2015年福建高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2015 年福建高考理科数学真题及答案第 I 卷（选择题共 50 分）一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、若集合 A   , i i 2 A. 1 B. 1 C. 3 , i 4 , i   1, 1 （i 是虚数单位）， B    1, 1  ，则 A B 等于 D. 2、下列函数为奇函数的是 A. y x B. y  sin x C. y  cos x D. y  x e  x e 3、若双曲线 E : 2 x 9  2 y 16 1  的左、右焦点分别为 1 ,F F ，点 P 在双曲线 E 上，且 1 PF  ，则 2PF 等于 3 2 A.11 B.9 C.5 D.3 4、为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表：收入 x （万元）支出 y （万元） 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8 根据上表可得回归本线方程 ˆ y  ˆ ˆ bx a  ，其中 ˆ b  0.76, ˆ a   ˆ y bx ，据此估计，该社区一户收入为 15 万元家庭年支出为 A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元  0, 2 x y      0, x y    2 0, 2 x y    5、若变量 ,x y 满足约束条件 A.  5 2 B. 2 C.  3 2 D.2 则 2  z x  的最小值等于 y 6、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 A.2 B.1 C.0 D. 1 7、若 ,l m 是两条不同的直线， m 垂直于平面 ，则“l m ”是“ / / l  ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8、若 ,a b 是函数  f x   2 x   px q p   0, q  0  的两个不同的零点，且 , a b  这三个数可适当排序 , 2

后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q 的值等于 A.6 B.7 C.8    AB AC AB  , 的最大值等于 9、已知   PB PC D.9  1 t ,  AC t  ，若 P 点是 ABC 所在平面内一点，且  AP   AB  AB  4 AC  ，则 AC  A.13 B.15 C.19 D.21 10、若定义在 R 上的函数  f x 满足  0  f   ，其导函数  x 1 f  满足   f x    ，则下列结论中 k 1 一定错误的是 A. f    1 k     1 k B. f    1 k     1  1 k C. f    1    1  1  1 k k D. f    1    1  k k  1 k 第 II 卷（非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11、 52x  的展开式中， 2x 的系数等于 .（用数字作答） 12、若锐角 ABC 的面积为10 3 ，且 AB  5, AC  ，则 BC 等于 8 . 13、如图，点 A 的坐标为 1,0 ，点C 的坐标为 2,4 ，函数  f x  2 x ，若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 . 14、若函数  f x  6, x       3 log  a 2, x  , x x  数 a 的取值范围是（ 0 a  且 1a  ）的值域是 4,  ，则实  2, . 15、一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x x 1 2   x n N n * ，其中  kx k 1,2,   , n  称为第 k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由 0 变为 1，或者由 1 变为 0） x x 已知某种二元码 1 2 x 的码元满足如下校验方程组： 7 x      4      x  2      x  1 x 7 x 7 x 7 x 6 x 6 x 5 x 5 x 3 x 3 0, 0, 0, 其中运算  定义为： 0   0 0,0 1 1,1 0 1,1 1 0       .

现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101，那么利用上述校验方程组可判定 k 等于 . 16.某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X，求 X 的分布列和数学期望. 17.如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，AB ^ 平面 BEG，BE ^ EC，AB=BE=EC=2，G，F 分别是线段 BE，DC 的中点. (1)求证：GF 平面 ADE (2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值. 18. 已知椭圆 E： 2 2 x a + 2 2 y b = 1(a (1)求椭圆 E 的方程； > > 过点 (0, 2），且离心率为 0) b 2 2 . (2)设直线 x my = - 1 Î，( m R )交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 G 9( - ,0) 4 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由. 19.已知函数 f( )x 的图像是由函数 ( ) g x = cos x 的图像经如下变换得到：先将 ( )g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移 (1)求函数 f( )x 的解析式，并求其图像的对称轴方程； p 2 个单位长度. (2)已知关于 x 的方程 f( ) g( ) x m = 在[0,2 )p 内有两个不同的解 ,a b x + 1)求实数 m 的取值范围；

