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2018年数学建模国赛A题优秀论文.pdf

发布时间：2022-06-29 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.73M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    基于非稳态导热的高温作业专用服装设计 摘要 本文用维持恒温的假人穿高温作业专用服装模拟在高温环境下作业，研究通 过改变专用服装中的纺织层厚度以及空隙厚度对假人皮肤外侧温度变化情况的 影响。 针对问题一，通过分析得出高温恒温热源向专用服装的四层介质之间以热传 导方式进行热量传递，再简化各层介质为各向同性的长方体，从而建立四个一维 热传导的偏微分方程组。根据 Fourier 实验定律并结合温度场在初始时刻、介质 之间以及与周围边界热量交换情况，得到四个区域的定解条件。考虑到温度场在 多层介质之间的分布难以求得具体函数表达式，故而利用有限差分方法中的后向 欧拉法，求出温度场在不同时刻的空间分布。附件 2 中的假人外侧皮肤的温度在 1000s 内呈现指数急剧上升至 47℃，1000s 到 5400s 时基本不发生变化并维持在 48℃，此时与假人所带低温热源达到动态平衡。同时在确定温度场的分布后，得 到空气层与假人皮肤外侧边界之间的热交换系数。 针对问题二，首先确定出Ⅱ层介质最优厚度要考虑经济成本以及高温作业时 的行动方便，所以只需在满足问题二中的约束条件下使得Ⅱ层介质厚度 2d 最小 即可。这时由于Ⅱ层介质的厚度 2d 作为自变量，需要利用问题一中的热交换系数 确定间隙层热传导方程的边界条件，再利用黄金分割法在附件 1 中所给参数的 区间范围内快速搜索确定 2d ，最终确定出偏微分方程的定解条件，从而得到整体 温度场的分布，最后根据人体皮肤外侧温度在满足条件后确定出Ⅱ层介质厚度 2d 最小为 15.7mm。其次在满足工作时间为 3600s 的条件下，温度超过 44.0℃且 小于 47℃所需时间为 3327s。满足两者之间不超过 300s 的约束条件。工作时间 达到 3600s 的皮肤外侧温度为 44.05℃。最后将每次搜索 2d 所得到的皮肤最外侧 温度分布绘成二维图像，分析出 2d 越大使皮肤外侧使温度随时间变化减小，但不 会影响最终的平衡温度。 针对问题三，在问题二的基础上增加变量 4d 进一步确定最优的厚度组合。首 先将厚度 2d , 4d 视作平面上的点（ 2d , 4d ），其次对平面的点搜索，确定出满足问 题三约束条件下的点集。这里求出 83 个满足约束的点。其次是考虑高温环境下 作业人员应尽快完成作业，所以把高温下的工作服体积小、质量轻方便作业人员 =d   最小，找出 操作为主要因素，把舒适程度当作辅助因素。确定厚度标准 2 最终符合的点（16.8，6.4），即Ⅱ层介质厚度为 16.8mm，Ⅳ层厚度为 6.4mm。 温度超过 44℃不超过 47℃所需时间为 1512s,工作时间为 1800s 的温度为 44.7℃。 d 4 关键词：温度场 热传导方程 有限差分法 Fourier 实验定律   1 
    1 问题重述 1.1 问题背景 服装作为人类在物质生产及生活活动中最基本的保证之一，是人与环境间的 中间体，充当着我们第二皮肤的作用。如今人类从事的生产活动随时代发展变得 越来越复杂且多变，所以在不同环境下对服装性能的要求变得愈发重视。这其中 热防护功能一直被持续关注着，热防护服装隔热保温功能的研究也一直是国家安 全的发展和振兴纺织业产品的重要课题。因此，建立高温环境下热防护服装的热 设计模型，并结合人体皮肤模型给出合理评估显得尤为必要。 1.2 问题重述 在高温环境下工作需要穿着专用服装来避免灼伤。