1993年考研数学三真题及答案.doc-资料库

第1页 / 共8页

第2页 / 共8页

第3页 / 共8页

第4页 / 共8页

第5页 / 共8页

第6页 / 共8页

第7页 / 共8页

第8页 / 共8页

1993 年考研数学三真题及答案一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.) (1) lim x  23 x 5 x 5  3  sin 2 x  . (2) 已知 y  f    3 3 x x 2 ,    2  f   x   arctan x 2 , 则 dy dx  0x  . (3) 级数   n  0 n (ln 3) n 2 的和为 . (4) 设 4 阶方阵 A 的秩为 2 ,则其伴随矩阵 *A 的秩为 (5) 设总体 X 的方差为 1,根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本,测得样本均值为 5,则 . X 的数学期望的置信度近似等于 0.95 的置信区间为 . 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设   f x  x sin 1 2 x ,      0, x  0, x  0, 则  f x 在点 0 x  处  (A) 极限不存在 (C) 连续但不可导 (B) 极限存在但不连续 (D) 可导 (2) 设  f x 为连续函数,且  F x   x   ln 1 x f   t dt , 则   F x 等于 (A) (C) 1 x 1 x f  ln x   f  ln x   1 2 x 1 2 x f f    1 x    1 x       (B) 1 x f  ln x      f 1 x    (D) f  ln x      f 1 x    (3) n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角阵相似的 (A) 充分必要条件 (C) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 (4) 假设事件 A 和 B 满足 ( P B A  ,则 ) 1 (A) A 是必然事件 (B) ) 0 ( P B A  . ( ) ( ) ( ) ( )

(C) A B (5) 设随机变量 X 的密度函数为 ( )x ,且 (  意实数 a ,有 (D) A B  ( ) x . x  ) ( )F x 是 X 的分布函数,则对任 (A) F a  ( (C) F a  ( a 0    ) 1 ( ) F a  ) x dx ( ) . (B) F a  ( ) (D) F a  ( ) ( ) x dx ( ) a 1    2 2 ( ) 1 F a   0 三、(本题满分 5 分)   f x, y 设  z 是由方程 z    x y z y x xe    所确定的二元函数,求 dz . 0 四、(本题满分 7 分) 已知 lim x  x x a      x a    a 4 2 x e 2  x dx ,求常数 a 的值. 五、(本题满分 9 分) 设某产品的成本函数为 C aq  2  bq c  需求函数为 , q 为需求量(即产量), p 为单价, , a b c d e 都是正的常数,且 d , , ,  其中 C 为成本, q p ),  d 1 ( e b ,求: (1) 利润最大时的产量及最大利润; (2) 需求对价格的弹性; (3) 需求对价格弹性的绝对值为 1 时的产量. 六、(本题满分 8 分) 假设:(1) 函数 y  ( )(0 f x    满足条件 (0) 0  和 0 x ) f  ( ) f x  e 1x  ; (2) 平行于 y 轴的动直线 MN 与曲线 y  ( ) f x 和 y e 1x  分别相交于点 1P 和 2P ; (3) 曲线 y  ( ) f x ,直线 MN 与 x 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 1 2PP 的长度. 求函数 y  ( ) f x 的表达式. 七、(本题满分 6 分) 假设函数 ( ) f x 在[0,1] 上连续,在 (0,1) 内二阶可导,过点 (0, A f (0)) 与 (1, B f (1)) 的直线与曲线 y  ( ) f x 相交于点 ( , C c f c ,其中 0 ( )) 1c  . 证明:在(0,1) 内至少存在一点,使 ( ) 0  . f 

八、(本题满分 10 分) k 为何值时,线性方程组 x x   2 1   kx x  2 1  x x    2 1 kx  3 x  3 2 x 3 4,  2 k  4   , 有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解. 九、(本题满分 9 分) 设二次型 f  2 x 1  x 2 2  2 x 3  2  x x 1 2  2  x x 2 3  2 x x 1 3 , x x x 1 3 , 2 )T 和 Y  ( 经正交变换 X PY 化成 f  y 2 2  2 32 y ,其中 X  ( 向量, P 是 3 阶正交矩阵.试求常数 ,. 十、(本题满分 8 分) 设随机变量 X 和Y 同分布, X 的概率密度为 ( ) f x     23 x 8 0, , 0   x 2, . 其他 , y y y 1 , 2 )T 3 是三维列 (1) 已知事件 A   X a  和  B   Y (2) 求 1 X 2 的数学期望. 十一、(本题满分 8 分)  独立,且  a P A B    3 . 4 求常数 a. 假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数  N t 服从参数为 t 的泊松分布. (1) 求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布； (2) 求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下,再无故障运行 8 小时的概率Q .

