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《MATLAB》课程论文摘要 MATLAB 是国际公认的优秀科技应用软件，是计算机辅助分析与设计、算法研究和应用开发的基础工具和首选平台，是目前科学研究领域最流行的应用软件，其特点概括为：（1）高效率的数值计算方法及符号计算功能，使用户从繁杂的数学运算分析中更加简单化。（2）完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化。（3）友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学习者易于学习和掌握。（4）功能丰富的应用工具箱，为用户提供了大量方便而实用的处理工具，而且具备很强的开放性。 MATLAB 在微积分上、高等代数、多项式、数学分析、概率论、数理统计、复变函数、数值计算、图论、图像处理等等各领域有着重要的应用。本文基于 MATLAB7.0 版本主要分析以下几点：（1）通过软件分析 MATLAB 在微积分上的应用（2）通过软件分析 MATLAB 在高等代数上的应用（3）通过软件分析 MATLAB 绘图功能 - 1 -

目录《MATLAB》课程论文........................................................... - 1 - 摘要.....................................................................................- 1 - 目录.....................................................................................- 2 - 1、MATLAB 在微积分上的应用...............................................- 3 - 1.1、MATLAB 求数值微分......................................................................... - 3 - 1.2、MATLAB 求积分................................................................................- 3 - 2、MATLAB 在高等代数上的应用........................................... - 4 - 2.1、向量组的线性相关性.........................................................................- 4 - 2.2、矩阵及线性方程组的解..................................................................... - 5 - 2.2.1、矩阵的分析 ............................................................................ - 5 - 2.2.2、线性方程组的解......................................................................- 6 - 3、MATLAB 的绘图功能.........................................................- 8 - 3.1、绘制二维图形.................................................................................. - 8 - 3.1.1、基本绘图 plot 函数的使用........................................................ - 8 - 3.1.2、其它绘图函数......................................................................... - 9 - 3.1.3、直角坐标、极坐标与对数坐标的比较...................................... - 10 - 3.2、绘制三维图形.................................................................................- 11 - 3.2.1、绘制三维曲面的基本函数 .......................................................- 11 - 3.2.2、绘制标准三维曲面 .................................................................- 11 - 3.2.3、其它三维图形....................................................................... - 12 - 结语...................................................................................- 12 - - 2 -

1、MATLAB 在微积分上的应用 1.1、MATLAB 求数值微分 MATLAB 有二种方式实现数值的微分，也就有二种方法来求函数 f(x)导的导数。一是用多项式或样条函数 g 对 f 进行逼近，然后用 g 函数的导数作为 f 函数的导数；二是用 MATLAB 提供 diff 函数计算向前差分，间接求导。例如：f(x)=x4+4x3+2x2+6；为了比较二种方法求出导数与实际导数的误差，求出 f’(x)=4x3+12x2+4x,并绘出他们在区间[-5,5]内以 0.01 为步长的图像。程序 M 文件如下: f=inline('x.^4+4*x.^3+2*x.^2+6'); g=inline('4*x.^3+12*x.^2+4*x'); x=-5:0.01:5; p=polyfit(x,f(x),5); dp=polyder(p); dpx=polyval(dp,x); dx=diff(f([x,5.01]))/0.01; gx=g(x); plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-'); 程序运行后图像如右图：由图可知，三条曲线高度接近，结果表明，两种求导方法求得导数与实际非常接近。 1.2、MATLAB 求积分 MATLAB 积分一般是用一个解析式给出，此时有两种方法求积 ; 分，也可能用一个表格形式给出，此时用 trapz 函数计算。计算 I= 第一种方法建立函数文件 ex.m function ex=ex(x) ex=exp(2*x); 在命令窗口输入以下命令： I=quadl('ex',1,2)；得到结果为： I = 23.6045 - 3 -

第二直接使用内联函数求解，在命令窗口输入： g=inline(‘exp(2*x)’); I=quadl(g,1,2) 结果为： I = 23.6045 用 trapz 函数计算： X=1:0.01:2; Y=exp(2*x); trapz(X,Y) ans= 23.6053 而计算二重积分，则使用 MATLAB 提供的 dblquad 函数，调用格式为：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)调用方式和 quadl 函数类同，不再赘述。 2、MATLAB 在高等代数上的应用在高等代数的学习过程中,往往为无法验证计算结果的正确性而感到烦恼。使用 Matlab 不仅简单、迅速地计算出繁杂的代数运算结果，而且使用方便、集成度高且结果稳定可靠。Matlab 的优势就在于不仅功能强大,而且其运算指令简洁明了,使用时也不需要复杂的程序语言,方便实用,很容易掌握。Matlab 在向量组的线性相关性、矩阵及线性方程组、相似矩阵与二次型等方面有很强大的计算功能和应用能力。 2.1、向量组的线性相关性求列向量组 A 的一个最大线性无关组可用命令 rref(A)将 A 化成阶梯形的行最简形式，其中单位向量对应的列向量即为最大线性无关组所含向量，其它列向量的坐标即为其对应向量用最大线性无关组线性表示的系数。求下列矩阵的列向量的最大无关组(高等代数习题第三章第 11 题数据为例): A= - 4 -

