傅里叶变换-重要公式.pdf-资料库

第三章傅里叶变换重要概念与重要公式一、傅里叶级数 1、三角函数形式的傅里叶级数任何周期信号 ( ) t 可以分解为 f （1） f t ( ) = a 0 + ∞ ∑ n 1 = a n   cos ( n t ω 1 ) + b n sin ( n t ω 1 )   0 t = a 0 1 T 1 t T + 0 1 傅里叶系数：  ∫         2 T 1 2 T 1 a n t T + 0 1 b n ∫ ∫ = = f f t t 0 0 t T + 0 1 f ( ) t dt ( ) t cos ( n t dt ω 1 ) n = 1,2,3,  ( ) t sin ( n t dt ω 1 ) n = 1,2,3,  其中 1 ω = 2 π T 1 （2） f t ( ) = c 0 + ∞ ∑ n 1 = c n cos ( n tω ϕ n + 1 )       ϕ n  c n c 0 = a = 0 2 a + n = − arctan n = 1,2,3,  n = 1,2,3,  2 b n b n a n （3） f t ( ) = d 0 + ∞ ∑ n 1 = d sinn ( n tω θ n + 1 ) 0 n d d = a = 0 2 a + n       θ n  2、虚指数形式的傅里叶级数 2 b n a n b n arctan 1,2,3, 1,2,3,   = = = n n ∞ = ∑ n =−∞ f t ( ) jn t F e ω 1 n 1

傅里叶系数： 1 t T + ∫ T 1 F n = t 0 0 1 f ( ) t e − jn t ω 1 dt n = ± ±  0, 1, 2, nF 与其它系数有如下关系： ( a 0 1 2 = a n 1 2 = − jb n ) ( a n 1 2 d n ) 2 a n + 2 b n + = jb n 1 2 F 0 = c 0 = d 0 = F n = F e n nj ϕ = F − n −= F e n nj ϕ− F n F −= n = F n F −+ n = 1 2 c n c n F n F −+ n = a n b n = ( j F n − F− n ) 2 c n = d 2 n = 2 a n + 2 b n = 4 F F− n n 二、周期信号的平均功率 P = 2 ( ) t = f 1 T 1 T 1 ∫ 0 2 ( ) dt t f = a 2 0 + 1 2 ∞ ∑ n 1 = ( a 2 n ) + 2 b n = c 2 0 + 1 2 ∞ ∑ n 1 = c 2 n = ∞ ∑ n −∞= F n 2 周期信号的平均功率等于直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和。也就是说，时域和频域的能量是守恒的。三、周期信号的频谱 1、周期信号可分解为直流、基波（ 1ω）和各次谐波（ 1ωn ：基波角频率的整数倍）的线性组合。 2、信号的频谱为了直观地表示出信号所含各频率分量振幅的大小，以频率 f（或角频率ω）为横坐标，以各次谐波的振幅 nc 或虚指数函数的幅度 nF 为纵坐标，按频率高低依次排列起来的线图，称为信号的幅度频谱，简称幅度谱。图中每条竖线代表该频率分量的幅度，称为谱线。即 ω~nc （或 ω~nF ）的关系，称为信号的幅度谱。 2

以各次谐波的相位 nϕ 为纵坐标，以频率（或角频率）为横坐标，按频率高低依次排列起来的线图，称为信号的相位频谱，简称相位谱。即 ωϕ ~n 的关系，称为信号的相位谱。 3、周期信号频谱特点周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性。（1）离散性周期信号频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦分量。这样的频谱称为离散频谱或不连续频谱。即是说：谱线沿频率轴离散分布。（2）谐波性频谱的每条谱线，都只能出现在基波频率 1ω的整数倍的频率上，频谱中不可能存在任何具有频率为基波频率非整数倍的分量。即是说：各谱线等距离分布，相邻谱线的距离等于基波频率。（3）收敛性各条谱线的高度，也即各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小的；当谐波次数无限增高时，谐波分量的振幅亦就无限趋小。但是，冲激函数序列 ( ) t δ T = 四、傅里叶变换（一）傅里叶变换的定义 ∑∞ ( t δ n −∞= − nT 1 ) 的频谱不满足收敛性。 f   = F F ( ) ω 傅里叶正变换 ( ) t 傅里叶逆变换 ( ) ω 1 − F ( ) t F =   f   可简记为： ( ) t f = ∞ −∞ ∫ f ( ) t e − j t ω d t   = 1 2 π ←→ FT ∞ −∞ F ∫ ) F ω ( ( ω ω ) j t e dω （二）典型信号的傅里叶变换 1、 ( ) tδ ←→ 1 2、 ( ) t ' δ ω←→ j n ( ) ( ) t δ )n ω←→ ( j 3、 1 ←→ ) 2πδ ω ( 3

