时间分数阶Black-Scholes方程的θ-差分数值方法.pdf

发布时间：2022-05-29 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.53M 资料格式：pdf 举报版权申诉

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中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 时间分数阶 Black-Scholes 方程的θ–差分数值方法# 张雪，孙淑珍，吴立飞，杨晓忠** （华北电力大学数理学院，北京 102206）摘要：Black-Scholes（B-S）方程是金融工程中期权定价的重要数学模型．基于分数布朗运动驱动的分数阶随机微分方程描述股票价格变化更符合实际金融市场, 研究分数阶 B-S 方程的数值解法具有非常重要的理论意义和实际应用价值.本文对时间分数阶 B-S 方程构造了 θ- 差分格式，分析此格式解的存在唯一性、稳定性和收敛性．最后，数值试验证实 θ-差分方法对求解时间分数阶 B-S 方程是有效的．关键词：金融数学；时间分数阶 Black-Scholes 方程；θ-差分方法；稳定性；数值试验中图分类号：O241.8 5 10 15 The θ-Difference Numerical Method of Time-Fractional Black-Scholes Equation Zhang Xue, Sun Shuzhen, Wu Lifei, Yang Xiaozhong (Mathematics and Physics Department，North China Electric Power University，Beijing 102206) Abstract: Black-Scholes (B-S) equation is an important mathematical model in option pricing theory of Finance Engineering. It’s more practical and more actual in financial markets to use stochastic differential equation driven by fractional Brownian motion to describe the stock price. So it is very practical in the application to study the numerical computation of fractional B-S equation. This paper constructsθ-difference scheme for solving the time-fractional B-S equation. This scheme is analyzed to be stable, convergent, existence and uniqueness of solution. Finally prove the effectiveness of the scheme by numerical experiments. Key words: financial mathematics; time-fractional Black-Scholes equation; θ-difference method; stability; numerical experiment 20 25 0 引言 30 期权是最重要的金融衍生工具之一，在现代金融交易市场中占有重要的地位．研究期权定价问题具有非常重要的理论意义和应用价值．1973年Fisher Black和Myron Seholes提出了经典的Black-Scholes (B-S) 模型，这一理论假设股票价格的波动相互独立，且服从几何布朗运动．在实际金融市场上， B-S期权定价模型的应用广泛，带动了整个衍生金融产品市场的蓬勃发展．与其他理论模型一样， B-S模型也包含了许多假设前提，对B-S模型的许多发展都是通过削弱这些假设条件得到的．通过对股票市场的观察和研究发现，资本市场最基本的状态是随机波 35 动的，这表明传统的定价理论与实际股票运动并不完全吻合．Wyss(2000年)首次着手推导了分数阶B-S方程[1]；Cartea and del-Castillo-Negrete(2007年)利用分数阶偏微分方程给出了几个分数阶跳跃扩散期权定价模型和分数阶障碍期权定价模型[2]；G.Jumarie(2008年)将分数阶 Taylor公式应用到推导B-S方程的过程中，初步得到分数阶的B-S方程[3]；G.Jumarie (2010年) 基金项目：国家自然科学基金（No.11371135，No.10771065）；中央高校基本科研业务费专项资金资助(No. 13QN30)；北京市共建项目专项资助（2012 年）作者简介：张雪（1989-），女，硕士研究生，主要研究方向：金融数学中的数值解法及应用通信联系人：杨晓忠（1965-），男，教授，主要研究方向：计算数学与科学工程计算. E-mail: yxiaozh@ncepu.edu.cn - 1 -

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 40 推进了他的工作，严谨地推导出了分数阶的B-S方程并给出最优分数阶Merton投资组合，其在实际金融市场中应用更广泛[4]．因此，本文重点研究实际金融市场中时间分数阶B-S期权定价模型的数值解法．时间分数阶股票期权价格的模型——时间分数阶 B-S 方程[3,4]：，， 45 其中，P 为欧式看涨期权的价格；S 为股票价格；r 为无风险利率；为波动率；t 为时间． (1)式中的中的分数阶导数为 Riemann-Liouville 时间分数阶导数．时间分数阶 B-S 方程尚没有完善的解析解，所以数值解的求解显得尤为重要．目前对于时间分数阶 B-S 方程数值解的研究较少，Lina Song and Weiguo Wang(2013 年)给出了欧式看跌期权结合时间分数阶 B-S 方程的隐式差分算法[5]． 50 针对现有问题，我们利用加权平均的思想，对时间分数阶 B-S 方程构造-差分方法，分析格式解的存在唯一性、稳定性和收敛性；最后，数值试验验证了-差分方法求解时间分数阶 B-S 方程的有效性． 1 时间分数阶 B-S 方程的-差分格式 1.1 时间分数阶 B-S 方程 55 对欧式看涨期权等衍生产品定价时，方程(1)必须结合相应的边界条件进行数值求解，其边界条件为[6]： 1) 2)当，即期权到期时的价格是其损益，其中 K 为执行期权时的价格；时，，即当股票价格充分大时，实施看涨期权是必然的，敲定价格的即期价格为； 60 3) ，即意味着股票价格一旦为 0，一般不会再回到原始状态．对欧式看涨期权定价在区域，求解方程 (2)式是变系数分数阶抛物方程，为了便于构造差分方程格式，作自变量代换 [4] ；；；则(2)式转化为如下抛物方程: 65 求解区域转化为．当具体计算时，可选取充分大的数和充分小的数，求解区域就相应转化为，边界条件 - 2 - 1()22(1)(,)()0(2)2tSSStPStrPrSPSP0t01(1)()(,)tPSt(,)max(,0)PSTSKS()(,)rTtPStSKe()rTtKe(0,)0Pt=00StT，1()22(,)max(,0)(1)(,)()0(2)2tSSSPSTSKtPStrPrSPSP(2)xSetT(,)(,)rPSteVx1()211211(1)()(,)+()()(,)2(2)(1)()(,)=02(,0)max(,0)xxxxTVxrTVxTVxVxeK(3)0{,0}xTMM1{,0}MxMT

