DO I :10.13800/j .cnki .xakjdxxb.2010.04.002 第 30卷　第 4期 西 安 科 技 大 学 学 报 2010年 7月 JOURNALOFXI′ANUNIVERSITYOFSCIENCEANDTECHNOLOGY Vol.30　No.4 Jul.2010 　　文章编号:1672 -9315(2010)04 -0447-04 短时傅立叶变换与 Wigner-Ville分布 　联合确定地震信号瞬时频率 ＊ 赵淑红 (长安大学 地质工程与测绘工程学院, 陕西 西安 710054) 摘　要:地震信号属于非平稳信号, 利用短时傅立叶变换对地震信号进行时频分 析时会受 窗口大小的 影响, 利用 Wigner-Ville分布 的方法时会 产生交叉 项。 基于这些 原因, 提出了把二 者结合起 来的方法计 算时频分 布, 并 且利 用时频 剖面得到 信号的瞬时 频率。 从理论 数据出发, 分别 计算利用短 时傅立叶 变换、Wigner-Ville及二者结 合得 到的时频剖面。 通过比较得出:2类方法联合后获取的瞬时频率与原始 的瞬时频 率最接近, 说明二 者结合的 方法 对获取瞬时频率 更有效。 关键词:时频分析;短时 傅立叶变换;Wigner-Ville分布;瞬时 频率 中图分类号:P631.43　　　文献标志码:A 信号处理的最终目的是把信号的重要特征表现得更加清晰 。时频分析方法可以细致地刻画地震信 号的时频结构和特征 , 能较好地描述信号的频率随时间的变化规律。 时频分析方法主要包含短时傅立叶 变换、小波变换、S变换 、Wigner-Ville分布等, 根据理论公式可以看出, 每种方法各具特色, 但也存在一定 的局限性 [ 1, 2] 。 本文中提出利用短时傅立叶变换 、Wigner-Ville及二者结合的方法获取瞬时频率 , 可取得很好的效果。 1　原 　理 时频分析方法包含线性时频分析方法和非线性时频分析方法两大类。 对信号 s(t)来说 , 如果 s(t)的 时频表示 Ts(t, f)是每个信号分量的时频表示的线性组合 , 则 Ts(t, f)称为线性时频表示 ;否则 , 称为非线 [ 3, 4] 。用短时傅立叶变换、小波变换、高斯变换等方法进行的时频表示方法都是线性时频表示 性时频表示 方法。 Wigner-Ville分布属于非线性时频分析方法 。小波变换的结果是时间 -尺度的函数, 而尺度和频率 有关系 1.1　短时傅立叶变换及其特点 , 但不直观。 本文中没有涉及用小波变换方法计算时频分布。 [ 5] 傅立叶变换可以分别从信号的时域和频域观察信号, 但却不能把二者联合起来描述信号。 因为信号 的时域中不包含任何频域信息 ;而频域中不包含时域信息 [ 6] 。 短时傅立叶变换 (窗口傅立叶变换)是利用 “局部频谱 ”的思想 :用一个很窄的窗函数取出信号, 假定 信号在这个时窗内是平稳的, 对其求傅立叶变换 , 得到该时窗内的频率 , 并剔出了窗函数以外的信号频 谱 。接下来分析其他时窗内的频率分布 , 最终得到信号的频率随时间的变化关系 , 即短时傅立叶变换时 (s(τ)w(t-τ)exp(-2πjfτ)dτ. (1) 频分布 [ 7] 　　　　　　 STFT(t, f)= ∫∞ -∞ 式中　s表示信号 ;t和 f分别表示时间和频率;w(t)为窗口函数;STFT(t, f)表示信号 s(t)在 t时刻、频率 为 f的能量分布 。 信号展开后的状态表示成在 [ t-δ, t+δ] , [ f-ε, f+ε]区域内的大小, 时窗为 [ t-δ, t+δ] , 时宽为 2δ, ＊ 收稿日期 :2009-12 -04 基金项目 :国家高技术研究发展计划 (863计划 )(2006AA09A202 -01-04) 通讯作者 :赵淑红(1973 -), 女 , 陕西大荔人 , 副教授 , 工学博士 , 主要从事地球物理的教学与研究工作 . 中国煤炭期刊网 www.chinacaj.net

