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2008年安徽高考文科数学真题及答案.doc
2008 年安徽高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1 至第 2 页，第Ⅱ
卷第 3 至第 4 页．全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
考生注意事项：
1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题
卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．
2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3． 答第Ⅱ卷时，必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效．
4． 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件 A B， 互斥，那么
球的表面积公式
S
2
4π
R
(
P A B
)
)
(
P A
(
P B
)
其中 R 表示球的半径
如果事件 A B， 相互独立，那么
球的体积公式
V
3
4 π
R
3
(
P A B
)
(
(
P A P B
)
)
其中 R 表示球的半径
第 I 卷（选择题共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
（1）．若 A 为全体实数的集合，
B
2, 1,1,2
则下列结论中正确的是（ ）
A．
2, 1
A B
B． (
)
RC A
B
(
,0)
C．
A B
AB
（2）．若
(2,4)
，
(0,
)
AC
D．
(
)
RC A
2, 1
B
, 则 BC
(1,3)
（
）
A．（1，1）
B．（－1，－1）
C．（3，7）
D．（-3,-7）
（3）．已知 ,m n 是两条不同直线， ,
,是三个不同平面，下列命题中正确的是（
）
A．
若
则 ‖
,
,
B．
若
m
,
n
,
m n
则 ‖
C．
若
m n
m
‖ ‖ ‖
,
则
n
,
D．
若
m
‖ ‖ ‖
m
则
,
,
（4）． 0
a 是方程 ax2+1=0 有一个负数根的（
A．必要不充分条件
C．充分不必要条件
）
B．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
（5）．在三角形 ABC 中，
AB
5,
AC
3,
BC
,则 BAC
7
的大小为（
）
A．
2
3
( )
f x
B．
(
x
1)
2
1(
C．
3
5
6
4
的反函数为
0)
x
D．
3
（6）．函数
A． 1( ) 1
x
f
C． 1( ) 1
x
f
x
1(
x
1)
x
1(
x
2)
B． 1( ) 1
x
f
D． 1( ) 1
x
f
x
1(
x
1)
x
1(
x
2)
（7）．设
(1
8
x
)
a
0
a x
1
a x
8
8
,
a a
则 0, 1
,
a 中奇数的个数为（
,
8
）
A．2
B．3
C．4
D．5
（8）．函数 sin(2
y
x
图像的对称轴方程可能是（
）
)
3
A．
x
（9）．设函数
( )
f x
6
B．
x
12
则 ( )
f x （
2
x
1
x
1(
x
0),
C．
x
6
D．
x
12
）
A．有最大值
B．有最小值
C．是增函数
D．是减函数
（10）若过点 (4,0)
A
的直线 l 与曲线
(
x
2
2)
2
y
1
有公共点，则直线 l 的斜率的取值范
围为（
）
A． (
3, 3)
B．[
3, 3]
C．
(
3
3
,
3
3
)
D．
[
3
3
,
3
3
]
（11） 若 A 为不等式组
0
x
0
y
y
x
2
表示的平面区域，则当 a 从－2 连续变化到 1 时，动直
线 x
扫过 A 中的那部分区域的面积为 (
a
y
A．
3
4
B．1
C．
7
4
)
D．2
（12）12 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前
排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 (
)
6
A． 2
6C A
8
2
B． 2
3C A
8
2
C． 2
6C A
8
2
D． 2
5C A
8
2008 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数 学（文科）数学
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
考生注意事项：
请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在答题卡的相应位置．
（13）．函数
( )
f x
x
2 1
1)
x
log (
2
的定义域为
．
（14）．已知双曲线
2
x
n
2
y
12
n
1
的离心率是 3 。则 n ＝
（15） 在数列{ }na 在中，
na
4
n
，
5
2
常数，
a
1
a
2
a
n
2
an
bn
，
n N
*
,其中 ,a b 为
则 ab
（16）已知点 ,
A B C D 在同一个球面上,
,
,
AB
平面
BCD
,
BC CD
,
若
AB
6,
AC
2 13,
AD ,则 ,B C 两点间的球面距离是
8
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）．（本小题满分 12 分）
已知函数 ( )
f x
cos(2
x
3
) 2sin(
x
4
)sin(
x
)
4
（Ⅰ）求函数 ( )
f x 的最小正周期
（Ⅱ）求函数 ( )
f x 在区间[
]
12 2
,
上的值域
（18）．（本小题满分 12 分）
在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了 10 张卡片，每张卡片印有一个汉
字的拼音，其中恰有 3 张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.
（Ⅰ）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这 10 张卡片总随机抽取 1
张，测试后放回，余下 2 位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽
取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率。
（Ⅱ）若某位被测试者从 10 张卡片中一次随机抽取 3 张，求这三张卡片上，拼音带有
后鼻音“g”的卡片不少于 2 张的概率。
（19）．（本小题满分 12 分
O
M
A
B
D
C
如 图 ， 在 四 棱 锥 O ABCD
中 ， 底 面 ABCD 是 边 长 为 1 的 菱 形 ，
ABC
4
,
OA
底面
ABCD
,
OA , M 为OA 的中点。
2
（Ⅰ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ；
（Ⅱ）求点 B 到平面 OCD 的距离。
（20）．（本小题满分 12 分）
23
x
2
( )
f x
设函数
a
3
3
x
(
a
1)
x
1,
其中 为实数。
a
（Ⅰ）已知函数 ( )
f x 在 1x 处取得极值，求 a 的值；
（Ⅱ）已知不等式 '
( )
f x
2
x
对任意 (0,
a 都成立，求实数 x 的取值范围。
x a
1
)
（21）．（本小题满分 12 分）
设数列 na 满足
a
1
,
a a
n
1
ca
n
1
,
c c N
*
,
其中 a , c为实数，且 0
c
（Ⅰ）求数列 na 的通项公式
（Ⅱ）设
a
1
2
,
c
，
1
2
b
n
n
(1
a
n
),
n N
*
,求数列 nb 的前 n 项和 nS ；
（Ⅲ）若 0
1na
对任意
n N 成立，证明 0
*
1c
（22）．（本小题满分 14 分）
设椭圆
C
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
其相应于焦点 (2,0)
0)
b
F
的准线方程为 4
x .
