清华大学-高等数值分析-历年真题汇总.pdf-资料库

清华大学贾仲孝老师（贾哥）高等数值分析证明题汇总前言：高值是我上学这么多年感觉学起来最费劲的一门课，没有之一。想起自己在文图奋斗了那么多个日日夜夜，每天听三遍提醒才会离开的情景，以及在四教答疑到没空吃饭的悲催，就觉得辛辛苦苦学到的这些东西就仅仅应付一个考试太可惜了，有点对不住自己这么长时间的辛苦，一直想着要把觉得有用的东西总结一下，广而告之，就当攒人品了。因为到现在高值成绩也没有出来，我也不知道自己考了多少分，所以对这份总结的正确性不能保证，仅供手里没有其他资料的时候稍稍参考。有了这份资料，康师姐再给我们答疑的时候是不是可以轻松点（给答疑的师兄和师姐点个赞）。二中哥 2015 年 2 月 2 日焊管 104 x ( 0 ( k )   , 0    xk  ( Aq A , span r Ar k k rk   p 取 (A)= k r k 1．若 A 可对角化，A 有 k 个特征值时，证明 GMERES 和 MINRES 至多 k 步收敛；证：对于 GMERES x ) q A r 0 0 k b Ax r  0 k ) ( I Aq A  min ) ( p A r 0 , (0) 1 p P p   A    则 (A)=  又因为可对角化， A =    ( )) I Aq A r 0   (  ( p 则则   -1 k ) r min p P p  0 , (0) 1  k ) p r k r k -1 ( ) p min r -1 0 , (0) 1 p P p   ( ) r min max    i n      ( p ) 0 k 即 ( ) p  i k , (0) 1 1 p P p   ) ( t   j (  j  1 j k   )  1 j k   ( 1) k  ) =0 r =0 k 可取 p ( ) t k  则 ( p  i 0 ，即 max 1 i n   r   k 证毕！对于 MINRES， ( )  =1，同理可证。 2. 若 A 可对角化，A 有 n 个不同的特征值，r0 是由 k 个不同特征值的特征向量构成。证明 GMERES 和 MINRES 至多 k 步收敛。 1 / 6

Aq A ( xk ) , span r Ar k ,  ( )) I Aq A r 0    ( 0 0  k ( x    证：对于 GMERES ) x q A r 0 0 k k b Ax r rk    0 k ) ( p I Aq A  取 (A)= k min ) ( r p A r 则 0 k , (0) 1 p P p   A    则 (A)=  又因为可对角化， A ( ) p min , (0) 1 p P p   p r 则 k ( p  -1 k k =  -1    ) r -1 0 其中 =(      k  2 , , 1 3 = min p P p  k , (0) 1  , k-1 ( Xp ,0,0  X Xy 1   ) 0,0) T  min , (0) 1 p P p   k ( Xp  ) y 取则即 r 0 r k r k n   1 i    r k  X y 可取 p ( ) t k k y )  X y, ( p ( p    x  i i min , (0) 1 p P p   min X , (0) 1 p P p   min max , (0) 1 1 i k    ) (    j 1 j k   ( ( 1) k   j p P p    t k k ) )  1 j k   r -1 0 y ( ) p  i 则 ) =0 r =0 k ( p  i 0 ，即 max 1 i n   r   k 证毕！对于 MINRES，同理可证。 3. 证 Arnoldi 过程中断时不会发生方法中断。 AV h v 1 m m m  h 当过程中断时，即 m AV m 设（，）为H 的任一特征对 ) e T 1 m  =0 V H  m m   m AV V H   m m m = AV V    m m    m V H m m V H m   V m 则即    1  ( 即H 的特征值均为的特征值，非奇异，则非奇异，则不会发生方法中断，证毕。 A A H m m 4. 证 Arnoldi 方法中断则 Arnoldi 过程一定不中断。证：该命题与 3 是等价的逆否命题，先证明 3，然后根据逆否命题的等价性即可得到 4. 5. 证 Arnoldi 过程中断找打了准确解。当过程中断时， mh  1=0 2 / 6