专用服装通常由三层织物 材料Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ层，其中Ⅰ层与外界接触，Ⅲ层与皮肤之间存有空隙，将空隙层 记为Ⅳ层。 为设计这种专用服装，将体温控制为恒定 37℃的假人放置在实验室高温环 境下，测量假人皮肤外侧温度变化情况。为了降低研发成本、缩短研发周期，我 们需利用数学模型来模拟确定假人皮肤外侧的温度变化情况，解决以下问题： （1）专用服装材料的一些参数由附件 1 给出，设定环境温度为 75℃、Ⅱ层 厚度 6mm、Ⅳ层厚度 5mm，在工作时间为 90 分钟下开展实验，测量得假人皮肤外 侧的温度（见附件 2）。建立数学模型，计算温度分布，并生成温度分布的 Excal 文件（文件名设为 problem1.xlsx）。 （2）设定环境温度变为 65℃、Ⅳ层厚度为 5.5mm，确定Ⅱ层的最优厚度， 确保工作 60 分钟时，假人皮肤外侧温度不超过 47℃，并且超过 44℃的时间不超 过 5 分钟。 （3）当环境温度变为 80℃时，确定Ⅱ层和Ⅳ层的最优厚度，以确保工作 30 分钟时假人皮肤的外侧温度不超过 47℃，并且超过 44℃的时间不超过 5 分钟。 2 问题分析 2.1 问题一分析 高温作业下的专用服装分为四层，对于第四层考虑其服装材料的参数值如密 度，比热容以及热传导率可认为是空气层。体内温度为 37℃的假人放置在 75℃ 高温实验室中，皮肤温度根据热传导可以得出所有层织物以及空气在初始时刻的 温度为 37℃；75℃的高温热源是恒温源；通过分析附件 2 中皮肤外侧温度随时 间的变化，最后在 1148 秒左右温度维持在 48℃，之所以会维持一个稳定值，是 因为假人体内的温度维持在 37℃，这使得假人皮肤外侧的温度会维持一个稳定 值。假人体内相当于一个不断吸热的耗散源，但同时又需维持自身的恒定温度。 对于问题一是首先分析热量传输的过程，在专用服装的阻热过程中主要考虑 热传导，在间隙层中考虑空气的热量传输，又因为查阅相关文献【2】得知在间隙层 厚度小于 6.4mm 时主要考虑热传导过程不考虑热对流以及热辐射过程。本问题中 由于各层阻热各向同性，所以仅考虑一维情况下的温度分布。基于此根据能量守 恒定律以及 Fourier 实验定律可以得出四层介质的热传导方程，再根据初始时刻 的温度分布确定方程的初始条件，这里选取初始时假人体内温度 37℃当作所有 层的初始温度。其次根据温度场的连续性以及热传导规律确定衔接条件。再根据 最终高温恒温热源以及低温恒温热源确定方程的边界条件。考虑到最终求得的是 温度场的分布，应该包括空间以及时间分布，并且这四组偏微分方程求不出解析   2 
    表达式，所以利用有限数值差分法进行数值求解。最终，根据附件 2 中的表面皮 肤温度结合方程，得出低温恒温热源的热交换系数，并且需要在接下来的两问 中作为低温恒温热源的参数。 2.2 问题二分析 考虑到问题中附件 1 给出的专用服装材料的参数值，可以发现Ⅰ层和Ⅲ层的 热导率较小因而阻热能力较好并且厚度都是保持不变，所以第Ⅰ、第Ⅲ层需要较 高的经济成本，相比于第Ⅱ层的介质热导率较高阻热效果相对较差，因此可以通 过改变第Ⅱ层的厚度来进行调节温度场的分布，从而使皮肤外层的温度在一定范 围内且时间上满足一定条件。因此以第Ⅱ层介质的厚度为目标函数，通过第一问 中标定的参数热交换系数，列出新的偏微分方程边界条件以及温度场的约束条 件，使得第Ⅱ层介质的厚度最小。在具体求解中由于解偏微分方程需要进行数值 逼近，因此选用优选法进行快速搜索最终确定最小的厚度，此即问题二中最优的 厚度。 2.3 问题三分析 问题三中需要考虑最后空气层的厚度以及第Ⅱ层介质的厚度，通过查阅相 关文献【2】得知，人体外表皮在温度大于 44℃时开始发生热损伤，但是在此题中 给出 30 分钟内不超过 47℃，并且由于外表温度是单调非递减，所以必定在 25 分钟之后升至 44℃。