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2008年安徽高考理科数学真题及答案.doc
2008 年安徽高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1 至第 2 页，第Ⅱ卷第 3 至
第 4 页．全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
考生注意事项：
1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘
贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．
2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3． 答第Ⅱ卷时，必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效．
4． 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件 A B， 互斥，那么
球的表面积公式
S
2
4π
R
(
P A B
)
(
)
P A
(
P B
)
其中 R 表示球的半径
如果事件 A B， 相互独立，那么
(
P A B
(
(
P A P B
)
)
)
如果随机变量
( ,
B n p
),
那么
D
np
(1
p
)
球的体积公式
4 π
R
3
其中 R 表示球的半径
V
3
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
第 I 卷（选择题共 60 分）
（1）．复数 3
i
(1
i
)
2
（
）
A．2
B．－2
C．
（2）．集合
A
y R y
|
lg ,
x x
，
1
2i D． 2i
B
2, 1,1,2
则下列结论正确的是（ ）
A．
2, 1
A B
B． (
)
RC A
B
(
,0)
C．
A B
(0,
)
D．
（3）．在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若
(
)
RC A
AB
2, 1
B
AC
(2,4)
，
,则 AB
（
(1,3)
）
A． （－2，－4）
B．（－3，－5） C．（3，5）
D．（2，4）
（4）．已知 ,m n 是两条不同直线， ,
,是三个不同平面，下列命题中正确的是（
）
A．
若
m n
m
‖ ‖ ‖
,
则
n
,
B．
若
则 ‖
,
,
C．
若
m
‖ ‖ ‖
m
则
,
,
D．
若
m
,
n
,
m n
则 ‖
（5）．将函数 sin(2
y
x
的图象按向量平移后所得的图象关于点 (
)
3
12
,0)
中心对称，则向量
的坐标可能为（
12
8
（6）．设
A． (
(1
x
)
）
,0)
B．(
a
0
a x
1
8
a x
8
6
,
,0)
C．(
12
,0)
D．(
,0)
6
a a
则 0, 1
,
a 中奇数的个数为（
,
8
）
A．2
B．3
C．4
D．5
（7）． 0
a 是方程 2
ax
2
x
1 0
至少有一个负数根的（
）
A．必要不充分条件
C．充分必要条件
B．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
（8）．若过点 (4,0)
A
的直线l 与曲线
(
x
2
2)
2
y
1
有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（
）
A．[
3, 3]
B．(
3, 3)
C．
[
3
3
,
3
3
]
D．
(
3
3
,
3
3
)
（9）．在同一平面直角坐标系中，函数
y
( )
g x
的图象与
y
x
e 的图象关于直线 y
x 对称。而函数
y
( )
f x
的图象与
y
( )
g x
的图象关于 y 轴对称，若 (
f m ，则 m 的值是（
1
)
）
A． e
B．
1
e
C． e
D．
1
e
（10）．设两个正态分布
（
）
N
)(
，
1
2
1
(
1
0)
和
N
)(
，
2
2
2
(
2
0)
的密度函数图像如图所示。则有
A． 1
2
2
1
,
B． 1
2
2
1
,
C． 1
2
2
1
,
D． 1
2
2
1
,
（11）．若函数 ( ),
f x g x 分别是 R 上的奇函数、偶函数，且满足 ( )
f x
( )
( )
g x
x
，则有（
e
）
A． (2)
f
f
(3)
g
(0)
B． (0)
g
f
(3)
f
(2)
C． (2)
f
g
(0)
f
(3)
D． (0)
g
f
(2)
f
(3)
（12）12 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若其
他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是(
)
A． 2
2
3C A
8
B． 2
6
6C A
8
2
C． 2
6C A
8
2
D． 2
5C A
8
2008 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数 学（理科）
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
考生注意事项：
请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在答题卡的相应位置．
（13）．函数
( )
f x
x
2 1
1)
x
log (
2
的定义域为
．
（14）在数列{ }na 在中，
na
4
n
，
5
2
a
1
a
2
a
n
2
an
bn
，
n N
*
,其中 ,a b 为常数，则
lim
n
n
n
a
a
n
n
b
b
的值是
（15）若 A 为不等式组
0
x
0
y
y
x
2
表示的平面区域，则当 a 从－2 连续变化到 1 时，动直线 x
y
a
扫过 A 中的那部分区域的面积为
（16）已知 ,
A B C D 在同一个球面上,
,
,
AB
平面
BCD
,
BC CD
,
若
AB
6,
AC
2 13,
AD ,则 ,B C 两点间的球面距离是
8
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）．（本小题满分 12 分）
3
)
4
f x 的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅰ）求函数 ( )
已知函数 ( )
f x
) 2sin(
cos(2
)sin(
4
x
x
x
（Ⅱ）求函数 ( )
f x 在区间[
]
12 2
,
上的值域
（18）．（本小题满分 12 分
如图，在四棱锥 O ABCD
4
的 菱 形 ，
ABC
OA , M 为OA 的中点， N 为 BC 的中点
2
中，底面 ABCD 四边长为 1
, OA
底面
ABCD
,
O
M
A
D
B
N
C