2)证明： cos ) a b- ( = 22 m 5 - 1. 20.已知函数 f( ) x = ln(1 + ， ( ) g x x ) = kx ,(k Î R ), (1)证明：当 0x > x 时，f( ) ； < x (2)证明：当 1k < 时，存在 0 x > ,使得对 0 x Î任意 (0 ，恒有 f( ) x ), x 0 > ； ( ) g x (3)确定 k 的所以可能取值，使得存在 0t > ，对任意的 (0 x Î ，t 恒有 ), | f( ) x - ( ) | g x < 2 x . 21.本题设有三个选考题，请考生任选 2 题作答. 选修 4-2：矩阵与变换已知矩阵 A = 2 1 骣琪琪 4 3 桫 , B = 1 1 骣琪琪 - 0 1 桫 . (1)求 A 的逆矩阵 1A- ； (2)求矩阵 C，使得 AC=B. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xoy 中，圆 C 的参数方程为 ì ï í ïî x y 1 3cos t = + 2 3sin = - + t (t 为参数 .在极坐标系（与平面直角坐标系 ) xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴）中，直线 l 的方程为 2 sin( r q- ) m,(m R). = Î p 4 (1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程； (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 ( ) f x | = x a + | + | x b + | c + 的最小值为 4. (1)求 a b c + + 的值;

(2)求 2 a 1 4 + 1 9 2 b 2 c + 的最小值为. 数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 50 分。 1.C 2.D 3.B 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题 4 分，满分 20 分。 11. 80 12. 7 13. 5 12 14. (1,2] 15.5 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.本小题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想，满分 13 分解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A，则 P (A) = 创 5 4 3 1 6 5 4 2 = （2）依题意得，X 所有可能的取值是 1，2，3 又 P (X=1) = 1 6 , P (X=2) 5 1 = � 6 5 1 6 , P (X=3) 5 4 = 创 6 5 2 1= . 3 所以 X 的分布列为所以 E(X) 1 = ´ 1 6 2 + ´ 1 6 3 + ´ 2 3 = 5 2 . 17.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想.满分 13 分. 解法一：（1）如图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD，又 G 是 BE 的中点，

所以 GH AB  ，且又 F 是 CD 中点，所以 1 2 ， GH= AB 1DF= CD ， 2 由四边形 ABCD 是矩形得， AB CD AB=CD  ，，所以 GH DF  ，且 GH=DF . 从而四边形 HGFD 是平行四边形，所以 GF DH ，又 DH 趟平面 ADE GF ，平面 ADE ，所以 GF  平面 ADE . (2)如图，在平面 BEG 内，过点 B 作 ECBQ ,因为 BE CE ^ 又因为 AB ^ 平面 BEC，所以 AB ^ BE，AB ^ BQ ，所以 BQ BE ^ 以 B 为原点，分别以 ,    BE BQ BA , 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1) 因为 AB ^ 平面 BEC，所以 A=(  B 0,0,2)为平面 BEC 的法向量，设 (x, y,z) 为平面 AEF 的法向量.又 AE (2,0,-2) AF=(2,2,-1) =   ，  n =   ì AE 0 n  镲   眄 AF 0 n 镲 =  î = 由，得， ì î   , A = n B 狁 cos 从而 | 2 2 2 x - 2 x y +   A n B   | | A | n B × 0, z - = = z 取 2 z = 得 =(2,-1,2)  n . 0, = 4 3 2 ´ = 2 3 , 所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为解法二：(1)如图，取 AB 中点 M，连接 MG，MF， 2 3 . 又 G 是 BE 的中点，可知 GM AE，又 AE 趟平面 ADE GM ，平面 ADE ，所以 GM 平面 ADE. 在矩形 ABCD 中，由Ｍ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点得ＭＦ ＡＤ．又 A 趟Ｄ平面 ADE M ，Ｆ平面 ADE ，所以 M Ｆ平面 ADE ．又因为 MÇＧＭＦ＝Ｍ，烫ＧＭ平面ＧＭＦ，Ｆ平面ＧＭＦ M

