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2016天津高考理科数学真题及答案.doc
一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 学科.网
（15）（本小题满分13分）
2016 天津高考理科数学真题及答案
数 学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1
至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，
考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
注意事项：
第Ⅰ卷
1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其他答案标号。
2. 本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
参考公式：
•如果事件 A ， B 互斥，那么
(
)
P A
(
P B
)
.
(
P A B
)
•如果事件 A ， B 相互独立，那么
(
(
P A P B
)
)
.
(
P AB
)
.•圆锥的体积公式
V
Sh
.
•圆柱的体积公式V Sh
其中 S 表示圆柱的底面面积，
h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高.
1
3
其中 S 表示圆锥的底面面积，
一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 学科.网
（1）已知集合
4,3,2,1A
，
B
yy
3
x
,2
Ax
，则
BA
（A） 1
（C） 3,1
（2）设变量 x ， y 满足约束条件
（B） 4
（D） 4,1
y
2
≥
,0
x
3
y
6
≥
,0
则目标函
x
2
y
9
≤
.0
数
x
2
3
z
2
x
5
y
的最小值为
（A） 4
（D）17
（B） 6
（C）10
≥
（3）在 ABC
中，若
AB
13
，
3BC ，
C
120
，
则
AC
（A）1
（C）3
（B） 2
（D） 4
（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S
的值为
（A） 2 （B） 4
（C） 6
（D）8
（5）设 na 是首项为正数的等比数列，学科&网公比为 q ，则
“ 0＜q ”是“对任意的正整数 n ，
a
1
a
0
＜n
2
2
n
”的
（A）充要条件
（B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
（6）已知双曲线
2
x
4
2
2
y
b
1
）＞（ 0b
，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐
（第 4 题图）
近线相交于 A ， B ，C ， D 四点，学科&网四边形 ABCD 的面积为 b2 ，则双曲线的方程为
（A）
2
x
4
2
2
1
（B）
3
y
4
是边长为1的等边三角形，点 D ， E 分别是边 AB ， BC 的中点，连接 DE
4
y
3
2
y
12
y
4
2
x
4
2
x
4
2
x
4
（C）
（D）
1
1
1
2
2
（7）已知 ABC
并延长到点 F ，使得
5 （B）
8
（A）
DE 2
1
8
EF
，则
AF 的值为
BC
（8）已知函数
)(
xf
2
x
log
4(
a
)3
x
,3
xa
(
x
,1)1
a
x
0
≥
x
恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是
（C）
1
4
0
＜
（D）
11
8
（ 0＞a ，学.科网且 1a ）在 R 上单调递减，且关于 x 的
方程
)(
xf
（A）
（C）
2
2,0(
]
3
1[
2,
3
3
]
{
3
4
}
（B）
2[
3
（D）
3,
]
4
1[
3
2,
3
)
{
3
4
}
绝密★启用前
2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2. 本卷共 12 小题, 共 110 分.
二．填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分.
（9）已知 a ， b R，i 是虚数单位，若
1)(i1(
)i
b
a
，则
a
b
的值为_____________.
（10）
(
x 的展开式中 7x 的系数为_____________.（用数字作答）
2
8
)1
x
（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱
锥的三视图如图所示（单位： m ），学科.网则该四棱锥的体积
俯视图（第 11 题图）
正视图
侧视图
为_____________
3m .
（12）如图，AB 是圆的直径，弦CD 与 AB 相交于点 E ，
BE
，则线段 CE 的长
AE
BD
ED
，
2
2
为_____________.
（13）已知 )(xf 是定义在 R 上的偶函数，且在区间
( 上单调递增.若实数 a 满足
)0,
f
2(
1
a ＞
)
f
(
)2
，
则 a 的取值范围是_____________.
（14）设抛物线
x
y
,
2 2
pt
2
pt
（t 为参数， 0＞p ）的焦
（第 14 题图）
点 F ，准线为l .过抛物线上一点 A 作l 的垂线，垂足为
B .设
C
且 ACE
)0,
， AF 与 BC 相交于点 E .若
7( p
2
的面积为 23 ，则 p 的值为_____________.
2
CF
AF
，
三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分 13 分）
已知函数
)(
xf
tan4
x
sin(
2
x
)
cos(
x
)
3
3
.
（Ⅰ）求 )(xf 的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）讨论 )(xf 在区间
[
]
4
4
,
上的单调性.
（16）（本小题满分 13 分）
某小组共10 人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1， 2 ，3 的人数分
别为3 ，3 ， 4 .现从这10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会.
（Ⅰ）设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4 ”，求事件 A 发生的概率；
（Ⅱ）设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列
和数学期望.
（17）（本小题满分 13 分）
如图，正方形 ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面
OBEF 平面 ABCD ，点G 为 AB 的
中点，
AB
BE
2
.
（Ⅰ）求证： EG ∥平面 ADF ；
（Ⅱ）求二面角
O
EF
C
的正弦值；
（Ⅲ）设 H 为线段 AF 上的点，且
2
3
求直线 BH 和平面CEF 所成角的正弦值.