（Ⅰ）证明：直线 MN
平面‖
OCD
；
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；
（Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。
(19)．（本小题满分 12 分）
为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了 n 株沙柳，各
株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为 p，设为成活沙柳的株数，数学期望
E ，标准差
3
为
6
2
。
（Ⅰ）求 n,p 的值并写出的分布列；
（Ⅱ）若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率
（20）．（本小题满分 12 分）
设函数
( )
f x
1
ln
x
x
(
x
0
且
x
1)
（Ⅰ）求函数 ( )
f x 的单调区间；
（Ⅱ）已知
1
x
2
a
x 对任意 (0,1)
x
成立，求实数 a 的取值范围。
（21）．（本小题满分 13 分）
设数列 na 满足
a
0
0,
a
1
n
ca
3
n
1
,
c c N
其中 为实数
c
,
*
（Ⅰ）证明：
[0,1]
对任意
n N 成立的充分必要条件是 [0,1]
c
*
；
na
1
3
1
3
（Ⅱ）设
（Ⅲ）设
0
0
c ，证明：
na
1 (3 )
c
n
1
,
n N
*
;
c ，证明： 2
a
1
a
2
2
a
2
n
1
n
2
1 3
c
,
n N
*
（22）．（本小题满分 13 分）
设椭圆
C
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
过点 ( 2,1)
M
0)
b
，且着焦点为 1(
F
2,0)
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）当过点 (4,1)
AQ PB
AP QB
P
，证明：点Q 总在某定直线上
的动直线 l 与椭圆 C 相交与两不同点 ,A B 时，在线段 AB 上取点 Q ，满足
参考答案
一. 选择题
1A
2D
3B
4D
5C
6A
7B
8C
9B
二. 13: [3,
)
三. 解答题
14:
1
15:
7
4
11D
12C
10A
4
3
16:
17 解：（1） ( )
f x
cos(2
x
3
) 2sin(
x
4
)sin(
x
)
4
1
2
1
2
1
2
cos 2
x
cos 2
x
cos 2
x
3
2
3
2
3
2
sin 2
x
(sin
x
cos )(sin
x
x
cos )
x
sin 2
x
sin
2
x
cos
2
x
sin 2
x
cos 2
x
)
6
x
sin(2
2T
2
k
6
周期
由 2
x
2
(
k Z
),
函数图象的对称轴方程为
k Z
)
x
得
(
k
3
2
(
k Z
3
)
,
x
x
], 2
[
k
5
]
3 6
6
)
在区间[
,
]
6
12 3
f x 去最大值 1
,
12 2
x
sin(2
（2）
x
[
因为 ( )
f x
所以 当
x
时， ( )
3
上单调递增，在区间[
]
3 2
,
上单调递减，
3
2
又
f
(
12
)
3
2
f
(
)
2
1
2
，当
x
时， ( )
f x 取最小值
12
所以 函数 ( )
f x 在区间[
]
12 2
,
上的值域为
[
3
2
,1]
O
M
E
A
Q
B
N
C
D
P
18 方法一（综合法）
（1）取 OB 中点 E，连接 ME，NE
ME
‖AB,AB‖
CD ME CD
，
‖
又
NE OC
‖
,
平面
MNE
‖
平面
OCD
MN
平面‖
OCD
（2） CD ‖AB,
为异面直线 AB 与 MD 所成的角（或其补角）
∴
MDC
于 连接 MP
AP CD P
,
作
∵OA
平面A B C D ，
∴CD
MP
∵
ADP
4
,
∴DP =
2
2
MD
2
MA
2
AD
，
2
∴
cos
MDP
所以 AB 与 MD 所成角的大小为
3
DP
MD
,
1
2
MDC
MDP
3
（3） AB 平面
∵
‖ OCD, 点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等，连接 OP,过点 A 作
∴
AQ OP
于点 Q，
∵
AP CD OA CD CD
,
∴
,
平面
OAP
,
∴
AQ CD
又
∵
AQ OP
,
∴
AQ
平面
OCD
,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离
∵
OP
2
OD DP
2
2
OA
2
AD DP
2
4 1
1
2
3 2
2
，
AP DP
2
2
∴
AQ
OA AP
OP
2
2
2
3 2
2
2
3
方法二(向量法)
，所以点 B 到平面 OCD 的距离为
2
3
作 AP CD
于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 ,
x y z 轴建立坐标系
,
(0,0,0),
A
B
(1,0,0),
P
(0,
2
2
,0),
D
(
2
2
,
2
2
,0),
O
(0,0,2),
M
(0, 0,1),
N
(1
2
4
,
2
4
,0)
,
MN
(1)
(1
OP
, 1),
(0,
2
4
,
2
4
OD
, 2),
(
2
2
2
2
,
2
2
, 2)
设平面 OCD 的法向量为 ( ,
, )
x y z
n
n OP
n OD
0,
0
,则
即
2
2
y
2
z
0
2
2
x
2
2
y
2
z
0
取
z
2
,解得 (0,4, 2)
n
(1
MN n
∵
2
4
,
2
4
, 1) (0,4, 2) 0
MN
平面‖
OCD
z
O
M
A
x
B
N
P
C
D
y
(2)设 AB 与 MD 所成的角为,
∵
AB
(1,0,0),
MD
(
2
2
,
2
2
, 1)
∴
cos
AB MD
AB MD
1
2
,
∴
3
, AB 与 MD 所成角的大小为
3
(3)设点 B 到平面 OCD 的交流为 d ,则 d 为OB
在向量 (0,4, 2)
n
上的投影的绝对值,
OB
由
(1,0, 2)
, 得
d
OB n
n
2
3
.所以点 B 到平面 OCD 的距离为
2
3
19
(1)由
E
np
3,(
)
2
np
(1
p
)
的分布列为
P
0
1
64
1
6
64
(2)记”需要补种沙柳”为事件 A, 则 (
得
,
3
2
2
15
64
)
P A
1
p ,从而
1
2
n
6,
p
1
2
4
15
64
3
20
64
3),
得
P
(
5
6
64
6
1
64
(
)
P A
1 6 15 20
64
21
32
,
或
(
P A
) 1
(
P
3) 1
15 6 1
64
21
32
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