最优控制倒立摆 matlab仿真.doc

发布时间：2022-06-08 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.26M 资料格式：doc 举报版权申诉

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学号：P09175 专业：检测技术及自动化装置姓名：尤方 3—12：倒立摆如课本图中所示，其参数为：小车的质量 M=1.0kg，摆长 l=0.5m,摆的质量 m=0.5kg，设集中于摆端，重力加速度 g=9.81m/s^2,倒立摆的摆角为小车的位移为 s 。倒立摆的线性化运动方程为： x’(t)=Ax(t)+b*u(t),x(t0)=x0,式中 x(t)=[x1(t) x2(t) x3(t) x4(t) ]’=[s(t) s’(t) A=[0 1 0 0;0 0 –mg/M 0;0 0 0 1;0 0 (M+m)g/Ml 0] (t) ]’ 。 (t) =[0 1 0 0;0 0 -4.905 0;0 0 0 1;0 0 29.43 0] b’=[0 1/M 0 -1/Ml]’=[0 1 0 -2]’试选取合适的加权矩阵 Q 和 R，用 MATLAB 的控制系统工具设计反馈控制器，并做仿真研究。解：具体设计及 MATLAB 仿真程序及图形如下所示：（1）、>> A=[0 1 0 0;0 0 -4.905 0;0 0 0 1;0 0 29.43 0]; >> eig(A) ans = 0 0 5.4249 -5.4249 >> B=[0;1;0;-2]; >> Q=[200 0 0 0;0 1 0 0;0 0 50 0;0 0 0 1]; >> R=[1]; >> [K,S,E]=lqr(A,B,Q,R) K = -14.1421 -12.3870 -67.5858 -14.0525 S = E = 175.1785 76.2187 198.7330 45.1804 76.2187 46.5012 128.8883 29.4441 198.7330 128.8883 454.1226 98.2370 45.1804 29.4441 98.2370 21.7483 -5.5650 + 0.9179i -5.5650 - 0.9179i -2.2940 + 1.8600i -2.2940 - 1.8600i >> ap=[A-B*K]; >> bp=B; >> cp=[1,0,0,0]; >> dp=0; >> [ap,bp,cp,dp]=augstate(ap,bp,cp,dp); >> cp=[cp;-K]; 1

>> dp=[dp;0]; >> G=ss(ap,bp,cp,dp); >> [y,t,x]=step(G); >> figure(1) >>plot(t,y(:,1),'k.',t,y(:,2),'k--',t,y(:,3),'g',t,y(:,4),'r', t,y(:,5),'b') >> xlabel('t(sec.)') >> title('系统输出和状态轨线') >> gtext('y(t)') >> gtext('x_1(t)') >> gtext('x_2(t)') >> gtext('x_3(t)') >> gtext('x_4(t)') >> figure(2) >> plot(t,y(:,6),'k.',t,y(:,7),'k--') >> xlabel('t(sec.)') >> title('最优控制轨线') >> gtext('u_1(t)') >> gtext('u_2(t)') 2

（2）、A=[0 1 0 0;0 0 -4.905 0;0 0 0 1;0 0 29.43 0]; >> eig(A) ans = >> B=[0;1;0;-2]; >> Q=[80 0 0 0;0 1 0 0;0 0 50 0;0 0 0 1]; >> R=[1]; >> [K,S,E]=lqr(A,B,Q,R) K = -8.9412 -58.0080 -11.8723 39.4724 28.6341 81.9444 18.7877 106.1894 81.9444 329.6816 69.9762 24.2083 18.7877 69.9762 15.3300 0 0 5.4249 -5.4249 S = -8.9443 79.9724 39.4724 106.1894 24.2083 E = -5.6395 + 0.8267i -5.6395 - 0.8267i -1.7622 + 1.5153i -1.7622 - 1.5153i >> ap=[A-B*K]; >> bp=B; >> cp=[1,0,0,0]; 3

>> dp=0; >> [ap,bp,cp,dp]=augstate(ap,bp,cp,dp); >> cp=[cp;-K]; >> dp=[dp;0]; >> G=ss(ap,bp,cp,dp); >> [y,t,x]=step(G); >> figure(1) >> plot(t,y(:,1),'k.',t,y(:,2),'k--',t,y(:,3),'g',t,y(:,4),'r', t,y(:,5),'b') >> xlabel('t(sec.)') >> title('系统输出和状态轨线') >> gtext('y(t)') >> gtext('x_1(t)') >> gtext('x_2(t)') >> gtext('x_3(t)') >> gtext('x_4(t)') >> figure(2) >> plot(t,y(:,6),'k.',t,y(:,7),'k--') >> xlabel('t(sec.)') >> title('最优控制轨线') >> gtext('u_1(t)') >> gtext('u_2(t)') 4

