2010年天津高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2010 年天津高考文科数学真题及答案本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第 I 卷 1 至 3 页。第Ⅱ卷 4 至 11 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！注意事项：第 I 卷 1．答 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。 3．本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么  ( P A B   ( ) P A ) ( P B )  棱柱的体积公式 V=Sh. 其中 S 表示棱柱的底面积. h 表示棱柱的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)i 是虚数单位，复数 3 1 (B)2+4i   i i = (A)1+2i (D)2-i (C)-1-2i 3, x        1, x    y y y 1, (2)设变量 x，y 满足约束条件则目标函数 z=4x+2y 的最大值为（A）12 （B）10 （C）8 （D）2 (3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 s 的值为 (A)-1 (B)0 (C)1 (D)3 （4）函数 f（x）= xe x  的零点所在的一个区间是 2 (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） (5)下列命题中，真命题是 (A) m R,   (B) m R,   使函数（）= f x 2 x mx  使函数（）= f x 2 x mx  （ x R  ）是偶函数（ x R  ）是奇函数 (C) m R,   (D) m R,   使函数（）= f x 2 x mx  使函数（）= f x 2 x mx  （ x R  ）都是偶函数（ x R  ）都是奇函数 (6)设 a  log 4 b c ，（ 3）， log  2 5 5  log 5 4 ，则

(A)a

题号得分二三（17）（18）（19）（20）（21）（22）总分二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。把答案填在题中的横线上。（11）如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P。若 PB=1，PD=3，则 BC AD 的值为。（ 12 ）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为。（13）已知双曲线 2 2 x a  2 2 y b  1( a  0, b  的一条渐近线 0) 方程是 y  3 x ，它的一个焦点与抛物线 2 y  16 x 的焦点相同。则双曲线的方程为（14）已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切。则圆 C 的方程为。。（15）设{an}是等比数列，公比 q  ，Sn 为{an}的前 n 2 项和。记 T n  17 S  n a  1 n S 2 n , n N  设 . * 0nT 为数列{ nT }的最大项，则 0n = 。（16）设函数 f(x)=x- 1 x ,对任意 x [1, ），f(mx)+mf(x)<0 恒成立，则实数 m 的取值范围是________ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分） B C 在  ABC 中， cos cos 。 AC AB （Ⅰ）证明 B=C：  （Ⅱ）若 cos A =- 1 3 ，求 sin 4B       3  的值。（18）（本小题满分 12 分）有编号为 1A , 2A ,… 10A 的 10 个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：

其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品。（Ⅰ）从上述 10 个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取 2 个. （ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（ⅱ）求这 2 个零件直径相等的概率。（19）（本小题满分 12 分）如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 是正方形，FA⊥平面 ABCD，BC∥AD，CD=1，AD= 2 2 ， ∠BAD＝∠CDA＝45°. （Ⅰ）求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值；（Ⅱ）证明 CD⊥平面 ABF；（Ⅲ）求二面角 B-EF-A 的正切值。（20）（本小题满分 12 分） 23 x 2 已知函数 f（x）=  3 ax  1( x R  ，其中 a>0. ) （Ⅰ）若 a=1，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间    1 1, 2 2    上，f（x）>0 恒成立，求 a 的取值范围. （21）（本小题满分 14 分）已知椭圆 2 2 x a  2 2 y b  （a>b>0）的离心率 e= 1 3 2 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点 A 的坐标为（-a，0）.

| （i）若 AB |= 4 2 5 ，求直线 l 的倾斜角；（ii）若点 Q （0，）在线段 AB 的垂直平分线上，且 QA QB=4 y0 .求 y0 的值.    （22）（本小题满分 14 分）在数列 na 中， 1a =0，且对任意 k *N ， 2k 1 a  ,a ,a 2k 2k+1 成等差数列，其公差为 2k. （Ⅰ）证明 4 a ,a ,a 成等比数列； 5 6 （Ⅱ）求数列 na 的通项公式；（Ⅲ）记 T n  2 a 2 2  2 3 a 3   n a 2 n ，证明 3 2  2n T n   2 n （ 2）. 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 50 分. （1）A （6）D (2)B (7)C (3)B (8)A (4)C (9)D (5)A (10)D 二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 24 分.

