数学专业概率论（魏宗舒）.doc-资料库

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概率论教案数学与应用数学专业

概率论与数理统计与我们以前学过的知识具有极其不同的特点.在此之前，数学是研究在一定条件下，其结果必然发生或不发生的规律性，而概率论所研究的则是随机事件的规律性.随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，完全是偶然的，但在大量的实验中随机事件又具有一定的规律性，即具有一定的必然性，概率论正是揭示这种偶然性背后隐藏着的必然性的科学.其任务时寻求随机现象发生的可能性，并对这种可能性大小给出度量方式及其算法，也就是说，概率论是对随机现象统计规律演绎的研究，而数理统计是以概率论为理论基础，根据实验或观测得到的数据，来研究随机现象，对研究对象的统计规律性作出种种合理的估计和推断，由此可见，数理统计是对随机现象统计规律归纳的研究。虽然两者在方法上如此明显的不同，但作为一门学科，它们却是互相渗透、互相联系的。

第一章事件与概率教学目的与要求 1. 理解随机试验、基本事件、样本空间、随机事件等概念. 2. 掌握事件间的关系与运算. 3. 理解频率与概率的内涵，掌握古典概型、几何概型的概率问题，准确理解概率的公理化定义. 4. 掌握概率的运算性质，会灵活应用其性质求某些事件的概率. 5. 理解条件概率与乘法公式. 6. 了解全概率公式与贝叶斯公式. 7. 理解事件的独立性；了解 n 重独立重复试验所产生的贝努力概型及二项概率公式. 教学重点事件的公理化定义及性质教学难点古典概率教学方法讲解法教学时间安排 1~2. 第一节随机事件和样本空间 3~4. 第二节概率和频率第三节古典概型 5~6. 习题辅导课 7~8. 第四节概率的公理化定义及概率的性质 9~10. 第五节条件概率、全概率公式和贝叶斯公式 11~12.第六节独立性第七节贝努里概型 13~14.习题辅导课教学内容

1~2. 第一节随机事件和样本空间一、随机事件和样本空间随机试验：一个试验如果满足下述条件：（1）试验可以在相同的情形下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现那一个结果. 就称这样的实验是一个随机试验，记作 E. 基本事件和样本空间：随机试验的每一个可能结果，称为基本事件（样本点）。它们的全体，称作基本空间（样本空间），常用表示基本事件，用  表示样本空.从集合角度看，基本事件又是样本空间的一个元素，可记作 { }  . 复杂事件与事件由若干个基本事件组成的事件称为复杂（复合）事件。无论基本事件还是复杂事件，它们在试验中发生与否，都带有随机性，所以都叫做随机事件或简称为事件，记作大写字母 , ,A B  . 必然事件与不可能事件：因为  是所有基本事件所组成，因而在任一次试验中，必然要出现  中的某一基本事件，即  .也就是在试验中， 必然会发生，所以又用  来表示必然事件.相应地，空集  可看作  的子集，在任一次试验中，不可能有 ，也就是说  永远不可能发生，所以  是不可能事件.必然事件和不可能事件的发生与否，已失去了“不确定性”，因而本质上它们不是随机事件，但为了方便，仍视为随机事件的两个极端情形. 例 1.1 一个盒子中有十个相同的球，但 5 个是白色的，另 5 个是黑色的搅匀后从中任意摸取一球。令 1  {取得白球}， 2 ={取得黑球} 则   { , }  2 1 . 例 1.2 一个盒子中有十个完全相同的球，分别标以号码 1，2， ,10, 从中任取一球，

令则则则则 i } i  取得球的标号为 {  {1,2,   ,10} . 例 1.3 讨论某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数，令 i } i  收到的呼唤次数为 {   {0,1,2, }  . 例 1.4 测量某地水温，令 t  测得的水温为 { 0 t C }   [0,100] . 例 1.5 从一批电脑中，任取一台观察无故障运行的时间，令 } t  无故障运行的时间为t，单位：小时 {   { : t t  0} . 例 1.6 向坐标平面区域 : D x 2 2 y  100 内随机投掷一点（设点必落在 D 上）,观察落点 M 的坐标，令 ( , x y ) { M 点的坐标为（x,y)} 则   {( , x y ) : 2 x  2 y  100} . 由上述的讨论可见，对于任何一个随机试验 E 必确定相应的样本空间  ，一旦试验 E 给定，我们就可以写出它的样本空间  .又由于任何一个事件或是基本事件，或是由基本事件组成的复杂事件，因此，试验 E 的任何一个事件 A 都是样本空间中的一个子集.从而由样本空间的子集可描述随机试验中所对应的一切随机事件.

