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2019年湖北武汉科技大学固体物理考研真题及答案.doc
2019 年湖北武汉科技大学固体物理考研真题及答案
一、简答题(共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
1、二维布喇菲点阵只有五种，试列举并画图表示；
2、同一晶体的高指数晶面族与低指数晶面族，对于同级衍射，哪一晶面族的衍射光较弱并
分析其原因；
3、石墨是一种典型的混合晶体，它包含有哪三种键力，分别有什么作用；
4、长光学支格波与长声学支格波之间的区别；
5、什么是布洛赫波？布洛赫波有哪些性质？
二、证明题(共 2 小题，每小题 15 分，共 30 分)
1、证明倒格矢 Ghkl 垂直于晶面(hkl)。
2、设两原子间的相互作用能可表示为
)r(u
A
m
r
B
n
r
，A、B 均为正常数。1）请首先指
出引力能项和排斥能项，2）并证明：要使这两原子系统处于平衡态，必须 n>m。
三、计算题( 70 分)
( 15 分)1、试求面心立方和体心立方晶格中粒子密度最大的晶面。
( 15 分)2、N 个质量为 m 的原子组成晶格常数为 a 的一维单原子链，试求解其振动色散关
系及其模式密度。
( 20 分)3、试求由两种一价离子所组成的一维晶格的库仑互作用能和马德隆常数，设离子
总数为 2N，离子间的最短距离为 R。
( 20 分)4、限制在边长为 L 的正方形中的 N 个电子，单电子能量为：
)k,k(E
y
x
2
)k
y
2
k(
2
x
m2
(1)求能量 E 到 E+dE 之间的状态数；
(2)求绝对零度时的费米能量。
答案
一、简答题(共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
1、二维布喇菲点阵只有五种，试列举并画图表示；
答：斜方晶格、正方晶格、长方晶格、六角晶格和有心长方晶格五种，图略
2、同一晶体的高指数晶面族与低指数晶面族，对于同级衍射，哪一晶面族的衍射光较弱并
分析其原因；
答：对于同一级衍射，高指数的晶面族衍射光弱，低指数的晶面族衍射光强。低指数的晶面
族面间距大，晶面上的原子密度大，这样的晶面对射线的衍射作用强。相反，高指数的晶面
族面间距小，晶面上的原子数密度小，这样的晶面对射线的衍射作用弱。
3、石墨是一种典型的混合晶体，它包含有哪三种键力，分别有什么作用；
答：石墨结晶格架为六边形层状结构。同层的碳原子以 sp2 杂化形成共价键，每一个碳原子
以三个共价键与另外三个原子相连，因此对于同一层来说，它是原子晶体，化学性质稳定性
好，熔点很高；在同一平面的碳原子还各剩下一个 p 轨道，它们相互重叠，电子比较自由，
相当于金属中的自由电子，所以石墨具有良好的导热和导电性；石墨晶体中层与层之间相隔
距离较大，是以范德华力结合起来的，即层与层之间属于分子晶体，具有润滑作用。因此，
石墨可看做是原子晶体、金属晶体和分子晶体的混合晶体。
4、长光学支格波与长声学支格波之间的区别；
答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶
格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞
做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数。任何
晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波。
5、什么是布洛赫波？布洛赫波有哪些性质？
答：能用
)r(
e)r(
rk
k
表示，而且满足
)r(
k
k
)Rr(
n
的这种被周期函数所调
幅的平面波函数称为布洛赫波。布洛赫波性质：电子的共有化运动性质，即在晶格周期场中
的电子在各原胞对应点出现的几率均相同，电子可以看做在整个晶体中自由运动。平面波的
因子描述了晶体电子共有化运动，而周期函数因子则描述可电子在原胞中的运动，它取决于
原胞中电子的势场。
二、证明题(共 2 小题，每小题 15 分，共 30 分)
1、证明倒格矢 Ghkl 垂直于晶面(hkl)。
主要参考步骤：
写出晶面在三个晶轴方向的截距：
晶面(hkl)在三个晶轴上的截距为：
a1
h
a 2
k
a 3
l
，
和
以晶面与三个晶轴的交点为构造在该晶面上的两个矢量：
a
1
h
a
- 和
2
k
a
3
l
a
1
h
-
倒格矢 Ghkl 可表示为：
bhG
bk
bl
1
2
3
计算可知，由于
ba
i
j
2
：
ij
a(G
1
h
a
2
k
-
bh(
1
bk
2
)
a()bl
1
h
3
a
2
k
-
)
；0
a(G
1
h
a
2
k
-
bh(
1
bk
2
)
a()bl
1
h
3
2、设两原子间的相互作用能可表示为
a
2
k
-
)
；0
)r(u