再推导出讲义 P52，定理 3.3.3，从而可得出结论 kr =0 ，即找到了准确解。 6. 证当 A 为对称正定矩阵时，证明 Lanczos 方法不会发生中断。证明：   e q T   1 m m m 0 A A T ， AQ Q T   m m m Q AQ T T   m m m 1.1.2 A A T 由讲义定理 cos 方法不会发生中断。可知，当 a L nz 则   0 时， Q AQ m T m 正定，即正定，非奇异 T m 7. 当 A=I-BBT 时，rank(B)=p,用 CG 法求解 Ax=b,最多几步收敛？证明， TBB  X ,0 0,0,0,0,0,0 2   ， 1  ,0,0,0,0,0 0 2  ，  2  0 ,0,0,0,0 2  ，0,  p  0,0,0,0,0,0,0,0,0     0,0,0,0,0,0,0,0,0  0,0,0,0,0,0,0,0,0               1  X ，则 I BB T   X 2 1 ,0 0,0,0,0,0, 2    ， 1  0 ,0,0,0,0,0 2  ，1-  2  0 ,0,0,0,  ，0,1-  p  0,0,0,0,0,1,0,0,0     0,0,0,0,0,0,0,1,0  0,0,0,0,0,0,0,0,1               X 1  即其含有最多 p+1 个不同的特征值，则当 p+1

则 n n 1  1  y  Q A Q n T y  n e 1  T 1  n n r e 又因为： 0 1 r T 1    0 n X Q y X 又因为 0 n n r r r     0 0 n r 0 r 0  b AX 备注： Q e 1 n =q , 1 q 1  n n X Q Q A Q n 1  n  1  0 n r 0 e 1  X 0  A r 1  0  0   Q n r 0 = e r 1 0 证毕对 Arnoldi，同理可证。 10. 叙述 Rayleigh-Ritz 和精叙述 Rayleigh-Ritz 方法的主要收敛结论（贾氏定理）。解，见讲义 P93，定理 4.6.1，以及 P95 页，定理 4.7.1. 11．描述 Arnoldi 方法和精化的 Arnoldi 方法。解，见讲义 P94，以及 P96 页。 12．若sin ∠（X1，vk）=ek,求 p k ( )  1  2 o e ( )k 证 vk= 1   X 1 X C 2 2 ,又 kv C   1 2 1 2 1  2 cos ∠（X1，vk）= ) X v ( , k 1 X v k 1  ( X v , k 1 )   1 则sin ∠（X1，vk）=ek= C 2 2  1  1    1   1 ( X 1  X C 2 2 X ,  1 1 1  ~ A X C 2 2 )  1     1 2 1  T C X A X C T 2 2 2   1 ~ 2 2 ~  2 (   1 1)  1  2 T C X A X C ) ( T 2 2 2 2  C 2 o C  （ 2  1 2 X C  2 2 e =o( ) k 2 ）证毕 13. vk   1 X 1  X ( 2 kB )  1 证 w ， 0 (  v 1 )  ( v Av 0 0 , ) ，证 Raylei 商收敛于主特征值 4 / 6

v k   1 X 1    1   ( 2 ( X B  1 v Av 0 0 ,    2  1 1 2 k ) w 0  1 ( B  1 v k k ) w 0 , )   1  (  1 X 1  X ( 2 k ) w 0 X ,  1 1 1  ~ A X B  1 2 k ) w 0 )   1 ( B  1 B  1 ) k  ……     k 2 (  1 )  1) （ (   1 1 B  1  2  1 ) ] k o [(    1  2 1 1 ~ X A X T 1 ( 2 B  1 k ) w 0  ( X ( 2 w 0 ) T  ( X ( 2 k ) w 0 ) T ~ A X ( 2 B  1 B  1 k ) w 0   1 ~ X A X T 1 + X T 2 2 T w 0 X T 1 ）+ ( 2 k ) (  2 w 0   2 ~ A w 0  )  1 B X 1 14. 当 v 0   1 X 1 n    i i 2  X i 时，求证   1   o  ) k ( 22  1 证 v k  A v k 0  k  1 1 X 1 Av k  A v k 1  0  k  1 1 X i  i n k    i i 2  X 1  1 n k    i i 2  i 1  X i    1   ) ( v Av , k k v v , ( ) k k   1  k i 2 n 2    i i 1  n 2    i i 1  2 i 1  k   1 2 2     2 2 1  1  2 1 2 k k 1  2     2 2 1 2 1  2 2 k k i 2 n 2     i i 3  n 2     i i 3  2 k i k 1    1 2    2  1 1 2   2  2 1 2 ( 2 )  2 1   ( ) 22 1  k  2  …… k  ……   1  2 2 (  2 1  2 k ) 2 (  2 1  2 k )    2 2 2  1 1   ) 22  1 o = ( k    证毕 15．叙述幂法解，见讲义 P80。 5 / 6

结语：最后三道题为四个月后补录，准确性已经无法保证，仅供参考，祝君顺利。 6 / 6

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