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2022-2023学年上海市宝山区高三上学期10月月考数学试题及答案.doc
2022-2023 学年上海市宝山区高三上学期 10 月月考数学试
题及答案
一､填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分），要
求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得了分.
1. 直线 a 、b 确定一个平面，则 a 、b 的位置关系为________.
【答案】平行或相交##相交或平行
【解析】
【分析】利用平面的基本性质求解.
【详解】因为直线 a 、b 确定一个平面，
所以 a 、b 的位置关系为平行或相交，
故答案为：平行或相交
2. 以
2,1 为圆心，且经过原点的圆的标准方程为___________.
【答案】
(
x
2
2)
(
y
2
1)
5
【解析】
【分析】根据圆心设圆的方程，由原点在圆上求半径，即可得标准方程.
【详解】令圆的方程为
(
x
2
2)
(
y
2
1)
2
，又原点在圆上，
r
所以 2
r
(0 2)
2
(0 1)
2
，故所求方程为
5
(
x
2
2)
(
y
2
1)
5
.
故答案为：
(
x
2
2)
(
y
2
1)
5
3. 已知球的表面积为 4，则该球的体积为________．
4
3
【答案】
【解析】
【分析】先根据球的表面积公式
S
R
4
2
求出半径，再根据体积公式
3
求解.
4
3
3
R
4
3
V
4
3
【详解】设球半径为 R ，则
S
4
R
2
，解得 1R ，所以
4
V
R
【点睛】本题考查球的面积、体积计算，属于基础题.
4. 在等差数列 na 中，前 7 项的和 7
S ，则 3
a
14
a
5
___________.
【答案】 4
【解析】
【分析】根据等差数列前 n项的和公式，结合等差数列下标的性质进行求解即可.
4
a
3
a
5
，
4
【详解】因为 7
a
S ，所以有 1
14
7(
a
7
) 14
a
1
a
7
2
故答案为： 4
5. 余弦函数 cos
y
【答案】 1
【解析】
x
在
x
处的导数是___________.
2
【分析】利用初等函数的导数可得到 cos
y
x
的导数，再代入
x
即可.
2
【详解】因为 cos
y
x
，所以
y
sin
x
，
所以
xy
2
sin
2
1
.
故答案为： 1 .
6. 一组数据从小到大排列为：1,2,
,5a ，且中位数是 3，则其方差大小是___________.
5
2
##2.5
【答案】
【解析】
【分析】根据中位数的定义，结合方差的运算公式进行求解即可.
【详解】因为一组数据的中位数是 3，
所以有
a
2
2
3
，而
a
4
x
1 2 4 5 3
，
4
所以
2
S
(1 3)
2
(2 3)
2
4
(4 3)
2
(5 3)
2
，
5
2
故答案为：
5
2
l
7. 己知直线 1
4
【答案】
【解析】
: 2
x
y
0,
l
:3
x
2
，则 1l 与 2l 的夹角大小是___________.
1 0
y
【分析】先求出两直线的斜率，再利用两直线的夹角公式求解即可.
【详解】设直线 1l 与 2l 的夹角为（
α
π
0,
2
），
l
因为 1
: 2
x
y
0,
l
:3
x
2
，
1 0
y
k
所以两直线的斜率分别为 1
22,
k
，
3
所以
tan
k
1
1
k
2
k k
1 2
2 ( 3)
1 2 ( 3)
1
，
因为
α
π
0,
2
，
所以
，
4
故答案为：
4
8. 若圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线与轴的夹角大小___________.
π
6
【答案】
【解析】
##30°
【分析】若圆锥母线、底面半径分别为 ,l r 易得 2
r ，即可求母线与轴的夹角.
l
【详解】若圆锥母线、底面半径分别为 ,l r ，则 π
l
r
l
令圆锥的母线与轴的夹角为
π(0,
2
sin
，则
)
2π
r
1
2
l
，即 2
r ，
π
6
.
，故
故答案为：
π
6
9. 如图抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面 3 米时，水面宽 12 米，则水面上升 1 米后，
水面宽度为___________米.
【答案】 4 6
【解析】
【分析】先根据抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，根据条件得抛物线上一点得坐标，
代入后可得抛物线得方程，再令对应得 y值可得上升水面后得横坐标得值，即得解.
【详解】
如图建立直角坐标系，设抛物线方程为 2x
my ，
将 A（6，-3）代入 2x
my ，
得
m
12
，
∴ 2
x
，代入 B
12
y
0, 2
x 得 0
x
2 6
，
故水面宽为 4 6 米，
故答案为： 4 6 ．
10. 事件 A，B互斥，它们都不发生的概率为
3
5
【答案】
【解析】
2
5
，且 P(A)＝2P(B)，则 P( A )＝________．
【详解】分析：由已知中事件 A、B 互斥，由它们都不发生的概率为
可求
P A ，进而根据对立事件概率减法公式得到答案.
详解： 事件 A、B 互斥，且 P(A)＝2P(B)，
2
5
，且 P(A)＝2P(B)，
它们都不发生的概率为
2
5
1 2
P B
P B
2
5
1
P A
P B
解得
P B ，
1
5
P A
2
P B
2
,
5
P A
3
.
5
2
5
1
P A
故答案为
1
3
5
.
点睛：本题考查的知识点是互斥事件概率加法公式，对立事件概率减法公式，难度不大，属
于基础题.