这可以作为问题三中的约束条件。综合第二问的算法，先 以第Ⅱ层以及第Ⅳ层的厚度每次按照 0.1mm 的步长往上递增构造成一个二元点 集，接着在平面的点上进行遍历搜索将满足约束条件的点找出，再根据第Ⅱ层 的厚度最小原则进行筛选。又因为人体在高温环境下不会被损伤到的温度为 44℃，所以超过 44℃以后，人待在高温环境下的时间应当尽可能地短。 3 模型假设 1.假设忽略衣服褶皱，将织物层视为多层平行材料； 2.假设热传递沿垂直于皮肤方向传递，织物是各项同性； 3.假设再附件 1 中四层专用材料介质的参数不发生改变； 4.假设能量由高温热源到外壳过程仅考虑热传导，不考虑热辐射和热对流； 5.假设热传导率在不同温度下一致；因为本文中的温度差不是很高； 6.空气层的厚度不超过 6.4mm 时热对流影响小，所以不考虑热对流； 7.假设织物层间、织物域空气层间、空气层与皮肤间的温度分布是连续变化的， 但是温度梯度是跳跃的。   3 
    符号 sT hT iT ic i iD  4 符号说明 符号说明 表示外界高温热源恒为 75℃ 表示假人体内低温热源恒为 37℃ 专用服装第i 层介质所处的温度场 专用服装第i 层介质的比热容 专用服装第i 层介质的密度 专用服装第i 层介质的热扩散系数 表示假人皮肤外侧与空气之间的热交换系数   5 模型建立与求解 5.1 物理背景 5.1.1 衣下空气层厚度与热防护性能 对于热防护服，织物与皮肤间的空气层厚度影响着织物与皮肤间的热传导方 式。单层热防护服与多层热防护服的影响效果又有着明显差异。衣下空气层中的 热传递方式包括传导热传递、对流热传递和辐射热传递三种。 传导热传递依赖于介质、导热系数，并与温度梯度有关；对流热传递由流体 流动引起，分为自然对流和强制对流；辐射热传递包括表面对表面辐射、表面对 环境辐射和有介质参与的辐射。举例如图 5.1 所示。 图 5.1 热传导实例示意图 发动机中的强制对流散热 灯泡中的辐射散热 对于多层防护服，当织物与皮肤间空气层厚度小于或等于 6.4mm 时，由于空气层间 隙太小，气体无法形成对流运动，所以此问题背景下热传递方式主要有热传导与热辐射。 又由于热辐射是物体通过电磁波传递能量的，假人恒定温度为 37℃，在这个温度下所产 生的电磁波传递的能量较热传导的能量非常小，可忽略不计，故最终确定本问之中热量 仅通过热传导方式传递。 5.1.2 热传导 导热是物体的各部分之间不发生相对位移，依靠分子、原子和自由电子等微观粒 子的热运动所产生的热传递过程。 在热防护服的实际应用中，因为温差而引起的能量转移为传热；任何情况下，只 要在某介质中或是两个介质之间存在温差，便会发生热量从高温向低温的传递过程， 这个过程称为热传导，也叫热扩散。Fourier 定律就是描述热传导的基本定律。热传导 率描述的是材料导热能力的属性，材料不同热传导率也就不同，其值大小受温度影响   4 
    很大。但是本文中由于高温热源与低温热源之间的温差不是很大故而认定其热传导系 数，密度，比热容以及厚度均不变。 5.1.3 热传导方程的推导 设有一根截面积为 A 的均匀细杆，沿杆长有温度变化，其侧面绝热，考虑其热量 的传播过程。 由于杆是均匀且细的，所以任何时刻可以将杆的横截面上温度视为相同；由于杆 侧面绝热，因此热量只沿杆长方向传导，所以这是一个一维的热传导问题。 如图 5.2 所示，取杆中心骨架与 x 轴重合，以 ( , ) u x t 表示杆上 x 点处t 时刻 的温度。从杆内部划出一小段 x ，考察这一小段，在时间间隔 t 内热量流动情况。 