（11） 1 3 (12)3 (13) 2 x 4  2 y 12  1 （14） 2 （） x+1  2 y  2 (15)4 (16) （- ，-1）三. 解答题（17）本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分 12 分. （ Ⅰ ）证明：在 △ ABC 中，由正弦定理及已知得 . 于是 sin B sin C = cosB cosC sinBcosC-cosBsinC=0，即 sin（B-C）=0.因为所以 B=C.      ，从而 B-C=0. B C  （Ⅱ）解：由 A+B+C=和（Ⅰ）得 A=-2B,故 cos2B=-cos（-2B）=-cosA= 1 3 . 又 0<2B<,于是 sin2B= 1 cos 2B  2 = 2 2 3 . 从而 sin4B=2sin2Bcos2B= 4 2 9 ，cos4B= 2 cos 2 B  2 sin 2 B   . 7 9 所以 sin(4 B   ) 3  sin 4 cos B  3  cos 4 sin B  3  4 2 7 3  18 （18）本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力。满分 12 分（Ⅰ）解：由所给数据可知，一等品零件共有 6 个.设“从 10 个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件 A，则 P（A）= 6 10 = 3 5 . （Ⅱ）（i）解：一等品零件的编号为 1 A A A A A A .从这 6 个一等品零件中随 , , , , , 6 2 3 4 5 机抽取 2 个，所有可能的结果有： A A 1 2 ,   , A A 1 3 ,   , A A ,  , 1 4 A A 1 5 ,   , A A ,  , 1 6  ,A A , 2 3 A A ,   , 2 5 A A 2 6 ,   , A A 3 4 ,   ,  A A 2 4 ,   , 有 15 种. A A ,  , 3 5 A A 3 6 ,   , A A 4 5 ,   , A A ,  , 4 6 ,A A 共 5 6  (ii)解：“从一等品零件中，随机抽取的 2 个零件直径相等”（记为事件 B）的所有可能结果有： A A 1 4 ,   , A A ，  , 4 6 A A 2 3 ,   , A A 2 5 ,   , A A ，共有 6 种. 3 5 ,  ,   , 6 15 A A 1 6 2 5  . 所以 P(B)= (19)本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.满分 12 分. (I)解：因为四边形 ADEF 是正方形，所以 FA//ED.故 CED 为异面直线 CE 与 AF 所成的角.

因为 FA  平面 ABCD，所以 FA  CD.故 ED  CD. 在 Rt△CDE 中，CD=1，ED= 2 2 ，CE= 2 CD ED 2 =3,故 cos CED = ED CE = 2 2 3 . 所以异面直线 CE 和 AF 所成角的余弦值为 2 2 3 . (Ⅱ)证明：过点 B 作 BG//CD,交 AD 于点 G，则  BGA   CDA  45  .由 BAD  45  , 可得 BG  AB,从而 CD  AB,又 CD  FA,FA  AB=A,所以 CD  平面 ABF. (Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得 AG= 2 ，即 G 为 AD 的中点.取 EF 的中点 N，连接 GN，则 GN  EF,因为 BC//AD,所以 BC//EF.过点 N 作 NM  EF，交 BC 于 M，则 GNM B-EF-A 的平面角。为二面角连接 GM，可得 AD  平面 GNM,故 AD  GM.从而 BC  GM.由已知，可得 GM= 2 2 .由 NG//FA,FA  GM,得 NG  GM. 在 Rt△NGM 中，tan GNM  所以二面角 B-EF-A 的正切值为 ,  GM 1 NG 4 1 4 . (20)本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分 12 分. （Ⅰ）解：当 a=1 时，f（x）= 3 x  23 x 2 1  ，f（2）=3；f’(x)= 23 x 3 x , f’(2)=6. 所以曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为 y-3=6（x-2），即 y=6x-9. 1 a 1)  .令 f’(x)=0，解得 x=0 或 x= （Ⅱ）解：f’(x)= 3 ( x ax 23 ax  . 3 x  以下分两种情况讨论：（1）若 0 a   2 ，则 1 a 1 2 ，当 x 变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表： X f’(x) f(x) 当 x        1 0  ，  2  +  0 0 极大值    1 0， 2    -  1 1 ，时，（）>0 等价于 2 2 f x    ) 0,  1 2 ) 0,        f (  f ( 1 2 即 5 a    8   5 a   8   0,  0.

解不等式组得-52，则 0   .当 x 变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表： X f’(x) f(x)    1 0  ，  2  +  0 0 极大值    1 0， a    -  当 x     1 1 ，时，f（x）>0 等价于 2 2         ) >0, 1f(- 2 1f( )>0, a 即 5   8   1-  1 2 a >0. 2    1 1 ， a 2    +  1 a 0 极小值 a >0, 解不等式组得 2 2 a  或 5 a   2 2 .因此 2

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