2013年广东省梅州市中考数学试题及答案.doc-资料库

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2013 年广东省梅州市中考数学试题及答案一、选择题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的． 1．四个数－1，0， 1 2 A．－1 B．0 【答案】D．， 2 中为无理数的是 C． 1 2 D． 2 2．从上面看如左图所示的几何体，得到的图形是【答案】B． A． B． C． D． 3．数据 2，4，3，4，5，3，4 的众数是 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B． 2 0 x       2 0 x  的解集是 B． 2 x   C． 2x  4．不等式组 A． 2x  【答案】A． D． 2    2x 5．一个多边形的内角和小于它的外角和，则这个多边形的边数是 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A．二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分． 6．－3 的相反数是【答案】3．． 42  7．若【答案】48°．  ，则  的余角的度数是．

8．分解因式： 2 2m m = ．【答案】 ( m m  ． 2) 9．化简： 23a b ab 【答案】3a ．  ． 10．“节约光荣，浪费可耻”，据统计我国每年浪费粮食约 8000000 吨，这个数据用科学记数法可表示为吨．【答案】 8 10 ． 6 11．如图，在△ABC中，AB=2，AC= 2 ，以点 A为圆心，1 为半径的圆与边 BC相切于点 D，则∠BAC的度数是．【答案】105°． 12．分式方程 2 x 1 x  【答案】1．  1 的解是 x= ． 13．如图，已知△ABC是腰长为 1 的等腰直角三角形，以 Rt△ABC的斜边 AC为直角边，画第二个等腰 Rt△ACD，再以 Rt△ACD的斜边 AD为直角边，画第三个等腰 Rt△ADE，…，依此类推，则第 2013 个等腰直角三角形的斜边长是．

【答案】 2013 2 ．三、解答下列各题：本大题共 10 小题，共 81 分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 14．本题满分 7 分．计算： 2013 0   8   1    1 2      | 3 2 | 2cos 45   ．解：原式=1 2 2 2 3 2     2  ． 2 15．本题满分 7 分．解方程组 5 x 2 y       1 x y  ．【解】 5 2 x    x y   1 y   ① ② ，①+②，得3 6x  ，即 2x  ，将 2x  代入②，得 1y  ．所以原方程组的解为 x    y 2 1 ． 16．本题满分 7 分．如图，在平面直角坐标系中，A（－2，2），B（－3，－2）（1）若点 C与点 A关于原点 O对称，则点 C的坐标为（2）将点 A向右平移 5 个单位得到点 D，则点 D的坐标为（3）由点 A，B，C，D组成的四边形 ABCD内．（不包括边界；；．．．．．）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率．【解】（1）∵点 C与点 A关于原点 O对称，且 A（－2，2），∴点 C的坐标为（2，－2）．

（2）∵将点 A向右平移 5 个单位得到点 D，∴点 D的坐标为（3，2）．（3）四边形 ABCD内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点有 15 个，如图其中横、纵坐标之和恰好为零的有 3 个，所以所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率是 3  ． 15 1 5 17．本题满分 7 分 18．“安全教育，警钟长鸣”，为此，某校随机抽取了九年级（1）班的学生对安全知识的了解情况进行了一次调查统计，图①和图②是通过数据收集后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：（1）九年级（1）班共有（2）在扇形统计图中，对安全知识的了解情况为“较差”部分所对应的圆心角的度数是（3）若全校有 1500 名学生，估计对安全知识的了解情况为“较差”、“一般”的学生共有名学生；；名．【解】（1）九年级（1）班中“很好”所占的比例为 30%，“很好”的人数为 18，所以九年级（1）班共有 18÷30%=60（人）．（2）九年级（1）中“较好”的人数为 30，所以“较好”所占的比例为 30÷60=50%，所以 “较差”的所占比例为 1-30%-15%-50%=5%．所以对安全知识的了解情况为“较差”部分所对应的圆心角的度数是 360°×5%=18（人）．（3）全校有 1500 名学生，估计对安全知识的了解情况为“较差”、“一般”的学生共有（5%+15%） ×1500=300（人）． 18．本题满分 8 分．

已知，一次函数 y x  的图象与反比例函数 1 y  （1）求 a的值及反比例函数的表达式； k x ( k  的图象都经过点 A（a，2）． 0) （2）判断点 B（ 2 2 ， 2 2 ）是否在该反比例函数的图象上，请说明理由．【解】（1）∵一次函数 y=x+1 的图象经过点 A（a，2），∴2=a+1，解得 a=1．又反比例函数 y  k x ( k 达式为 y 0)  的图象经过点 A（a，2），∴ 2 ． x 2 k ，∴k=2． ∴a的值为 1，反比例函数的表 1 （2）∵ 22  2 2  2 ，∴点 B（ 2 2 ， 2 2 ）是在该反比例函数的图象上． 19．本题满分 8 分．如图，在矩形 ABCD中，AB=2DA，以点 A为圆心，AB为半径的圆弧交 DC于点 E，交 AD 的延长线于点 F，设 DA=2．（1）求线段 EC的长；（2）求图中阴影部分的面积．【解】（1）∵在矩形 ABCD中，AB=2DA，∴AE=2AD，且∠ADE=90°.又 DA=2，∴AE=AB=4，∴ DE= 2 AE  AD 2  16  2 32 ，∴EC=DC-DE= 324  . （2） S 阴影  S 扇形 AEF  S  = ADE 2 4 60    360     2 2 3 1 2  8 3   2 3 . 20．本题满分 8 分．为建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植 A，B两种树木，需要购买这两种树苗 1000 棵．A，B两种树苗的相关信息如下表：项目单价（元/棵）成活率植树费（元/棵）品种 A B 20 30 90% 95% 5 5 设购买 A种树苗 x棵，绿化村道的总费用为 y元．解答下列问题：（1）写出 y（元）与 x（棵）之间的函数关系式；