中国科技论文在线相应的转化为 1.2 -差分格式构造 http://www.paper.edu.cn 70 以空间步长和时间步长将求解区域划分为网格，网格点为，其中，，，，，，，为正整数．方程(3)在点处的近似值记为．为了构造-差分格式，先给出方程(3)的古典显式格式和古典隐格式：方程(3)的古典显式格式：方程(3)的古典隐格式：其中，，，．最后，取(4)和(5)式的加权平均格式 75 80 时间分数阶导数的离散格式为：忽略误差，可以得到 - 3 - (,),MrVMeK(,)0.VMhk(,)ijxMMhM(1)ixMih1,2,,1iMTkN(1)nnk1,2,,1nNMN(,)inxniV11111111112(,)[()]()()22()()(4)nniniinnniiiVxVVabTnkknkkTnkkhVVVankkTnkkh1111111111111112(,)[()]()()22()()nniniinnniiiVxVVabTnknkTnkhVVVankTnkh(5)2(1)2a(2)rb1,2,,nN1,2,,iM(01)11111111112111111111111(,)(1)[(())()()22()()][(())()()22()()innniinnniiinniinniiiVxVVabTnkknkkTnkkhVVVankkTnkkhVVabTnknkTnkhVVVankTnk112]nh111211(,)[(,)(,)][(1)]()(2)nininjinjjVxkVxVxjjk

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 85 上式可以写成其中，，，， 90 整理得，，，．矩阵形式为：即如下形式： - 4 - 112111111111112111111[(,)(,)][(1)](2)(1)[(())()()22()()][(())()()ninjinjjnniinnniiiniikVxVxjjVVabTnkknkkTnkkhVVVankkTnkkhVVabTnknkTnk11111111222()()](6)nnnniiihVVVankTnkh1212111111111111211111[(,)(,)][(1)()()()()][(1)(2)(2)]nnniiinjinjjjnnnnnniinniinnnnnnniiiniiiVVVxVxlmagbqVVagbqVVmgVVVgVVV11(2)2mkh2221(1)(2)2mkh11(1)jljj1112(1)(1)jdjjj(1,2,)jn11()()ngnkkTnkk111()()ngnkTnk1()nqnkk11()nqnk11121111121111211211212111+112[(()][12][()][(()](1)(12(1))(())(1)(21)[nnnnnnininnninnnnnnininnninnnjijinijmgmagbqVmgVmagbqmgVmgmagbqVmgVmagbqmgVVdVlV21121+111211(()](1)(2(1))(())(1)nnnnnininnnjnnnijinijmgmagbqVmgVmagbqmgVdVlV1121111211111111+,1,2,3,,(,0,,0,)nnnnjjnjnnnnnnnMnMGVGIdVBBdVlVCnNCaVaVcVcV（）

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 95 其中 100 2 时间分数阶 B-S 方程-差分格式的理论分析 2.1 -差分格式解的存在唯一性对于：，且有，所以矩阵是对角占优矩阵，即系数矩阵为非奇异矩阵．对于：，且有，所以是对角占 105 优矩阵．即其差分格式的系数矩阵也为非奇异矩阵，故格式的解是存在唯一的．定理 1 时间分数阶的 Black-Scholes 方程的-差分格式(6)的解是存在唯一的． 2.2 -差分格式的稳定性与收敛性引理 1 引理 2 设为差分格式的近似解，且 110 则对于任意的，当时，都有证明：应用数学归纳法 - 5 - ． 112221111111333111111111nnnjnnnnnnnjnnnnnnjnnnnnnnnMMMnnnnnnMMVVVbcbcabcabcVVVdabcabcVVVababVV1111111211113111111100njnjnjMnnnnnMnnnMnMMVVaVaVVlVcVcVV1122222221122333331111221111211112231njnnnnjnnnnjjnjnnnMMMMMnjnnnMMMnMMVVVVVVVVVVdVVVVddVVVdVVdV,111121121121111[()],[12],[(()]nnnnnnnnnnamagbqmgbmgcmgmagbq12221(1)[()],[2(1)],(1)[()]nnnnnnnnnnamagbqmgbmgcmgmagbq1G1110,0,0nnnacb111||1nnnbac1G1G2G0,0,0nnnacb111||||0nnnbac21+GId21+GId211101,1,1.nnjnjddddll且niV121=,,,nnnnnnniiimVVE，(),11nN1222(1)2nmg1nEE