答案一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】 (2)【答案】 (3)【答案】 6 5 3  4 2 2 ln 3 (4)【答案】 0 (5)【答案】 (4.804,5.196) 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(C) (2)【答案】(A) (3)【答案】(B) (4)【答案】(D) (5)【答案】(B) 三、(本题满分 5 分) 方法一：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得整理后得  1   dz dy dx  z y x   xe  dz  z y x   e  1   dx  xe z y x   z y x   xe  e z y x     0 .   dz dy dx    1   dx xe z y x    dy. 由此,得 dz  1  z y x   z y x   e  z y x   xe 1  xe dx dy  . 方法二：应先求出函数对 ,x y 的偏导数,将 z    y x  两边分别对 ,x y 求偏导, 0 z z  x  y 1   1   z y x   e xe xe    z y x   z y z y x     z x  0 1   z y x xe    1   , 0 , 解之得 z   x 1   1 x  yz  . 1 z y x    1 e  z y x   xe 故 dz   z dx x   z dy y  1   1 x  四、(本题满分 7 分) z y x    1 e  z y x   xe , dx dy  .

lim x  2a x a   令  所以而 t ,则当 x   时, 0 t  ,    x a  2 a     lim 1   x   2 a   x a    lim 1 t  0 1 t  t  e ,     x a  2 a         2 ax x a     lim x      2 ax x a      e  2 a  e .  lim 1   x   2 a   x a    a 2     a 4 2 x e 2  x dx x x a   x a      x   lim 1   x   2 a x a       lim 1   x   2 a x a         x a  2 a         2 ax   x a  , 2 x de 2  x  2    2 x e 2    lim 2  b  2  b 2 b e  2 2 a e 2  a  2  x xe dx    a 4  xde 2  x  2 2 a e 2  a     2 xe 2  x  a    2 e 2  x dx  2 2 a e 2  a   lim 2   b  be 2  b   2 2 a e 2  a  2 ae 2  a  e 2  a , 2  a    lim b     e 2  b 2  a  e   a  x a     2  2 ae  a 由 2  e a  2 2 a e  2 a  2 ae  2 a  e  2 a , 得 2 a 五、(本题满分 9 分) (1) 利润函数为 a  ,所以 0 a  或 1a . 0 L  pq C   ( ) d eq q   ( aq 2  bq c  )  ( ) d b q   ( ) e a q  2  , c 对 q 求导,并令 dL dq  ,得 0 dL dq  ( d b  ) 2(  ) e a q   ,得 0 q  d b  2( e a  ) . 因为 2 d L 2 dq   2( e a  ) 0,  所以,当 q  d b  2( e a  ) 润的最大值点,所以 L max  ( ) d b  4( e a  2 )  c . 时为利润函数的极大值点,根据题意也是利   ,故需求对价格的弹性为   1 e p q  q  eq d  eq . (2) 因为 ( q p )  1 e ( d  p ) ,所以  ( q p ) (3) 由 1,  得 q  d 2 e . 六、(本题满分 8 分)

由题设可得示意图如右.设 1 P x f x P x e  ,则 ( )), ( , ( , 1) x 2 S PP 1 2 , 即 x  0 f ( ) t dt  x e 1   ( ) f x . 两端求导,得 ( ) f x  x e  f x ( ) ,即 ( ) f x  ( ) f x  x e . 由一阶线性非齐次微分方程求解公式,得 ( ) f x  e  ( ) p x dx ( ) q x e ( ) p x dx  dx C  ) (  x e e ( 1 2  dx  e (  dx  dx C  )  x x ) e e dx C e   x  Ce  x   由初始条件 (0) 0  ,得 f C   .因此,所求函数为 ( ) f x  ( x e  x e  ) . x . 1 e 2 1 2 七、(本题满分 6 分) 因为 ( ) f x 分别在 [0, ]c 和 [ ,1]c 上满足拉格朗日中值定理的条件 , 故存在  1  (0, ), c  2  ( ,1) c ,使得 ( ) f c  c  (0) f 0  (0) f f   ( )  1 ( ) f c c  ( f  2 f  0  )  f (1)  f   ( )  2 ( ) f c c , f (1)  1  (0). 由于点C 在弦 AB 上,故有从而 f  (  1 ) f  (1) ( ) f c  1 c  (1) f  1 0  f , (0)  f (1)  f (0), 这表明 ( ) f x 在区间 1 [ ]  上满足罗尔定理的条件,于是存在 , 2    2 ( , 1 )  (0,1) ,使得 f  ( ) 0  . 八、(本题满分 10 分) 对方程组的增广矩阵作初等行变换, 第一行和第三行互换,再第一行分别乘以 1 、 1 加到第二行和第三行上,再第二行和第三行互换,再第二行乘以 1 k  2     加到第三行上,有 A 1   1     1  1 k 1 k 1 2     4 2 k 4       1   1     1  1 2  1 k 1 k    4  2 k 4     