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）已知过点 1( 2,0)
F
倾斜角为的直线交椭圆C 于 ,A B 两点，求证：
AB
4 2
COS
2
;
2
（Ⅲ）过点 1( 2,0)
F
作两条互相垂直的直线分别交椭圆 C于点 A , B和 D , E ,求
AB DE
的最小值
参考答案
一. 选择题
1D
2B
3B
4B
5A
6C
7A
8D
9A
二. 13: [3,
)
三. 解答题
17 解：
14:
4
15: －1
16:
（1） ( )
f x
cos(2
x
3
) 2sin(
x
4
)sin(
x
)
4
11C
12C
10D
4
3
1
2
1
2
1
2
cos 2
x
cos 2
x
cos 2
x
3
2
3
2
3
2
sin 2
x
(sin
x
cos )(sin
x
x
cos )
x
sin 2
x
sin
2
x
cos
2
x
sin 2
x
cos 2
x
)
6
x
sin(2
2T
2
], 2
[
12 2
sin(2
x
在区间[
,
,
x
5
]
3 6
6
)
]
6
12 3
f x 取得最大值 1
,
3
所以 当
x
时， ( )
周期∴
（2）
x
[
因为 ( )
f x
上单调递增，在区间[
上单调递减，
]
3 2
,
又
f
(
12
)
3
2
f
(
)
2
1
2
，
∴当
x
时， ( )
f x 取得最小值
12
3
2
所以 函数 ( )
f x 在区间[
]
12 2
,
上的值域为
[
3
2
,1]
18 本题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算，运用概率知识分
析问题和解决实际问题的能力，本小题满分 12 分。
解：
（1）每次测试中，被测试者从 10 张卡片中随机抽取 1 张卡片上，拼音带有后鼻音“g”
，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，因
的概率为
3
10
而所求的概率为
3
3
3
10 10 10
27
1000
（2）设 (
iA i
1,2,3)
表示所抽取的三张卡片中，恰有i 张卡片带有后鼻音“g”的事件，
且其相应的概率为 (
),iP A 则
)
1
2
C C
7
3
3
C
10
7
40
,
(
P A
3
)
3
C
3
3
C
10
1
120
(
P A
2
因而所求概率为
(
P A
2
A
3
)
(
P A
2
)
(
P A
3
)
7
1
40 120
11
60
1９ 本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、异面直线所成角即点到平面
的距离等知识，考查空间想象能力和思维能力，用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。
本小题满分 12 分。
O
解：方法一（综合法）
（1） CD ‖AB,
MDC
∴
作 AP⊥CD于点 P ，连接 MP
为异面直线 AB 与 MD 所成的角（或其补角）
∵OA
平面A B C D ，
∴CD
MP
∵
ADP
4
,
∴DP =
2
2
∵
MD
2
MA
∴
cos
MDP
2
AD
DP
MD
1
2
2
，
,
MDC
MDP
所以 AB 与 MD 所成角的大小为
3
B
3
M
A
Q
C
D
P
（２） AB 平面
∵
‖ OCD, 点 B 和点 A 到平面 OCD 的距离相等，
∴
连接 OP,过点 A 作 AQ OP
于点 Q，
∵
AP CD OA CD CD
,
∴
,
平面
OAP
,
∵
AQ
平面
OAP
,
∴
AQ CD
又
∵
AQ OP
,
∴
AQ
平面
OCD
,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离
∵
OP
2
OD DP
2
2
OA
2
AD DP
2
4 1
1
2
3 2
2
，
AP DP
2
2
∴
AQ
OA AP
OP
2
2
2
3 2
2
2
3
，所以点 B 到平面 OCD 的距离为
2
3
方法二（向量法)
作 AP CD
于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 ,
x y z 轴建立坐标系
,
(0,0,0),
A
B
(1,0,0),
P
(0,
2
2
,0),
D
(
2
2
,
2
2
,0),
O
(0,0,2),
M
(1)设 AB 与 MD 所成的角为,
AB
∵
(1,0,0),
MD
(
∴
cos
AB MD
AB MD
1
2
2
2
,
2
2
, 1)
,
∴
3
,
∴ AB 与 MD 所成角的大小为
(2)
∵
OP
(0,
OD
, 2),
(
2
2
3
2
2
∴设平面 OCD 的法向量为 ( ,
, )
x y z
n
,
2
2
, 2)
x
B
n OP
n OD
0,
0
,则
,
(0, 0,1)
z
O
M
A
D
y
P
C
即
2
2
y
2
z
0
2
2
x
2
2
y
2
z
0
取
z
2
,解得 (0,4, 2)
n
设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为OB
在向量 n上的投影的绝对值,
OB
∵
(1,0, 2)
,
∴
d
OB n
n
2
3
.
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