编写程序 M 文件如下： A=[6 1 1 7;4 0 4 1;1 2 -9 0;-1 3 -16 -1;2 -4 22 3]; b=rref(A) 求得结果如下：即 b= 记矩阵 A 的四个列向量分别为 a1,a2,a3,a4,则 a1,a2,a4 是向量组的一个极大无关组，且有 a3=a1-5a2。 2.2、矩阵及线性方程组的解 2.2.1、矩阵的分析矩阵分析是高等代数的重要内容，Matlab 提供大量的方式求矩阵的逆、矩阵的秩、矩阵转置、矩阵的特征值和特征向量、特征多项式、特征根等。下面用一个矩阵分别求它的秩、逆、装置、特征值、特征向量、特征多项式、特征根。 A= 在命令窗口输入的命令如下： >> A=[1 2 2;-4 3 0;0 -1 0]; >> inv(A) 结果如图：可知 inv()函数求矩阵逆简便快捷继续输入命令： >> rank(A) ans=3 >>[v,d]=eig(A) (rank()函数求矩阵的秩) - 5 -

结果如图：由 v，d 可知，矩阵 A 的第一列向量特征值为：1.5000 + 2.3979i；它的特征向量为： [0.2942 - 0.4703i，0.7845，-0.1471 +0.2351i], 其他列向量或行向量亦可求出特征值与特征向量。 >>p=poly(A) p = 1.0000 -4.0000 11.0000 -8.0000 (由 P 可以得到特征多项式为：f(x)=x3-4x2+11x-8) >> roots(p) ans = 1.5000 + 2.3979i 1.5000 - 2.3979i 1.0000 （roots() 函数可由特征多项式系数计算出特征根） 2.2.2、线性方程组的解线性方程组是高等代数核心内容，在 Matlab 中，关于线性方程组的解法分两类：一类是直接解，另一类是迭代解法，这两种又有多种实现的方式，各有优缺点，下面利用程序详细分分析 Matlab 如何解线性方程组。例：用不同方法求解下列线性方程组的解（1）直接解法，包括矩阵除法、矩阵求逆、矩阵分解（包括 LU 分解、QR 分解、Cholesky 分解）三种，程序如下; >> A=[5 1 -1 0;1 1 3 -1;-1 -1 2 5;0 0 2 4]; >> b=[1;2;3;-1]; - 6 -

//矩阵除法 x=A\b x = 2.0625 -7.3125 2.0000 -1.2500 >>x=inv(A)*b x = //矩阵求逆法 //矩阵分解法以 LU 分解为例 2.0625 -7.3125 2.0000 -1.2500 >> [L,U]=lu(A); >> x=U\(L\b) x = 2.0625 -7.3125 2.0000 -1.2500 （2）迭代解法，包括 Jacobi 迭代法、Gauss-Serdel 迭代法、超松弛迭代、两步迭代法以 Jacobi 迭代法解上题，建立函数文件 jacobi.m,程序代码如下： function [y,n]=jacobi(A,b,x0,eps) if nargin==3 eps=1.0e-6; elseif nargin<3 error return end D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); B=pinv(D)*(L+U); f=pinv(D)*b; y=B*x0+f; n=1; - 7 -

while norm(y-x0)>=eps x0=y; y=B*x0+f; n=n+1; end 以迭代初值为 0，迭代精度为 10-6，在命令窗口输入： >> [x,n]=jacobi(A,b,[0;0;0;0],1.0e-6) x = 2.0625 -7.3125 2.0000 -1.2500 n =41 Matlab 在高等代数中线性方程通解，非线性方程的最优化求解，相似矩阵与二次型等个方面都有广泛的应用，我们可以通过 Matlab 可以简单快捷地解出高等代数的复杂的运算结果，这给我们学习高等代数提供极大的便利，验证计算结果的正确性。 3、MATLAB 的绘图功能强大的绘图功能是 Matlab 特点之一，在 Mtalab 提供的函数，用户根据细节考虑分为高层绘图操作和低层绘图操作。以下都是用高层绘图操作来体现 Matlab 的绘图功能。 3.1、绘制二维图形 3.1.1、基本绘图 plot 函数的使用绘制二维图形的基本函数为 plot 函数，提供一组 x 坐标及对应的 y 坐标，这样就可以绘制分别以 x、y 为横、纵坐标的二维曲线。调用格式为：plot(x,y) 绘制四组图实现 plot 函数的绘制功能。（1）绘制一般曲线，例：y=2ex2xsinx; （2）当 x 是向量，y 是有一维与 x 同维的矩阵时，则绘出曲线条数等于 y 矩阵另一维数，x 作为这些曲线共同坐标。（3）x,y 是同维矩阵，x,y 对应元素为横纵坐标分别绘制条数等于矩阵列数的曲线。（4）绘制对个输入参数，含选项的 plot 函数。 - 8 -

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