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2008年重庆高考文科数学真题及答案.doc
2008 年重庆高考文科数学真题及答案
数学试题卷(文史类)共 5 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件 A、B互斥，那么
P(A+B)=P(A)+P(B).
如果事件 A、B相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B).
如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P，那么 n次独立重复试验中恰好发生 k次的概率
Pn(K)=k
mPk(1-P)n-k
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个备选项中，只
有一项是符合题目要求的.
(1)已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则 a5 等于
(A)4
(B)5
(C)6
(D)7
(2)设 x是实数，则“x＞0”是“|x|＞0”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(3)曲线 C:
x
y
cos
sin
1.
1
(为参数)的普通方程为
(A)(x-1)2+(y+1)2=1
(B) (x+1)2+(y+1)2=1
(C) (x+1)2+(y-1)2=1
(4)若点 P 分有向线段 AB
所成的比为-
(A)-
3
2
(B)-
1
2
1
3
(D) (x-1)2+(y-1)2=1
，则点 B 分有向线段 PA
(C)
1
2
所成的比是
(D)3
(5)某交高三年级有男生 500 人，女生 400 人，为了解该年级学生的健康情况，从男生
中任意抽取 25 人，从女生中任意抽取 20 人进行调查.这种抽样方法是
(A)简单随机抽样法
(C)随机数表法
(6)函数
y
10
2 1
x
(0
(A)
y
1 lg (
x x
＞
的反函数是
)
1)
x
1
10
1
＜x≤ 1
10
(B)抽签法
(D)分层抽样法
(B)
y
1 lg
x
(x＞
)
1
10
1
＜x≤ 1
10
(C)
y
1 lg
x
(
(D)
y
1 lg
x
(
(7)函数 f(x)=
x
1
x
的最大值为
(A)
2
5
(B)
1
2
(C)
2
2
(D)1
(8)若双曲线
2
x
3
2
16
y
2
p
的左焦点在抛物线 y2=2px的准线上，则 p 的值为
1
(A)2
(B)3
(C)4
(D)4 2
(9)从编号为 1,2,…,10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个，则所取 4 个球的最大号码是
6 的概率为
1
84
(A)
1
2x
(10)若(x+
(A)6
(B)
1
21
(C)
2
5
(D)
3
5
)n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中 x4 项的系数为
(B)7
(C)8
(D)9
(11)如题（11）图，模块①－⑤均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成，模块⑥由 15 个棱
长为 1 的小正方体构成.现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱
长为 3 的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为
(A)模块①，②，⑤
(C)模块②，④，⑤
（12）函数 f(x)=
(A)[-
(C)[-
1 1,
4 4
1 1,
2 2
]
]
(B)模块①，③，⑤
(D)模块③，④，⑤
x
sin
5 4cos
x
(0≤x≤2)的值域是
(B)[-
(D)[-
1 1,
3 3
2 2,
3 3
]
]
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填写在答题卡相应位置上.
（13）已知集合
＝ 1，2，3，4，5 ， = 2，3，4 ， = ， ，则 A U（C B ）＝
A
B
4 5
.
（14）若 0,
x 则
（2x +3 ）(2x -3 )-4x
1
4
3
2
1
4
1
2
-
1
2
(
x
x
1
2
)
＝
.
（15）已知圆 C： 2
x
2
y
2
x ay
（a为实数）上任意一点关于直线 l：x-y+2=0
3 0
的对称点都在圆 C上，则 a=
.
（16）某人有 3 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的 6 个点
A、B、C、A1、B1、C1 上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同
的安装方法共有
种（用数字作答）.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满 13 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 8 分.）
设△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a,b,c.已知 2
b
2
c
2
a
3
bc
，求：
（Ⅰ）A的大小;
（Ⅱ） 2sin cos
B
C
sin(
B C
的值.
)
（18）（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 8 分，（Ⅱ）小问 5 分.）
在每道单项选择题给出的 4 个备选答案中，只有一个是正确的.若对 4 道选择题中的
每一道都任意选定一个答案，求这 4 道题中：
（Ⅰ）恰有两道题答对的概率;
（Ⅱ）至少答对一道题的概率.
（19）（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 6 分，（Ⅱ）小问 6 分.）
设 函 数
( )
f x
3
x
2
ax
9
x
1(
a
若 曲 线 y=f(x)的 斜 率 最 小 的 切线 与 直 线
0).
12x+y=6 平行，求：
（Ⅰ）a的值;
（Ⅱ）函数 f(x)的单调区间.
（20）（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 6 分，（Ⅱ）小问 6 分.）
如图（20）图， 和 为平面，
,
l A
AB=5,A,B在棱 l上的射影
,
,
B
分别为 A′，B′，AA′＝3，BB′＝2.若二面角 l 的大小为
（Ⅰ）点 B到平面 的距离;
（Ⅱ）异面直线 l与 AB所成的角（用反三角函数表示）.
2
3
，求：
（21）（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分.）
如题（21）图，M（-2，0）和 N（2，0）是平面上的两点，动点 P 满足：
PM PN
2.
（Ⅰ）求点 P 的轨迹方程;
（Ⅱ）设 d 为点 P 到直线 l：
x 的距离，若
1
2
PM
2
PN
2
,求
PM
d
的值.
（22）（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 6 分.（Ⅱ）小问 6 分）
设各项均为正数的数列{an}满足
a
1
2,
a
n
3
a a
2
1
n
n
2
(
n
N*)
.
（Ⅰ）若 2
a 求 a3,a4,并猜想 a2008 的值（不需证明）;
1 ,
4
（Ⅱ）若
2 2
a a
1 2
a
n
4
对 n≥2 恒成立，求 a2 的值.