448 　　　　　西 安 科 技 大 学 学 报　　　　　　　　　　　　　　 2010年　　 频窗为 [ f-ε, f+ε] , 频宽为 2ε, 宽度越小分辨率就会越高 。 如果 δ和 ε都非常小 , 就会有很好的时频分 析效果 , 但根据海森堡 (Heisenberg)测不准原理 (UncertaintyPrinciple), 认为 δ和 ε是相互影响制约的 , 二 者不可能都很小 (事实上, δε≥ 1 2 2δ2为高斯函数时, 等号成立 )。 , 且仅当 g(t)= 1 δπ1 /4 et2 短时傅立叶变换与标准傅立叶变换相比, 它的优势在于 :克服了傅立叶变换不具有局部分析信号的 不足。 它的缺点在于 :当窗函数 w(t)确定后 , 窗口的大小就完全不变了, t, f只能移动窗口在平面上的位 [ 8, 9] , 如果想改变分辨率, 那么窗函数 w 置 , 很难改变窗口的大小及形状 。短时傅立叶变换的分辨率不变 (t)就要重新选取 。在分析诸如地震信号这类非平稳信号时, 如果信号高频丰富 , 希望有很高的时间分辨 率 (即 δ要小), 如果信号的波形变化比较平缓 , 主要低频丰富, 那么希望有较高的频率分辨率 (即 ε要 小 )。在这种情况下, 短时傅立叶变换就有点无能为力。 1.2　Wigner-Ville分布及其特点 Wigner-Ville分布是一种非线性时频分析方法 。 [ 10] 信号 s(t)的 Wigner-Ville分布用公式表示为 -∞ z(t+τ )· z＊ (t-τ Wz(t, f)=∫∞ z(t)=s(t)+js(t) h(t)=s(t)+j∫∞ -∞ 2 2 式中 z(t)是 s(t)的解析信号, 即 )· exp(-jπτf)dτ. s(u) t-udu=s(t)+jH[ s(t)] . (2) (3) (4) H[ s(t)] 表示实信号 s(t)的 Hilbert变换。 Wigner-Ville分布也可以用解析信号的频谱表示为 Wz(t, f)=∫∞ -∞ Z＊ (f+ v 2 )· Z(f-v 2 )· exp(-j2πτf)dτ. 式中 　Z(f)表示 z(t)的频谱 ;Z＊ (f)为 Z(f)的共轭。 利用 Wigner-Ville分布对信号进行时频分析时, z(t)出现 2次, 因此称其为双线性变换。式中不包含 任何的窗函数, 因此避免了线性时频表示中, 时间分辨率 、频率分辨率相互牵制的矛盾。它的时宽 -带宽 积达到了 Heisenberg测不准原理给出的下界。 s(t)=s1 (t)+s2 (t), 如果 WVDs(t, f)=WVDs1(t, f)+WVDs2 (t, f)+2Re{WVDs1s2 (t, f)}. WVDs1s2(t, f)= ∫s1 (t+τ 2 (t-τ s＊ )exp(-j2πfτ)dτ. (5) (6) (7) 则有 其中 2 2 公式(6)中的第 3项称为交叉项。 Wigner-Ville分布的缺点是:交叉项常常导致时频平面上出现伪影现象。 2　线性时频方法与非线性时频方法结合提取瞬时频率 线性时频分析方法受窗口大小的影响 , 而 Wigner-Ville分析方法尽管不受窗口大小的影响 , 但存在严 重的交叉项 。因此, 结合这 2类方法的优点来提取瞬时频率。 图 1(a)为输入理论信号, 它的瞬时频率为 图 1(b)。从瞬时频率图上可以看出 , 输入理论信号主要由频率随时间增加的正弦信号和频率随时间减小 的正弦信号组成 , 并在 100 ～ 150 ms处有 2段频率随时间不变的正弦信号 。图 2(a)(b)分别是用短时傅 立叶变换和 Wigner-Ville分布确定的瞬时频率。 从图 2(a)可以看出, 对任意时刻 (除过 100 ～ 150 ms之 外 ), 瞬时频率的分布具有一定宽度, 是在一定范围内出现的 , 而理论信号的频率分布是在 2个频率点上 , 这说明其频率分辨率变差 。从图 2(b)可以看出 , 信号的频率范围明显变窄, 接近于理论频率, 但是, 出现 了伪影现象 (能量较弱的菱形区域), 这是由 Wigner-Ville分析的交叉项产生的 。这对确定瞬时频率的分 布起到了一定的负面效果。 本文中把短时傅立叶变换与 Wigner-Ville分析获取的时频数据进行对应点相 乘运算 , 得到一个新的时频分布剖面 (图 2(c))。由 (图 2(c))可以看出, 2种时频分析方法结合以后 , 既 中国煤炭期刊网 www.chinacaj.net