（2）若这批树苗种植后成活了 925 棵，则绿化村道的总费用需要多少元？（3）若绿化村道的总费用不超过 31000 元，则最多可购买 B种树苗多少棵？【解】解：（1）设购买 A种树苗 x棵，则购买 B种树苗（1000－x）棵，绿化村道的总费用为 y=(20+5)x+(30+5)（1000－x）=25x+35000－35x=35000－5x．（2）90%x+95%（1000－x）=925．解得 x=500（棵），则购买 B种树苗 500 棵． (20+5) × 500×90%+(30+5) ×500×95%=27875（元）．（3）(20+5)x+(30+5)（1000－x）≥31000，解得 x≤400．则 1000－x≥1000－400=600．所以最多可购买 B种树苗 600 棵． 21．本题满分 8 分．（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形）如图，在四边形 ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线 EF交于点 D，交 AB于点 E，且 CF=AE．（1）求证：四边形 BECF是菱形；（2）若四边形 BECF为正方形，求∠A的度数．【解】（1）∵BC的垂直平分线 EF交于点 D，∴BF=FC，BE=EC.又∵∠ACB=90°，∴EF//AC. ∴ BE：AB=DB：BC，∵D 为 BC 中点，∴DB：BC=1：2，∴BE：AB=1：2，∴E 为 AB 中点，即 BE=AE， ∵CF=AE，∴CF=BE，∴CF=FB=BE=CE，∴四边形 BECF 是菱形．（2）如图，∵四边形 BECF为正方形，∴∠BEC=90°.又 AE=CE，∴∠A=45°. 22．本题满分 10 分．（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形）如图，已知抛物线 y 22 x  与 x 轴交于 A，B两点（点 A在点 B的左侧），与 y轴交于点 2 C．

（1）写出以 A，B，C为顶点的三角形面积；（2）过点 E（0，6）且与 x轴平行的直线 1l 与抛物线相交于 M、N两点（点 M在点 N的左侧），以 MN为一边，抛物线上的任一点 P为另一顶点作平行四边形，当平行四边形的面积为 8 时，求出点 P的坐标；（3）过点 D（m，0）（其中 m>1）且与 x轴垂直的直线 2l 上有一点 Q（点 Q在第一象限．．．．），使得以 Q，D，B为顶点的三角形和以 B，C，O为顶点的三角形相似，求线段 QD的长（用含 m 的代数式表示）．【解】（1）∵抛物线 y 22 x  与 x 轴交于 A，B两点（点 A在点 B的左侧），与 y轴交于 2 点 C． ∴ 22 x   ， C(0 ， -2) ∴ 2 0 x   . ∴ A（ -1 ， 0 ）， B（ 1 ， 0 ） . ∴ AB=2. ∴ 1 S ABC 1 2 2 2     . 2 （2）∵过点 E（0，6）且与 x轴平行的直线 1l 与抛物线相交于 M、N两点，∴ 22 x   ， 2 6 解得 x   ，∴MN=4.又平行四边形的面积为 8 时，∴点 P到 MN的距离为 2，即 P点的纵坐 2 标为 4，∴ 22 x   ，解得 2 4 x   ，∴点 P的坐标为（ 3 ，4）或（ 3 ，4）. 3 （3）设 Q（m，b），则可分两种情况： ①当 OB OC BD DQ  时， 1 1m   2 b ，解得 2 m b  （ 2 1m  ）. ②当 OB OC DQ BD  时， 2 1 b m   1 ，解得 b m 1 2  （ 1 2 1m  ）.

23．本题满分 11 分．（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出．．．．．．．．．．．．．．．），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和 ED重合），在 BC边上有一动点 P．（1）当点 P运动到∠CFB的角平分线上时，连接 AP，求线段 AP的长；（2）当点 P在运动的过程中出现 PA=FC时，求∠PAB的度数．探究二：如图④，将△DEF的顶点 D放在△ABC的 BC边上的中点处，并以点 D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于 M、N两点，连接 MN，在旋转△ DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在．求出它的最小值；若不存在，请说明理由．【解】（1）过点 A作 AG⊥BC，垂足为 G.当点 P运动到∠CFB的角平分线上时，∠PFC=∠ BFP=30°，∴PC= 1 2 ABC=45 ° ， ∴ AG=BG= PF.又∵∠CBF=30°，∴BP=PF.∵BC=3，∴BP=2.在 Rt△BAC中，∵∠ 1 2 BC= 3 2 . ∴ GP= 1 2 . ∴ 在 Rt △ AGP 中， AP= 2 AG GP 2  9 4  1 4  10 2 .

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