A
m
r
B
n
r
，A、B 均为正常数。1）请首先指
出引力能项和排斥能项，2）并证明：要使这两原子系统处于平衡态，必须 n>m。
主要参考步骤：
第一项为引力能，第二项为排斥能
r
r
0
Am
r
平衡时的原子间距：
)r(u
r
nB
mA
1
-
mn
r
0
1m
Bn
r
1n
0
r
r
0
平衡时的势能为：
)r(u
0
A
m
r
0
B
n
r
0
A
）（ -
m
r
0
m1
n
系统稳定则势能取最小值，所以势能在平衡位置的二阶导数需大于零：
2
)r(u
2
r
-m
r
r
0
化解为：
A)1m(
r
2m
B)1n(n
r
2n
0
r
r
0
B)1n(n
2m
r
0
A)1m(m
r
0
2n
即：
mn ，
三、计算题( 80 分)
( 20 分)1、试求面心立方和体心立方晶格中粒子密度最大的晶面。
主要参考步骤：
晶面的面间距越大，则晶面上的粒子密度越大。
面心立方：
面心立方的倒格子基矢为：
b1
i
)kj
b 2
，
(
2
a
2
a
与晶面族(h1h2h3)正交的倒格矢为：
-
)kj
i(
bhG
11
b3
bh
2
2
a
2
i(
-
)kj
bh
3
3
，
则该晶面族的晶格间距为：
d
hhh
321
2
G
hhh
321
h
1
h
2
h
3
2
h
1
a
h
h
3
2
2
h
1
h
2
h
3
2
当(h1h2h3)为属于晶面族{100}和{111}时，晶面间距取最大值；该晶面对应于面心立方的晶
体学原胞的{111}面。
体心立方：
体心立方的倒格子基矢为：
2
b1
a
)kj(
2
a
b 2
，
i(
)k
与晶面族(h1h2h3)正交的倒格矢为：
则该晶面族的晶格间距为：
b3
，
bhG
11
2
a
i(
bh
2
)j
bh
3
3
2
d
hhh
321
2
G
hhh
321
h
2
h
3
2
h
1
a
2
h
3
h
1
h
2
2
当(h1h2h3)为属于晶面族{100}和{0-11}时，晶面间距取最大值；该晶面对应于体心立方的晶
体学原胞的{110}面。
( 20 分)2、N 个质量为 m 的原子组成晶格常数为 a 的一维单原子链，试求解其振动色散关
系及其模式密度。
主要参考步骤：
每个原子的动力学方程：
um
n
u(
1n
u
1n
)u2
n
每个原子的参考解：
u nq
(iAe
t
nqa
)
将其带入运动方程可得：
-
m
2
iaq
e(
e
iaq
)2
2
2
m
2
m
1(
cos
)aq
2/1
sin
aq
2
周期性边界条件下，波矢 q 的取值为：
则有：
(g
d)
Na2
2
dq
q
2l
Na
，则状态空间波矢的密度为：
Na
2
(g
)
4N2
（
m
2
）
2/1
( 20 分)3、试求由两种一价离子所组成的一维晶格的库仑互作用能和马德隆常数，设离子
总数为 2N，离子间的最短距离为 R。
主要参考步骤：
相距为 rij 的两异性一价离子的库仑相互作用势能:
u
ij
1
4
0
2
e
r
ij
选取某一正离子为参考点，则该正离子与其他所有离子间的相互作用势能为：
u
0
N
(
1n
n
)1(
1
4
0
2
e
nR
2)
N
1n
1n
)1(
)n/1
则晶体的总的库仑相互作用为：
U
0
(
N
1n
n
)1(
1
4
0
2
e
nR
2/1N22)
1N
4
0
2
e
R
2(
则该晶体的马德龙常数为：
2M
N
1n
1n
)1(
n/1
当离子数目较多时，
2ln2M
则，该晶体的总的库仑势为：
U
0
1N
4
0
2
e
R
2(
N
1n
1n
)1(
)n/1
1N
4
0
2
e
R
2lnN2ln2
2
0
2
e
R
( 20 分)4、限制在边长为 L 的正方形中的 N 个电子，单电子能量为：
)k,k(E
y
x
2
)k
y
2
k(
2
x
m2
(1)求能量 E 到 E+dE 之间的状态数； (2)求绝对零度时的费米能量。
主要参考步骤：
(1)对于二维正方格子，在状态空间，每个状态点占据的状态数为：
2
L
x
2
L
y
2
)2(
2
L
则其状态点的密度为：
2
L
)2(
2
由于电子能量可表示为：
)k,k(E
y
x
2
)k
y
2
k(
2
x
m2
2
2
k
m2
,
k
)mE2(
2
2/1
则能量间隔 E 到 E+dE 之间在倒空间构成一个圆环，该圆环的面积为： kdk
2
则该圆环内的状态数为：
dZ
2
kdk
2
L
)2(
2
2
L
dEm
2
2
(2)由上题可知，电子的能级密度为：
)E(G
L2
2
2 m
2
则 0K 时，有系统总电子数也可计算为：
E
0
F
0
dE)E(G
E
0
F
0
2
dEmL
2
，
N
E
0
F
0
dE)E(f)E(G
则有
E
0
F
2
N
2
mL
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