AH
HF
，
（18）（本小题满分 13 分）
已知 na 是各项均为正数的等差数列，学.科.网公差为 d .对任意的
Nn
， nb 是 na 和 1na 的等比中
项.
（Ⅰ）设
c
n
2
b
1
n
2
b
n
，
Nn
，求证：数列 nc 是等差数列；
（Ⅱ）设
a 1
d
2
n
，
T
n
k
1
k
)1(
2
b
k
，
Nn
，求证
n
＜
1
T
k
k
1
1
d
2
.
2
（19）（本小题满分 14 分）
设椭圆
2
2
x
a
2
y
3
1
( ＞a
)3
的右焦点为 F ，右顶点为 A .已知
1
OF
1
OA
3
e
FA
，
其中O 为原点， e 为椭圆的离心率. 学.科.网
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点 A 的直线l 与椭圆交于点 B （ B 不在 x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点 M ，与 y 轴交
于点 H .若
围.
BF
HF
，且 MOA
≤ MAO
，求直线l 的斜率的取值范
（20）（本小题满分 14 分）
设函数
)(
xf
(
x
3)1
ax
b
， x
R，其中 a ， b R.
（Ⅰ）求 )(xf 的单调区间；
（Ⅱ）若 )(xf 存在极值点 0x ，且
（Ⅲ）设 0＞a ，函数
)(
xg
)(
xf
)
)
，其中
(
xf
1
(
xf
0
x ，求证：
1
2 0
x
1
，求证： )(xg 在区间 ]2,0[ 上的最大值不小于．．．4
x
1
x
0
3
；
2016 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（理工类）
一、选择题：
（1）【答案】D
（2）【答案】B
（3）【答案】A
（4）【答案】B
（5）【答案】C
（6）【答案】D
（7）【答案】B
（8）【答案】C
二、填空题：
（9）【答案】2
（10）【答案】 56
（11）【答案】2
（12）【答案】
2 3
3
1 3
,
2 2
(14) 【答案】 6
（13）【答案】
(
第Ⅱ卷
)
三、解答题
（15）
【答案】（Ⅰ）
x x
2
,
k
k Z
， .（Ⅱ）在区间
12 4
,
上单调递增, 学科&网在区间
4
12
，
上单调递减.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：
根据（1）的结论，研究三角函数
，再根据正弦函数性质求定义域、学科&网周期
3
x
( )=2sin 2
f x
4 4
在区间[
,
]上单调性
试题解析： 解：
f x 的定义域为
x x
2
,
k
k Z
.
f x
4 tan cos cos
x
x
x
3
3
4sin cos
x
x
3
3
=4sin
x
1
2
cos
x
3
2
sin
x
3
2sin cos
x
x
2 3 sin
2
x
3
=sin 2
x
3 1-cos 2
x
3
所以,
f x 的最小正周期
T
x
3 cos 2 =2sin 2
x
x
3
.
sin 2
2
2
.
解：令 2
z
由
2
2
k
2
x
y
x
,
函数 2sin
3
2
3
k
2
,得
z
的单调递增区间是
2
2
,
k
2
2
k
,
k Z
.
12
k
x
5
12
,
k
k Z
.
设
A
4 4
,
,
B
x
12
k
x
5
12
k
,
k Z
，易知
A B
12 4
,
.
4
12
， 上单调递
所以, 当
x
4 4
,
学.科网时,
f x 在区间
12 4
,
上单调递增, 在区间
减.
考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式
【结束】
(16)
1
3
【答案】（Ⅰ）
【解析】
（Ⅱ）详见解析
试题分析：（Ⅰ）先确定从这 10 人中随机选出 2 人的基本事件种数： 2
10C ，再确定选出的 2 人参加义工活动
次数之和为 4 所包含基本事件数： 1
C C C ，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）先确定随机变量可能取值为
3
2
4
1
4
0,1,2.学.科网再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望
试题解析：解：( ) 由已知，有
P A
2
4
1
C C C
3
1
4
2
C
10
1 ,
3
所以，事件 A 发生的概率为
1
3
.
(
) 随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2.
P X
0
2
C
3
C
2
4
2
C
3
2
C
10
，
4
15
P X
1
1
1
C C C C
3
3
1
3
2
C
10
1
4
，
7
15
P X
2
1
1
C C
3
4
2
C
10
4
15
.
所以，随机变量 X 学.科网分布列为
X
P
随机变量 X 的数学期望
0
E X
0
4
15
4
1
15
7
15
2
4
15
1
.
1
7
15
2
4
15
考点：概率，概率分布与数学期望
【结束】
(17)
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
3
3
（Ⅲ）
7
21
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进
行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后
根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向
量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值
试题解析：依题意，OF
平面
ABCD
，如图，以O 为点，分别以 ,
AD BA OF
,
的方向为 x 轴， y 轴、z 轴
的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得 (0,0,0)
O
，
A
1,1,0 ,
B
( 1, 1,0),
C
(1, 1,0),
D
(11,0),
，
E
( 1, 1,2),
F
(0,0,2),
G
( 1,0,0)
.
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