二、事件的关系和运算一个样本空间  中，可以有很多的随机事件.概率论的任务之一，是研究随机事件的规律，通过对较简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律.为此，需要研究事件之间的关系和事件之间的一些运算. 如没有特别声明，在以下的叙述中总认为样本空间  已给定，并且还给出了  中的一些事件。 1、事件的关系与运算 1）事件的包含关系如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称 B 包含了 A ，或称 A 是 B 的特款，并记为 A 。(几何解释：  中的两个子集 A 与 B ，“事件 A 发生必然导致事件 B 发 A B 或 B 生”意味着“属于 A 的必然属于 B ”，即 A 中的点全在 B 中) 因不可能事件  不含有任何，所以对任一事件 A ，约定 A  . 2）事件的相等关系如果有 A B B  ,  同时成立，则称事件 A 与 B 相等，记作 A B .易知，相等的两个 A 事件总是同时发生或不同时发生。 3）两事件的并（或和）事件 “事件 A 与 B 中至少有一个发生”，这样的一个事件称作事件 A 与 B 的和（或并），记作 A B . 4）两事件的交（或积）事件 “事件 A 与 B 同时发生:” ,这样的一个事件称作事件 A 与 B 的积（或交），记作 A B （或 AB ）. 5）两事件的差事件 “事件 A 发生而 B 不发生”，这样的事件称为事件 A 与 B 的差，记作 A B . 6）互不相容事件或互斥事件若事件 A 与 B 不能同时发生，也就是说 AB 是一个不可能事件。即 AB   ，则称事件 A 与 B 互不相容（或互斥）. 7）对立事件或逆事件若 A 与 B 互不相容，且它们的和为必然事件，即 AB   及 A B   ，则称 A 与 B 为对立事件或互为逆事件，事件 A 的逆事件记作 A .

易知，在一次试验中，若 A 发生，则 A 必不发生（反之亦然）即 A 与 A 二者只能发生其中之一，并且也必然发生其中之一。因而有 AA       A A A A , , 若 A 与 B 互逆则必互斥，但反之不然。另当事件 A 较复杂而 A 较为简单时可通过研究 A 来研究 A . 8）若 n 个事件： 1 A A 2 , , A ,则“ 1 A A 2 , , n , A 中至少发生其中的一个”这样的事件 , n 称作 1 A A 2 , , A 的并（和），并记作 1 A n ,   或 A n A 2 n i A i  ；若“ 1 A A 2 , 1 , A 同时 , n 发生”，这样的事件称作 1 A A 2 , , A A A 的交（积），记作 1 2 n , A 或 n n  . A i 1 i 事件间的关系及运算与布尔（ Boole ）代数中集合间的关系及运算之间是完全可以互相类比的，这种类比的对应关系为：概率论样本空间事件事件 A 发生事件 A 不发生必然事件不可能事件事件 A 发生导致事件 B 事件 A 与 B 中至少有一个发生事件 A 与 B 同时发生:” 事件 A 发生而 B 不发生事件 A 与 B 互不相容集合论 { }  子集 A A   A B A B A B A B AB   在许多场合，用集合论的表达方式显得简练些，也更易理解。但重要的是学会用概率论的语言来解释集合间的关系及运算，并能运用它们。 2、事件的运算性质

1）交换律： A B B A AB BA     , ； 2）结合律： A  ( B C  )  ( A B C AB C A BC ,(  ) ) (   ) ； 3）分配律： ( A B C  )  ( AB )  ( AC ) ， ( A B C   )  ( A C  )  ( B C  ； ) 4）德摩根（De Morgan）对偶律： A B AB , AB A B   ；对可列无多个事件的情形有   ， A i A i  i 1   i 1    . A i A i  i 1   i 1  这些规律是不难证明的。这里用集合论的语言来证明其中的 3）及 4）.. 3）式的证明：设   A B C  ，则 ( ) A B   A B   ，即有或 C 若    ,A B 同时成立，也就有   A C  ,   B C  同时成立，即   A C ( )  ( B C  ) 若 C ，这表明同时有   A C  ,   B C  成立，从而也有   A C ( )  ( B C  ) 所以无论   A B 或 C ，都有   A C ( )  ( B C  ) 成立.这说明

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