4、 ( ) u t ←→ ) πδ ω ( + 1 j ω 5、 ( ) sgn t 2 ←→ jω 6、 ( ) G t τ τ  Sa ←→   ωτ   2  7、 ( Sa ω 0 ) t ↔ π ω 0 G ω02 ( )ω ( ) Sa t ←→ ) Gπ ω ( 2 1 + jω a a 2 2 2 a ω + ( 2 πδ ω ω 0 − 8、 ( ) ate u t − ←→ （ a 为正实数） 9、 e a t − ←→ （ a 为正实数） 10、 t j e ω 0 ←→ ) （ 0ω 为实数） 11、 ( cos tω 0 ) ←→ π δ ω ω δ ω ω 0 + + − 0   ( ) 12、 ( sin t ω 0 ) ←→ j π δ ω ω δ ω ω 0 + − − 0   ( ) ( ( )   )   13、 ( cos ω 0 ) ( ) t u t ←→ π 2 ( δ ω ω δ ω ω   0 + + − 0 ) ( )   + j ω 2 ω ω − 2 0 14、 ( in s ω 0 ) ( ) t u t ←→ π j 2 ( δ ω ω δ ω ω   0 + − − 0 ) ( )   + ω 0 2 − 0 2 ω ω 15、 ( ) t δ T = ∞ ∑ n =−∞ ( δ t nT − ←→ 1 ω δ ω ω 1 − n 1 ( ) ∞ ∑ n =−∞ ) = ∞ ∑ n =−∞ jn T − e ω 1 （ 1 ω = ） 2 π T 1 = 21 − τ    t        u t   + τ 2    −  u t   16、 ( ) t f ∆ 17、 t ←→ ) j πδ ω 2 ( ' t ←→− 2 2 ω 4 − ←→ τ 2       τ ωτ   2 4   2 S a  

1 t ( ) tu t ←→− ) j Sgn π ω ( ←→ ) jπδ ω ( ' − 1 2 ω n t ←→ 2 π ( ) j n n d n d ω ) δ ω ( （三）傅里叶变换的性质 1、对称性若 f ( ) t ←→ ) F ω ( 则 ( ) F t ←→ 2、线性 ) fπ ω 2 − ( 若 ( ) t f i ←→ ) F ω i ( （ 1,2, =  ） n i , 则 n ∑ i 1 = a f i i ( ) t ←→ n ∑ i 1 = ) a F ω i ( i 其中 ia 为常数，为 n 正整数。 3、奇偶虚实性 ( ) t 若 f ←→ ) F ω ( 且设 F ( ) ω = F ( ) ω e ) ( j ϕω = R ( ) ω + jX ( ) ω F ( ) ω = 2 R ( ) ω 2 + X ( ) ω ， ( ) ϕω = arctan X R ( ) ω ) ( ω 则（1） ( ) f t 是实函数 R ( Rω ) ω= − ， ( X ) ( Xω = − ) ( ) ω − F ( Fω − = ) ( ) ω∗ F ω 是偶函数， ( )ϕω 是奇函数。 ( ) 若 ( ) t 是实偶函数，则 ( f F ω 必为ω的实偶函数。若 ( ) t 是实奇函数，则 ( f F ω 必为ω的虚奇函数。 ) ) （2） ( ) f t 是虚函数 5