所以平面ＧＭＦ 平面ＡＤＥ，因为 ÌＧＦ平面ＧＭＦ，所以 ＧＦ平面ＡＤＥ（２）同解法一． 18．本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想. 满分 13 分解法一：(1)由已知得 = = b c a 2 = 2 b 2 2 2 + c 2 解得 = a ì ï b = c =î 2 2 2 ì ï ï 镲眄镲镲 a ïî 所以椭圆 E 的方程为 2 x 4 2 y+ 2 1 = . ( y ),B( A x (2)设点 1 1 x 2 , y ), 2 AB 中点为 H( x 0 , y ) 0 . 由 ì ïï í ï ïî = x my 2 2 x y 2 4 + - 1 = 1 得 2 (m 2) y + 2 - 2 my 3 0, - = 所以 1 y + y = 2 , y y = 1 2 所以 2 GH| ( x= 0 2 + 2 y 0 2 m 2 m 2 + 9 ) 4 + 3 2 m 2 + (my + = 0 y ，从而 0 5 4 2 y + ) 2 0 = 2 . 2 2 m 2 + 2 (m +1) y + my + = 2 0 0 5 2 25 16 . 2 |AB| 4 = ( x 1 - 2 x 2 ) ( y 1 - 2 y ) 2 = + 4 (m +1)( y 1 4 - 2 y ) 2 2 (m +1)[( y 1 = 2 - 4 y 1 y ] 2 y ) + 2 4 = 2 (m +1)(y 2 - 0 y 1 y ) 2 , 故 |GH| 2 - 所以 |GH|> 2 |AB| 4 |AB| 2 = 5 2 my 0 + 2 (m +1) y 1 y 2 + 25 16 = - 2 3(m +1) 25 16 + 2 = 2 m 2 17 + 16(m 2) + 2 > 0 2(m 2) m 2 + 5 2 m 2 + ，故 G 9( - ,0)在以 AB 为直径的圆外. 4 解法二：(1)同解法一. ( y ),B( A x (2)设点 1 1 x 2 , y ), 2 ，则  GA ( = x 1 + 9 4  ),GB ( = , y 1 x 2 + 9 4 , y 2 ).

由 ì ïï í ï ïî 从而 + - = 1 x my 2 2 x y 2 4   GA GB ( = 1 =  得 2 (m 2) y + 2 - 2 my 3 0, - = 所以 1 y + y = 2 2 m 2 m 2 + , y y = 1 2 3 2 m 2 + ， x 1 + 9 4 )( x 2 + 9 4 ) + y y 1 2 = (my + 1 5 4 )(my + 2 5 4 ) + y y 1 2 - 2 3(m +1) 25 16 + 2 2(m 2) m 2 + 5 2 m 2 + = 2 2 17 16(m 2) m + + 2 > 0 又，不共线，所以 AGB Ð 为锐角. 2 2 = + + + = y y 1 y ) 2 ( m y 1 (m +1) 25 16   所以 cos GA,GB 0, GA GB 5 4   狁 9( - ,0)在以 AB 为直径的圆外. 4 故点 G > 19. 本小题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想. 满分 13 分. 解法一：(1)将 ( ) g x = cos x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）得到 y 2cos x = 的图像，再将 y 2cos x = 的图像向右平移个单位长度后得到 y 2cos( = p 2 x p - 的图像，故 f( ) 2sin ) 2 x = x 从而函数 f( ) 2sin x = x 图像的对称轴方程为 x (2)1) f( ) g( ) 2sin x x + = x + cos x = 5( 2 5 + k p p= 2 1 5 x + sin (k Z). Î cos ) x = 5 sin( x j + )( 其中 sin j = 1 5 ,cos j = 2 5 ) 在区间[0,2 )p 内有两个不同的解 ,a b 当且仅当 | m < ，故 m 的取值范围是 5 | 1 依题意， sin( x j+ )= m 5 ( - 5, 5) . 2)因为 ,a b是方程 5 sin( x j+ )=m 在区间[0,2 )p 内有两个不同的解，所以sin( a j+ )= m 5 ，sin( b j+ )= m 5 . 当1 m< 5 £ 时， + =2( a b 当 5

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