  1 0 0             1 0 0 1  1 k  2 2 3  2 k    k 4  2   8      4 1 0 0      1  2  1 k k 2  3 2    4  8 2       4 k 1  2 0 k k 2 2  )(4  2 k )    (1  4  8 ( k k  4)        . (1)当 k   且 4 k  时, ( ) r A 1 r A ( ) 3  ,方程组有唯一解,即 x 1  2 k k   2 k 1 , x 2  2 k 4  k 2 k  1  , x 3   k 2 k 1  . (2)当 k   时, 1 ( r A ) 3, (  ) r A  方程组无解. 2 (3)当 4 k  时,有 A  1 0 0      1 2  2 2 0 0    4  8 0       1 0 3 0 1 1 0 0 0         0 4 0      . 因为 ( ) r A ) r A (   ,方程组有无穷多解. 2 3 取 3x 为自由变量,得方程组的特解为  (0,4,0)T . 又导出组的基础解系为 ( 3, 1,1)T    ,所以方程组的通解为 k  ,其中 k 为任意常数. 九、(本题满分 9 分) 经正交变换二次型 f 的矩阵分别为 A  1      1   1  1      1  , B  0      1      2 . 由于 P 是正交矩阵,有 1P AP B  ,即知矩阵 A 的特征值是 0,1,2.那么有  2 2 2 A       2 0. E A           0,      0. 十、(本题满分 8 分) (1)依题意,因为随机变量 X 和Y 同分布,则   P X a  P A      P Y  a    P B  , 又事件 A   X a   B 和   Y  a  独立,故  P AB     P A P B   .

估计广义加法公式：  P A B     P A    P B   解以 ( )P A 为未知量的方程  P A  2      意). 再依题设条件可知    P A P B 3 4  P A  2   0 . 得 ( P A  ,(因 ) ( P A  不合题    2 P A    2     P A   1 2 3 . 4 ) 3 2 1 2  ( ) P A  { } P X a     a ( ) f x dx  再解以 a 为未知量的方程: 8 a 3  ,得 4 a  3 4 . (2) 直接根据公式可求得随机变量函数的数学期望: 2  a 3 8 2 x dx  1 8 (8  a 3 ) . E    1 X 2        1 2 x  f x dx   2 0  1 3  2 8 x 2 x dx  2 0  3 dx 8  3 8 x 2 0  3 4 . 十一、(本题满分 8 分) 本题的关键在于理解随机变量  N t 的意义,事件   N t { k 表示设备在任何长为 t 的时间 } 内发生 k 次故障,其概率为   { P N t  k }  k ) ( t   t ! k e ( k  0,1,2 )  . 由于T 表示相继两次故障之间时间间隔,故当 0 t  时,   F t   P T t   0;  当 0 t  时, 事件 T t 与  T t 是互逆事件,并且   T t 表示在长为t 的时间内没有发生故障,它等 0 N t  . 价于事件   (1)易见T 是只取非负值的连续型随机变量. 当 0 t  时,   F t   P T t   0;   当 0 t  时,事件 T t 与   N t  等价.于是有  0   F t   P T t   1    P T t   1      P N t   0 1   e t . 因此   F t   1   0,  te , 0  t   t    . 计算得知T 服从参数为的指数分布. (2)由于指数分布具有“无记忆性”,因此  Q P T   16 | T   8   P T   8 1    P T  8  1   F (8) 1 (1    e  8 ) e   8  .

资料库

1993年考研数学三真题及答案.doc

相关推荐

考研

热门标签

最新资料