R ( Rω = − ) ( − ， ( ) X ω Xω ) ω= − ) ( F ω 是偶函数， ( )ϕω 是奇函数。 ( ) 若则 f ∗ f f f ∗ ( ) t ←→ ) F ω ( ( ( t − ←→ − ) F ω ) ( ) t ( ←→ − ) F ω ∗ ( t − ←→ ) ∗ ) F ω ( 4、尺度变换特性若 f ( ) t ←→ ) F ω ( 则 ( f at ) ←→ 1 a F ω    a   （ a 为非零的实常数） 5、时移特性 ( ) t 若 f ←→ ) F ω ( 则 f ( t − ←→ t 0 ) F ( j t e ωω − ) 0 如果信号既有时移又有尺度变换则有：若 f ( ) t ←→ ) F ω ( a 和 0t 为实常数，但 0 a ≠ ，则 ( f at − ←→ t 0 ) 1 a F    tj 0 a ωω − a    e 6、频移特性 ( ) t 若 f ←→ ) F ω ( 则 f ( ) t e j ω 0 t ←→ F ( ω ω 0 − ) f ) cos ( ) t ( t ω 0 ←→ 1 2 j 2 7、时域微分和积分特性 ←→ ( t ω 0 ( ) t sin ) f F   ( ω ω 0 + ) + F ( ω ω 0 − )   F   ( ω ω 0 + ) − F ( ω ω 0 − )   时域微分 6

若 f ( ) t ←→ ) F ω ( 则 df ( ) t dt ←→ ) j F ω ω ( ←→ ( n ) j ω ω F ) ( ( ) t n d f dt 时域积分 n 若 f ( ) t ←→ ) F ω ( 则 t ∫ −∞ f ( ) τ τ d ←→ F ( ) ω j ω + F π ( ) 0 ) δ ω ( 8、频域微分和积分特性频域微分 ( ) t 若 f ←→ ) F ω ( 则 ( − jt ) f ( ) t ←→ ) ( dF ω d ω ( − jt n ) f ( ) t ←→ ( ) n d F ω n d ω 频域积分 ( ) t 若 f ←→ ) F ω ( − f ( ) t jt + π δ ( ) 0 f ( ) t ←→ ω −∞ ∫ F ( Ω Ω d ) 9、时域卷积定理若 ( ) t f 1 ←→ ) F ω 1 ( ( ) t f 2 ←→ ) F ω 2 ( 则 ( ) t ∗ f 1 ( ) t f 2 ←→ F 1 10、频域卷积定理若 ( ) t f 1 ←→ ) F ω 1 ( ( ) t f 2 ←→ ) F ω 2 ( ( ) Fω ω ) ( 2 7

则 ( ) t f 1 ( ) t f 2 ←→ 1 2 π F 1 11、时域冲激抽样若 f ( ) t ←→ ) F ω ( ( ) Fω ω ∗ ) ( 2 则 ( ) t = f s f ( ) t δ T ( ) t = f ( ) t ∞ ∑ n =−∞ ( δ ) t n T − s ←→ 1 T ns ∞ ∑ =−∞ F ( ω ω s − n ) （ ω = ） 2 π sT s 12、频域冲激抽样若 f ( ) t ←→ ) F ω ( 则 1 ω s ∞ ∑ n =−∞ f    t − n 2 π ω s    ←→ ∞ ∑ n =−∞ 五、周期信号的傅里叶变换周期信号 ( ) f t 的傅里叶变换为 F ( ωδ ω ω s − n ) ( ) f ( ) t ←→ ∞ ∑ =−∞ 2 π n )1 F δ ω ω n − n ( 其中 nF = 1 T 1 ∫ 2 T T 1 − 1 2 f ( ) t e jn t ω− 1 dt 周期信号 ( ) f t 的傅里叶变换是由一些冲激函数组成，这些冲激位于信号的谐频（0， 1ω± ， 12ω± ， ）处，每个冲激的强度等于 ( ) f t 的傅里叶级数相应系数 nF 的 π2 倍。 nF 还可按下式求得 F n = 1 T 1 F 0 ( ω ωω = n ) 1 六、抽样信号的傅里叶变换 1、什么叫信号的抽样？ “抽样”就是利用抽样脉冲序列 ( )p t 从连续信号 ( ) t 中“抽取”一系列离散 f 样本值的过程。这样得到的离散信号称为抽样信号，以 ( ) t 表示。抽样脉冲序 sf 8

资料库

傅里叶变换-重要公式.pdf

相关推荐

行业

热门标签

最新资料