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2014年辽宁高考理科数学真题及答案.doc
2014 年辽宁高考理科数学真题及答案
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知全集
U R A
,
{ |
x x
0},
B
{ |
x x
，则集合 (
UC A B
1}
)
（
）
A．{ |
x x
0}
B．{ |
x x
1}
C．{ | 0
x
x
1}
D．{ | 0
x
x
1}
2.设复数 z 满足 (
z
2 )(2
i
，则 z （
) 5
i
）
A． 2 3i
B． 2 3i
C．3 2i
D．3 2i
3.已知
1
32
，
a
b
log
2
1
3
,
c
log
1
3
1
2
，则（
）
c
b
A． a
4.已知 m，n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（
D． c b
B． a
c b
C． c
a
b
a
）
A．若 / /
m
n 则 / /m n
/ /
,
,
B．若 m ， n ，则 m n
C．若 m ， m n ，则 / /n D．若 / /m ， m n ，则 n
是非零向量，学科 网已知命题 P：若
a b
0
b c
，
0
a c
；命题 q：若 / / ,
b b
a
c
/ /
0
，
，则
5.设 ,
,a b c
c
则 / /a
，则下列命题中真命题是（
）
q
)
D． (
p
q
)
A． p q
B． p q
C． (
p
)
(
6.6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（
）
A．144
B．120
C．72
D．24
7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．8 2
B．8
C．8
2
D．8
4
8.设等差数列{ }na 的公差为 d，若数列 1{2
}na a 为递减数列，则（ ）
个单位长度，所得图象对应的函数（
）
A． 0
d
B．
d
0
C． 1
a d
0
a d
0
x
的图象向右平移
)
3
D． 1
2
9.将函数 3sin(2
y
,
,
B．在区间
A．在区间
7
]
[
12 12
7
]
[
12 12
]
6 3
]
6 3
10.已知点 ( 2,3)
C．在区间[
D．在区间[
A
,
,
上单调递减
上单调递增
上单调递减
上单调递增
在抛物线 C： 2
y
2
px
的准线上，学 科网过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，
记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为（
）
A．
B．
1
2
2
3
11.当 [ 2,1]
C．
3
4
x 时，不等式 3
ax
4
3
2
D．
x
4
x
恒成立，则实数 a 的取值范围是（
3 0
）
A．[ 5, 3]
B．
[ 6,
9
8
]
C．[ 6, 2]
D．[ 4, 3]
ZXXK
12.已知定义在[0,1] 上的函数 ( )
f x 满足：
① (0)
f
f
(1) 0
；
②对所有 ,
x y
[0,1]
，且 x
y ，有
|
( )
f x
( ) |
f y
1
2
|
x
y
|
.
若对所有 ,
x y
[0,1]
，|
( )
f x
( ) |
f y
，则 k 的最小值为（
k
）
A．
1
2
B．
1
4
C．
1
2
D．
1
8
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.执行右侧的程序框图，若输入 9
x ，则输出 y
. ZXXK
14.正方形的四个顶点 ( 1, 1),
A
B
(1, 1),
C
(1,1),
D
( 1,1)
分别在抛物线
y
x 和
2
y
2
x 上，如图所示，
若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是
.
15.已知椭圆 C：
2
x
9
2
y
4
，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN
1
的中点在 C 上，则|
AN
|
BN
|
|
. ZXXK
16.对于 0
c ，当非零实数 a，b 满足 2
a
4
2
ab
2
4
b
，且使| 2
0
c
a b 最大时，
|
3
a
的最小值
4
b
5
c
为
.
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分 12 分）
在 ABC
中，内角 A，B，C 的对边 a，b，c，且 a
c ，已知
BA BC
2
，
cos
B ， 3b ，求：
1
3
（1）a 和 c 的值；
（2） cos(
B C 的值.
)
18. （本小题满分 12 分）
一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个的概率；
（2）用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，期望 (
E X 及方差
)
)D X .
(
19. （本小题满分 12 分）
如图， ABC
和 BCD
所在平面互相垂直，且
为 AC、DC 的中点.
（1）求证： EF
（2）求二面角 E BF C
BC
；
的正弦值.
AB BC BD
，
2
ABC
DBC
0
120
，E、F 分别
20. （本小题满分 12 分）
圆 2
x
2
y
的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P（如图），
4
双曲线
C
1
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1
过点 P 且离心率为 3 .
（1）求 1C 的方程；
（2）椭圆 2C 过点 P 且与 1C 有相同的焦点，直线l 过 2C 的右焦点且与 2C 交于 A，B 两点，若以线段 AB 为直
径的圆心过点 P，求l 的方程.
21. （本小题满分 12 分）
已知函数
( )
f x
(cos
x
x
)(
2 )
x
(0,
)
2
x
证明：（1）存在唯一 0
,
(
2
x
（2）存在唯一 1
)
1)
，
( ) 3(
g x
x
x
)cos
x
4(1 sin )ln(3
x
2
)x
.
x
(sin
8
3
f x ；
) 0
，使 0(
，使 1(
g x ，且对（1）中的 0
x
) 0
x
.
1
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅笔在答
题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
如图，EP 交圆于 E、C 两点，PD 切圆于 D，G 为 CE 上一点且 PG PD
，连接 DG 并延长交圆于点 A，作弦
AB 垂直 EP，垂足为 F.
（1）求证：AB 为圆的直径；
（2）若 AC=BD，求证：AB=ED.
23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
将圆 2
x
2
y
上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C.
1
（1）写出 C 的参数方程；
（2）设直线 : 2
l
x
y 与 C 的交点为 1
2 0
,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，
2
求过线段 1 2PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
设函数 ( )
f x
2 |
x
（1）求 M；
1|
，
1
x
( ) 16
g x
x
2
8
x
，记 ( ) 1
1
f x 的解集为 M， ( ) 4
g x 的解集为 N.
（2）当 x M N
时，证明： 2
( )
x f x
[
x f x
2
( )]
1
4
.
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