传递函数矩阵的状态空间实现.pdf

发布时间：2022-06-09 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.38M 资料格式：pdf 举报版权申诉

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第四章传递函数矩阵的状态空间实现

4.1 实现问题的基本概念

4.2 传递函数矩阵的规范型实现

4.3 最小实现及其特性

4.4 多变量系统最小实现的求法

结束

作业

第四章传递函数矩阵的状态空间实现实现的概念多输入多输出几种标准型的实现最小实现的概念、性质以及求法 1

4.1 实现问题的基本概念 1、实现的定义给定线性系统的传递函数矩阵G(s)，寻求一个状态空间描述，使 x =& y = sIC − ( Ax + Cx + sGDBA )( ) 1 − Bu Du + = 则称此状态空间描述为G(s)的一个实现。对于第一章中介绍的建模方法就是一种实现方法。例：设双输入双输出系统传递函数阵为 sG )( =       ( s + s 1 + 1 )(1 1 ( s + s + )3 2 )(1 1 + s s + )2 3       sy )( 1 sy )( 2  =     sG )( su )(  1  su )(  2    2

sy )( 1 = 1 + 1 s u 1 + 2 )(1 s ( s + = u 1 sx )( 1 1 1 + x u +−=& 1 1 s x 1 y 1 = sx )( 4 = x −=& 4 3 x 1 1 s + x 4 + 2x 2 u 2 3 + u 2 y 2 = x 4 + x 5 = syu )( 2 , 2 ( s + = )2 sx )( 2 ( 1 )(1 + 1 s ( + x x 2 −=& 2 sx )( 5 sx )( 2 = = ( s x 3 2 )2 x + 3 1 )(1 + 1 + s + x 6 )3 x 6 + sx )( 5 = s ( x x 3 −=& 5 5 1 )(1 s + s + )3 u 1 + 1 + s 3 u 2 u 2 + )2 s sx )( 3 u 2 ( = 1 s )1 + x u x +−=& 3 3 2 u 1 )3 sx )( 6 = 1 + )1 ( s u 2 x +−=& 6 x 6 u 1 3

x & = 2 x x u +−=& 1 1 1 x x x 2 + −=& 2 3 2 u x x +−=& 2 3 3 u x x 3 −=& + 4 4 x x x 3 + −=& 5 6 5 u x x +−=& 1 6 6 y 2x + 1 y x 5 x 1 x + = 2 = 2 4 −              1 − 2 1 1 −        1  1 −   x + 01 00 10 10 00 01                     u − 3 − 3 y = 000021 011000 x    这是一种实现，其中系统阶次为n＝6 4

x x u +−=& 1 1 1 x x u 3 −=& + 4 4 1 −   0  0   0   1  x & = + x x 2 −=& 2 2 x x 3 −=& 5 5 0 0 0 3 − 0 0 1 1 − 0 0 2 0 2 − 0 0 0 + x −=& 3 x 3 + u 2 x 3 x 1 y 1 y 2 = = 2 x 1 x 4 + + 2x x 5 0   0  0   0   3 −  x + 01 00 10 10 00                 u y = 00021 11000    x    系统阶次为n＝5 所以多输入多输出系统的状态空间表达式不仅系数矩阵不同，而且阶数也可能不一样。 5

关于实现的基本性质 1、实现的不唯一性，一个传递函数阵可以对应不同维数的实现，即使是相同维数的实现，也不只有一种实现； 2、对于每一个传递函数阵一定存在一个维数最小的实现； 3、实现问题的物理本质是对于一个具有“黑箱”形式的真实系统，在状态空间领域内寻找一个外部等价的假象结构任务：如何有规律的建立规范形式？如何判断所建立的状态空间表达式的阶次为最小阶次？ 6

2、多输入多输出系统传递函数阵的零极点多项式定义 1）最小多项式ϕ(s) 矩阵A的最小多项式ϕ(s)是矩阵A的化零多项式中阶次最低的首一多项式。特征多项式一定是最小多项式的倍式。 A = 231   240  100        sI − A = ( s − ()1 2 − s )4 ( AIA )( − − I )4 = sϕ )( = ( s − 230   230  000   )(1 )4 − s 33 − 0 0 0 0           2   2  3  −  = 0 为最小多项式，由A阵决定。特征多项式为最小多项式的倍式。 7

2）极点多项式正则有理矩阵G(s)的所有不恒为零的子式当化为不可简约形式后分母的首一最小公倍式定义为极点多项式，用φ(s)表示。极点多项式的阶次定义为G (s)的阶次，用ns表示； φ(s)＝0 的根为G(s)极点。矩阵各阶子式 sG )( = ( s − s − )4 ( s )1       2 )(1 1 − s ( )1 1 −s 1 − 0       1 −s 一阶子式二阶子式极点多项式为 2 )(1 ( s − s − )4 ( )1 ( 0 )1 1 − 2)1 − s ( − = s ( sφ )( ()1 2 s − )4 sn = 3 p 2,1 = p ,1 3 = 4 8

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