设c 为杆的比热容（单位物质升高或降低单位温度所吸收或放出的热量，它与物质 图 5.2 细杆示意图 的材料有关），为杆的密度，则有：  （1）在 t 时间内引起小段 x 温度升高，所需热量为 ( , )] u x t )[ ( , Q c A x u x t      ( ) t   故当 t  时 0 Q c Au x t      t 而 Fourier 实验定律告诉我们：当介质内有温差存在时，热量由温度高处向温度低处 流动，单位时间流过单位面积的热量 q （热流密度）与温度下降率成正比： q   k u  n    其中， k 为导热率（与介质材料有关，严格来说也与温度有关，在温度变化范围不大时 的方向是通过曲面的外法向量方向；而负号表示由温度高处流向温度低处。 u  可忽略）； n  因此: （2）在 t 时间内沿 x 轴正向流入 x 处截面的热量为  ku x t A t   （3）在 t 时间内由 x x 1( ) Q x ( , ) x  处截面流出的热量为       ( ku x 2( Q x x ) x , ) x t A t    根据能量守恒定律，流入 x 段总热量与 x 段中热源产生的热量应正好是 x 段温度 升高所吸收的热量，即    5 
    Q Q Q 2   1 因此有 即 c Au x t      t ku x t A t ( , )   x    ku x x   , x t A t     c u  t   [ k u x x   u x t x ( , )]     , x t x  令 x  两边取极限 0 即 t u  k u c  u Du t  xx xx u Du t xx ， kD  c 此式即为一维的热传导方程。 5.1.4 牛顿冷却定律 牛顿冷却定律是研究温度高于周围环境的物体向周围介质传递热量逐渐冷却时所 遵循的规律。当介质表面与环境存在温差时，单位时间单位面积散失的热量与温度成正 比，这个比例系数称之为热传递系数。牛顿冷却定律在强制对流情况下与实际符合较好， 在自然对流时仅在温差不太大的情况下成立。该定律用于计算介质中对流热量的多少。 Q k T  0( t    )    式中 0k 与介质表面温度、表面光洁度、表面积以及环境温度有关，称 0k 为耗散系数， 在 ( 5.2 问题一模型的建立 T  不大时， 0k 为常数，上式便为牛顿冷却定律的微分形式。 ) 针对“环境-防护服-人体”系统，提出高温下织物以及空气层的热传递数学模 型。“环境-防护服-人体”系统的各层分布示意图如 5.3   图 5.3“环境-防护服-人体”系统示意图 6 
    建立热力学传导方程： T  1   t  T   2   t  T   3   t  T   4   t      2 2 2 1 1 2 TD 2  x  TD 2  x  TD 2  x  TD 2  x  3 4 3 2 4 2 ,0   x x 1 , x 1   x x 2 , x 2   x x 3 , x 3   x x 4 （5-2-1） ·几何条件 考虑到织物之间无褶皱并且相对研究的单位面积下可以认为其是平行的平面，在假人以 及织物之间的间隙层可以认为是一些孔网状结构，从而空气占有较大，近似地认为是空 气层。 ·初始条件 对于含有时间变量t 的数理方程来说，其未知函数将随t 不同而有不同的 值，故必然要反映某一时刻物理量与相邻时刻的同一物理量之间的关系，所以求解问题 过程中必须追溯到早先某个所谓“初始”时刻的状况，即建立初始条件。 t   s 时四个介质层的初始温度都为 37 hT  ℃，可得四个区域的热传导方程初始条 0 件如下所示：   T x  1  T x  2  T x  3  T x  4 ( ,0) ( ,0) ( ,0) ( ,0)     T h T h T h T h   （5-2-2） hT  ℃表示假人体皮肤外侧表面初始温度， ( ,0) iT x 表示各层介质的初始时刻温度。 其中 37 ·衔接条件 在研究具有不同介质的问题时，这时方程数目增多，除边界方程外，还需加不同介 质界面处的衔接条件。 