　　　　　　 第 4期 赵 淑红:短时傅立叶变换与 Wigner-Ville分布联合确定地震信号 瞬时频率 449 克服了短时傅立叶变换时频分辨率不变缺陷, 又消除了 Wigner-Ville分析方法在时频平面上的伪影现象 , 时频分析平面结果与信号的理论频率基本保持一致。 但还有一些缺憾 , 如 100 ～ 150 ms处的频率随时间 不变的部分显示得不清楚 。 3　结 　论 1)短时傅立叶变换方法受窗口大小的影响, 时窗太大会导致时间分辨率降低, 时窗太小, 频率分辨率 降低, 窗口大小的选取要结合资料情况及处理的目的和要求 ; 2)Wigner-Ville分析的公式中不包含任何的窗函数, 可以避免线性时频表示中时间分辨率 、频率分辨 率相互牵制的现象出现, 但存在严重的交叉项 。交叉项的严重程度肯定与资料本身所包含的频率成分有 关 , 对于实际资料来说 , 由于其频率成分非常丰富, 分辨识别交叉项的工作更加复杂; 3)本文中提出用线性时频分析方法与非线性时频分析方法相结合提取瞬时频率。 由理论数据计算 结果可以看出 , 线性时频分析与非线性时频分析方法结合后计算的时频分布图与信号本身的时频分布形 态非常接近 。这说明二者结合的思路对于获取理论资料的瞬时频率非常有效。 参考文献　　References [ 1] 　石　颖, 刘　洪.地震信 号的复地震道分析及应用[ J] .地球物理学进展.2008, 23(5):1 538 -1 543. SHIYing, LIUHong.Complexseismictraceanalysisofseismicsignalanditsapplication[ J] .ProgressinGeophysics, 2008, 23(5):1 538 -1 543. [ 2] 　TanerM T, KoehlerF, SheriffRE.Complexseismictraceanalysis[ J] .Geophysics, 1979, 44(6):1 041 -1 063. [ 3] 　张贤达, 保　铮.非平稳 信号分析与处理[ M] .北京:国防工业 出版社, 1998. ZHANGXian-da, BAOZheng.Nonstationarysignalanalysisandprocessing[ M] .Beijing:, NationalDefencePress, 1998. [ 4] 张贤达.现代信号处理[ M] .北京:清华大学出版社, 2002. ZHANGXian-da.Modernsignalprocessing[ M] .Beijing:TsinghuaUniversityPress, 2002. [ 5] 　高静怀, 吴　茜, 陈文超 , 等.小波 变换域地震资料瞬时频率分析方法[ J] .石油物探, 2007, 46(6):534 -540. GAOJing-huai, WUQian, CHENWen-chao, etal.Instantaneousfrequencyanalysisofseismicdatainwavelettransformdo- main[ J] .GeophysicalProspectingforPetroleum, 2007, 46(6):534 -540. [ 6] 　赵淑红, 朱光明.用小波 变换谱均衡法提高地震资料的分辨率[ J] .西安科技大学学报, 2007, 27(2):255 -259. 中国煤炭期刊网 www.chinacaj.net

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