中国科技论文在线时，时，当当令，则有 115 http://www.paper.edu.cn 假设时，都有，则当时，设，得到因此因此有，即上述结论成立． 120 定理 2 当时，时间分数阶的 Black-Scholes 方程的-差分格式(6)是稳定的．引理 3 设为微分方程在网格点上的精确解，令，，，，其中，则当时有，H 是常数． 125 证明：应用数学归纳法代入差分格式，则有将当当其中时，时， 130 当时，设， - 6 - 1n222112212iiiicba1n1111111111111nnnnnnnnjninininininijinijcbacbadl222maxMlii2222221221222122111lllllllibabaEcc++++ns1nEE1ns211maxsiMsli11111111111111111111111112112(sssssssllllsssssslllssjsssssssijiiiijsssssssssssssssscbacbacbadlcEbEaEdEdEdElEdEdEdElEd++ ++1121)ssddlEE11sEE1222(1)2nmg(,)inVx(,)inx(,)nniinieVxV10e121,,)nnnnmeeee（11maxkniimeen=1,2,,N1222(1)2nmg1121()nnelHh(,)nniiniVVxe1n222212212iiiicebeaeR1n1111111111111nnnnnnnnjnninininininijiijcebeaecebeaedeR112||||(),1,2,,.niRHhHnN是常数，1n211maxMliiee

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 假设时，都有，则当时，设，且有，得到 135 因为，于是，存在常数，使得如果是有限的，则可以得到如下结论：．设是利用-差分格式(6)计算出来的关于的近似解，则存在，满足． 140 定理 3 当时，时间分数阶的 Black-Scholes 方程的-差分格式(6)是收敛的，且收敛阶为时间一阶、空间二阶． 3 数值试验基于 Pentium(R) Dual Core CPU 3.00GHz，在 Matlab7.0 环境下进行数值试验．为了与整 145 数阶 B-S 方程的解对比，我们选取文献[12]中的数值算例，使用本文的-差分格式(当 α=5/7 分别取=0、1/3、1/2、2/3、1，以及当=1/2 时，分别取 α=1、9/10、1/2、1/3)来计算欧式看 - 7 - 1111122111112212121121212()()lllllllleebeaeebeaeReclhcHhHks112()kkelHh1ks211maxsiMsliee11,1,2,jklljk111111111111111111111111121212()sssslslslslsssslslslsssssjsslslsljiljsssssssssssssssecebeaecebeaecebeaedeRcebeaedededeMhdeedede++++121111211221111210111210112()(1)()(1)()()()()sssssjjssjsjsHhdldldlHhldHhldlHhlHh111111limlimlim1(1)1(1)1nnnnlnnnnnn0c122()()(),1,2,,nenchnchnNnTniV(,)inVxcc=T2(,)()2,3,,1,2,,niniVxVhiMnNc，1222(1)2nmg

中国科技论文在线涨期权的价格． http://www.paper.edu.cn 150 155 例 1[12]：考虑一个欧式看涨期权，到期日分别为 3 个月，6 个月，9 个月，12 个月，股票当前价格为 97 美元，敲定价格为 50 美元，风险利率 r 为每年 1%，波动率为每年 20%．解：取，，，，，．由于没有解析解，我们以分数阶 B-S 方程隐式格式的解作为参照，将-差分格式的结果与其对比，计算结果如下所示：时间 T(月) 表 1 α=5/7 时欧式看涨期权的价格 Tab.1 The price of European call option(α=5/7) 3 6 9 12 相对误差计算时间(s) 稳定性 =0 (显式格式) 36.7614 34.9927 450.5379 -216380 =1 (隐式格式) 36.7877 37.0066 37.2358 37.4853 —— 0.1570 0.1560 =1/3 36.7620 36.9844 37.2121 37.4662 0.00051 0.1560 =1/2 (C-N 格式) 36.7685 36.9900 37.2180 37.4716 0.00037 0.1400 =2/3 36.7750 36.9955 37.2239 37.4762 0.00024 0.1410 不稳定稳定稳定稳定稳定 (a) =1 (隐式格式) (b) =1/3 160 (c) =1/2 (C-N 格式) (d) =2/3 图 1 α=5/7 时欧式看涨期权的价格 Fig.1 The price of European call option (α=5/7) 令=1/2，根据参数 α 与 1(α=1 时即为整数阶 B-S 方程)的接近程度取不同的 α 值(分别 165 取 α=1、9/10、1/2、1/3)计算欧式看涨期权的价格，计算结果如下所示： - 8 - 97S， 5010.010.2,KTr，，，ln100M1M20m100n0.0361x0.050002040608010001020304050股票价格S期权价格Vt=3t=6t=1202040608010001020304050股票价格S期权价格Vt=3t=6t=1202040608010001020304050股票价格S期权价格Vt=3t=6t=1202040608010001020304050股票价格S期权价格Vt=3t=6t=12

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