四个区域热传导方程衔接条件：  ( T x  1 1   T  k 1 1 x    ( T x  2 2  Tk   2  x   ( T x   3 3  T   3  x   k 2 3 0, ) t   0 x x   1 0, ) t   0 x x   2 0, ) t  x x   3 0 0 2 k 0, ) t ( T x  1 2 T  2 x  0 x x   1 ( 0, ) T x t  2 2 T  3 x  ( T x  3 3 T  4 x  x x   2 0, ) t k k 3 4 x x   3 0   （5-2-3）   7 
    ·边界条件 由于温度场中的未知函数均是空间位置函数，这必然反映到连续体的物理量在某一 位置的取值与其相邻位置的取值间的关系，这种关系延伸到被研究区域的边界，会与边 界状况发生联系，即边界状况将通过逐点影响题目讨论的整个区域。 根据第Ⅰ层织物直接与 sT 热源接触得出第一个边界条件，同时考虑到假人体内的低 温恒温热源会使热量吸收从而冷却假人皮肤表面，但是温度仍会不断上升，一段时间后 达到动态平衡使得皮肤表面维持恒定温度。因此考虑第三类边界条件，利用牛顿冷却定 律得到热传导方程的第二个边界条件： T s    （5-2-4）  (0, ) T t  1  T  4   t x x  4    , T x t   4 4    T h     其中 sT 表示外界高温热源为 75℃， hT 表示假人体内恒温热源为 37℃，表示热交换系 数。  5.3 问题一模型的求解 一维热传导方程 t 是最简单的偏微分方程之一，本文是偏微分方程组的联立， T DT xx 并且定解条件较为复杂，因此应当求出其数值解。一般求解偏微分方程有有限元法和有 限差分法等。  在本问题中采用有限差分法处理，它以 Taylor 级数展开等方法，将约束方程中的 导数用网格节点上的函数值的差商代替来进行离散，建立以网格节点上的值为未知数的 代数方程组。其基本思想是将连续定解区域用有限个离散点构成的网格代替，离散点称 为网格节点；将连续定解区域内连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数近似； 原方程和定解条件中的微商用差商近似；积分用积分和近似，于是将原微分方程与定解 条件近似地代之以代数方程组，即为有限差分方程组；解方程组便能得到原问题在离散 点上的近似解，再利用插值法从离散解中得到定解问题在整个区域上的近似解。  计算步骤为：1.区域的离散；2.插值函数选择；3.方程组建立；4.方程组求解。  利用有限差分法对偏微分方程进行数值求解，不同于对常微分方程进行数值求解。 常微分方程只需考虑初始条件以及差分的前一项，由这两个条件就可以确定出所有的值。 但偏微分方程的自变量不止一个，所以需要初始条件以及边界条件来确定。在有限差分 法中不仅需要确定一个点前一时刻的函数值仍需确定下一个时刻的函数值，并且位置也 需要考虑前后的函数值。 Crank-Nicolson 方法是一种数值分析的有限差分法，对于扩散方程及其他方程是无 条件稳定的，但是如果时间步长乘以热扩散率，再除以步长的平方即 的值过大（根据冯 诺依曼稳定性分析，以大于 1/2 为准），且一般 ，所以近似解中将存在虚假的振荡或衰 减。基于这个原因，当要求大时间步或高空间分辨率时，通常采用数值精确交差的后向 欧拉法，既保证了稳定性又可减少解的伪振荡。 Crank-Nicolson 方法在空间域上使用中心差分，时间域上应用梯形公式，保证了时 间域上的二阶收敛。比如一维微分方程： T  t   TD 2  x  2   （5-3-1） 令 ( T i x n t  , )   ，通过 Crank-Nicolson 方法导出的中心差分方程，第 n 步上采用 n T i 8     
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