [14] 谢搴，詹毅，牛聪.小波阈值去噪黄金分割法[J].物探与化 探，2006，30（3）：254-257. 小波分析作为一种良好的时频分析方法，在非平稳 的心电信号去噪中得到广泛应用，针对传统软、硬阈值 法 的 不 足 ，本 文 采 用 一 种 改 进 的 阈 值 函 数 方 法 ，通 过 [15] 孔国杰，张培林，徐龙堂，等.信号奇异性检测中的小波 基选择及其工程应用[J].机械科学与技术，2009，28（4）： 542-545.