11. 已知 1F ， 2F 分别是双曲线
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
0,
b
的左､右焦点，过 2F 且垂直于 x 轴的
0)
直线与双曲线的右支交于 A，B 两点，若
1ABF
是正三角形，则这条双曲线 C的渐近线方程
是___________.
【答案】
y
2
x
【解析】
【分析】[解法 1]先根据题意求得 ,A B 两点的坐标，进而得到 AB 、 1AF ，再由
1ABF
是
正三角形得到 ,
,a b c 的关系式，进而求得 ,a b 的比值，从而可求得双曲线 C的渐近线方程.
[解法 2]根据双曲线的定义，结合正三角形的性质，直接得到 ,a c 的关系，进而取值，并利
用 ,
,a b c 的平方关系得到 ,a b 的关系，进而得到渐近线的方程.
【详解】[解法 1]根据题意，易知
F c ，双曲线 C的渐近线方程为
2
,0
y
，
x
b
a
因为过 2F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线的右支交于 A， B 两点，
所以不妨设
,
A c y B c y
,
,
1
y
1
2
，将
0
y
2
,A c y 代入双曲线方程得
1
2
2
c
a
2
y
1
2
b
，
1
解得
2
y
1
2
b
2
2
c
a
1
2
b
2
c
2
a
2
a
4
2
b
a
，即
y
1
，同理：
2
b
a
y
2
，
2
b
a
所以
AB
y
1
y
2
2
2b
a
，
AF
2
y
1
，
2
b
a
由双曲线的定义可知
2
a
AF
1
AF
2
AF
1
，即
2
b
a
AF
1
2
a
，
2
b
a
因为
1ABF
是正三角形，所以
AB
AF
1
，即
2
2
b
a
2
2
ba
，得 2
2a
a
2
b ，即
b
a
，
2
所以双曲线 C的渐近线方程为
y
2
x
.
故答案为：
y
2
x
.
[解法 2]
由题意
AF F
2 1
为直角三角形，且
AF F
1 2
30
,
AF
故可设 2
m ，则 1
AF
2
4 ,
m F F
1 2
2
c
2 3
m
,如图所示：
由双曲线的定义得
2
a
AF
2
AF
1
4
m m
2
2
m
,
3
m
,∴
b
m
2
,
∴ 1 ,
a m c
b
a
∴
2
,
∴双曲线的渐近线方程为
y
2
x
，
故答案为：
y
2
x
12. 已知 A､B是由直线
x
,
a y
所围成的矩形中相邻的两个顶点，点 P是椭圆
b
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
上的任意点，且存在实数 m，n满足OP m OA n OB
0)
b
，则 +m n
的取值范围是___________.
【答案】
1,1
【解析】
【分析】由题意可设 ( , )
A a b ， (
, )
B a b
， 0(P x ， 0)y ，由
OP m OA n OB m
(
、
n R ，
)
可求得 0x ， 0y ，代入椭圆方程可得 2
m n
2
，结合重要不等式得到结果.
1
2
【详解】依题意不妨设， ( , )
A a b ， (
, )
B a b
，设 0(P x ， 0 )y ，
OP m OA n OB
，
0x ma na
， 0y mb nb
，
0(P x
， 0 )y 为椭圆
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
上的一点，
0)
b
m n
(
2
)
(
又 2
m n
2
2
m n
2
．
m n
1
2
2
mn
2
)
1
，
，即
2
2 m n
2
m n
2
∴
1 m n
，即 1
2
m n
，
1
所以 +m n 的取值范围是
1,1
.
故答案为：
1,1
二､选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项，考生
应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 某个年级有男生 180 人，女生 160 人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个
容量为 68 的样本，则此样本中女生人数为（
）
B. 36
C. 34
D. 32
A. 40
【答案】D
【解析】
【分析】根据分层抽样的性质计算即可.
【详解】由题意得：样本中女生人数为
68
160
180 160
32
.
故选：D
14. 椭圆上的点到椭圆的焦点的距离的最大值与椭圆的短轴长相等，则椭圆的离心率为
）
（
A.
4
5
【答案】B
【解析】
B.
3
5
C.
1
3
D.
1
2
【分析】根据题意得
程即可得答案.
a c
，进而得 2
5
c
2
b
2
ac
2
3
a
，即 25
e
0
2
e
，再解方
3 0
【详解】解：因为椭圆上的点到椭圆的焦点的距离的最大值为 a c ，椭圆的短轴长为 2b
所以根据题意得
a c
，
2
b
所以两边平方得 2
a
2
c
2
ac
2
4
b
2
4
a
，即 2
5
c
4
2
c
2
ac
2
3
a
0
等式两边同除以 2a 得 25
e
2
e
，解得
3 0
所以椭圆的离心率为
故选：B
3
5
e 或
3
5
e （舍）
1
15. 在四面体 ABCD中，各条校长都相等，E，F分别为 AD，BC的中点，则异面直线 AB与 EF
所成角的大小为（
）
A.
π
6
【答案】B
【解析】
B.
π
4
C.
π
3
D.
π
2
【分析】根据等边三角形的性质、三角形中位线的性质，结合线面垂直的判定定理、异面直
线所成角的定义进行求解即可.
【详解】取 BD 中点O ，连结 ,EO FO ，
设正四面体的棱长为 a ,
则 / /
OF CD OE AB ，且
/ /
,
OF OE
，
a
2
EFO
是异面直线 EF 与CD 所成的角(或其补角)，
取 CD 中点G ，连结 ,BG AG
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