（3）、A=[0 1 0 0;0 0 -4.905 0;0 0 0 1;0 0 29.43 0]; >> eig(A) ans = 0 0 5.4249 -5.4249 >> B=[0;1;0;-2]; >> Q=[200 0 0 0;0 1 0 0;0 0 15 0;0 0 0 1]; >> R=[1]; >> [K,S,E]=lqr(A,B,Q,R) K = -14.1421 -12.3160 -66.9780 -13.9783 S = E = 174.1752 75.3425 197.6832 44.7423 75.3425 45.4628 127.4152 28.8894 197.6832 127.4152 447.1428 97.1966 44.7423 28.8894 97.1966 21.4339 -2.3491 + 1.9635i -2.3491 - 1.9635i -6.0486 -4.8938 5

>> ap=[A-B*K]; >> bp=B; >> cp=[1,0,0,0]; >> dp=0; >> [ap,bp,cp,dp]=augstate(ap,bp,cp,dp); >> cp=[cp;-K]; >> dp=[dp;0]; >> G=ss(ap,bp,cp,dp); >> [y,t,x]=step(G); >> figure(1) >> plot(t,y(:,1),'k.',t,y(:,2),'k--',t,y(:,3),'g',t,y(:,4),'r') >> xlabel('t(sec.)') >> title('状态轨线') >> gtext('x_1(t)') >> gtext('x_2(t)') >> gtext('x_3(t)') >> gtext('x_4(t)') >> figure(2) >> plot(t,y(:,6),'k.',t,y(:,7),'k--') >> xlabel('t(sec.)') >> title('最优控制轨线') >> gtext('u_1(t)') >> gtext('u_2(t)') 6

仿真结果研究分析：（1）根据加权矩阵 Q 和 R 数据的设置准则再结合题目中倒立摆实验的具体情况，Q 选择为对角阵，R 选择为正常数，结合实际情况，本题中选择 R=1 不变。（2）本题中四个状态变量分别为:倒立摆的位移、速度、摆角、角速度，它们都是有实际意义的物理量。因此，Q 选择为对角阵，对角元素为非负值，从对角线元素的大小，可直接反映控制输入或状态变量对目标函数影响的大小。（3）Q 和 R 的数值时相对的，它们分别表示减小误差的权和减小控制能量的权的相对重要程度。由于数值的相对性，实际应用时，通常将 R 值固定，然后改变 Q 的数值，最优控制的确定通常在经过仿真和实际比较后得到。（4）倒立摆实验中，侧重对位移和摆角的分析研究，因此在选择 Q 阵对角元素时，也对位移和摆角对应项有所侧重。（5）本次仿真实验依据老师要求，选择三组 Q 和 R 对倒立摆进行分析研究，其数据罗列如下：第一组、Q=[200 0 0 0;0 1 0 0;0 0 50 0;0 0 0 1]; 1、因为输出矩阵 C 选择为[1,0,0,0],因此输出 y(t)=x1(t)，即系统输出轨线与位移状态轨线相同。 2、因为选择加权矩阵 R=[1]不变，由三组仿真结果知最优控制轨线相同。 3、由理论再结合仿真图形知：速度状态变量轨线是位移状态变量轨线的斜率变化曲线，角速度状态变量轨线是摆角状态变量轨线的斜率变化曲线。 7 R=[1]; R=[1]; 第二组、Q=[80 0 0 0;0 1 0 0;0 0 50 0;0 0 0 1]; 第三组、Q=[200 0 0 0;0 1 0 0;0 0 15 0;0 0 0 1]; R=[1];

3、由三组仿真状态轨线知，位移、速度、摆角、角速度四个状态变量中，位移变量随时间由零点开始变化，最终在系统稳态下离最初的位置有一定的偏移；而速度、摆角、角速度三个状态变量，随时间由零点开始类似于正弦或余弦的曲线逐渐衰减，直到倒立摆处于倒立的稳态下，这三个状态变量最终趋于零点而稳定下来。 4、三组数据中，加权矩阵 Q 数值选择明显不同：各状态变量轨线变化的具体分析如下：相对于第一组数据，第二组数据中，大大减小了加权矩阵 Q 中对应于位移状态变量的数值，由 200 减为 80，其它的数值不变，对比两组仿真的状态轨线，分析可知，第二组仿真位移状态变量达到稳态所需时间变长，且在系统稳态下偏移变大；速度状态变量的轨线形状变化很小，但衰减振幅变大，达到稳态所需的时间加长；摆角状态变量的轨线形状基本不变，衰减振幅略微变大，达到稳态所需的时间也变长；同样角速度状态变量的轨线形状基本不变，衰减振幅略微变大，达到稳态所需的时间也变长。相对于第一组数据，第三组数据中，大大减小了加权矩阵 Q 中对应于摆角状态变量的数值，由 50 减为 15，其它的数值不变，对比两组仿真的状态轨线，分析可知，第三组仿真位移状态变量和速度状态变量的轨线基本上没有变化；摆角和角速度状态变量的轨线形状基本不变，衰减振幅稍微变大，达到稳态所需的时间略微变长。 8

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