参考答案
一、选择题：每小题 5 分，满分 60 分.
(1)C
(7)B
(2)A
(8)C
(3)C
(9)B
(4)A
(10)B
(5)D
(11)A
(6)D
(12)C
二、填空题：每小题 4 分，满分 16 分.
(13) |2 , 3|
(14) -23
(15) -2
(16) 12
三、解答题：满分 74 分.
(17)（本小题 13 分）
解：(Ⅰ)由余弦定理， 2
a
2
b
2
c
2
bc
cos
A
,
故
b
2
2
c
2
bc
2
a
3
bc
2
bc
3
2
,
cos
A
A
.
6
所以
(Ⅱ) 2sin cos
B
C
sin(
B C
)
(sin cos
cos
C
B
sin
B
C
cos
B
sin )
C
B
2sin cos
C
sin cos
C
B
)
sin(
B C
)
sin(
A
1
2
sin
A
.
(18)（本小题 13 分）
解：视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是 4 次独立重复试验，且每次试验中
“选择正确”这一事件发生的概率为
1
4
由独立重复试验的概率计算公式得：
(Ⅰ)恰有两道题答对的概率为
.
2
) (
3
4
2
)
P
4
1
4
(2) C (
2
4
27 .
128
(Ⅱ)解法一：至少有一道题答对的概率为
1
P
4
0
(0) 1 C (
4
81
256
1
1
4
3
0
) (
)
4
175
256
4
.
解法二：至少有一道题答对的概率为
1
C (
4
1 3
)(
4 4
2
2
) C (
4
1
4
2
) (
3
4
2
3
) C (
4
1
4
3
) (
3
4
4
) C (
4
1
4
4
) (
3
4
0
)
54
256
12
256
1
256
108
256
175 .
256
(19)(本小题 12 分)
解：(Ⅰ)因
( )
f x
2
x
2
ax
9
x
1
所以
( ) 3
f x
x
2
2
ax
9
3(
x
a
3
2
)
9
2
a
3
.
即当
x
a
3
时， 取得最小值
f x
( )
9
2
a
3
.
因斜率最小的切线与12
x
y 平行，即该切线的斜率为-12，
6
所以
9
2
a
3
12,
2
即
a
9.
解得
a
3,
a
由题设
0,
a
所以
3.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
a
3,
因此
( )
f x
3
x
3
x
2
9
x
1,
2
x
, 1)
( ) 3
f x
x
( ) 0,
f x
令
(
x
当
( 1,3)
x
时，
当
9 3(
3(
6
1)
x
x
1,
3.
x
x
解得：
2
1
( ) 0,
( )
f x
f x
时，
故 在 ， ）上为增函数；
( ) 0,
( )
f x
f x
.
( ) 0,
( )
f x
f x
故 在（ ， ）上为增函数
当x (3,+ )时，
( )
f x
(
13
3
(
, 1
由此可见，函数 的单调递增区间为
故 在（ ，）上为减函数；
1
）和（ ， ）；
3
单调递减区
13 .
间为（ ，）
（20）（本小题 12 分）
解：（1）如答（20）图，过点 B′C∥A′A且使 B′C=A′A.过点 B作 BD
⊥CB′，交 CB′的延长线于 D.
由已知 AA′⊥l，可得 DB′⊥l，又已知 BB′⊥l，故 l⊥平面 BB′D，
得 BD⊥l又因 BD⊥CB′，从而 BD⊥平面α,BD之长即为点 B到平面α的
距离.
因 B′C⊥l且 BB′⊥l，故∠BB′C为二面角α-l-β的平面角.由题意，∠BB′C=
2
3
.因此在 Rt△BB′D中，BB′=2,∠BB′D=π-∠BB′C=
,BD=BB′·sinBB′D
3
= 3 .
（Ⅱ）连接 AC、BC.因 B′C∥A′A，B′C=A′A,AA′⊥l,知 A′ACB′为矩形，故 AC∥l.所
以∠BAC或其补角为异面直线 l与 AB所成的角.
2
3
在△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=
，则由余弦定理，
BC=
2
B B
'
2
B C
'
B C
'
cos
BB C
'
19
.
因 BD 平面 ，且 DC CA，由三策划线定理知 AC BC.
故在△ABC中，∠BCA=
2
，sinBAC=
BC
AB
19
5
.
因此，异面直线 l与AB所成的角为 arcsin
（21）（本小题 12 分）
解：（I）由双曲线的定义，点 P的轨迹是以 M、N为焦点，实轴长 2a=2 的双曲线.
因此半焦距 c=2，实半轴 a=1，从而虚半轴 b= 3 ,
所以双曲线的方程为 x2-
2
y
3
=1.
(II)解法一：
由（I）由双曲线的定义，点 P 的轨迹是以 M、N为焦点，实轴长 2a=2 的双曲线.
因此半焦距 e=2，实半轴 a=1，从而虚半轴 b= 3 .
R 所以双曲线的方程为 x2-
2
y
3
=1.
(II)解法一：
由（I）及答（21）图，易知|PN| 1,因|PM|=2|PN|2,
知|PM|>|PN|,故 P 为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2.
①
②
将②代入①，得 2||PN|2-|PN|-2=0，解得|PN|=
1
17
4
,
舍去
1
17
4
,所以
|PN|=
1
17
4
.
因为双曲线的离心率 e=
所以 d=
1
2
|PN|,因此
c
a
=2,直线 l:x=
1
2
是双曲线的右准线，故
|
|PN
d
=e=2,
|
PM
d
|
|
2 |
|
PM
|
PN
2
4 |
|
PN
PN
|
|
4 |
PN
| 1
17
解法：
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