2007年北京高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2007 年北京高考文科数学真题及答案本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 9 页，共 150 分．考试时间 120 分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第 I 卷（选择题共 40 分）注意事项： 1．答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知 cosθ•tanθ＜0，那么角是（Ａ．第一或第二象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｄ．第一或第四象限角） 2．函数 ( ) 3 (0 f x  x  ≤ 的反函数的定义域为（ 2) x ）Ａ． (0 ) ，Ｂ． (1 9]，Ｃ． (0 1)，Ｄ．[9 ) ， 3．函数 ( ) f x  sin 2 x  cos 2 x 的最小正周期是（）Ａ． π 2 4．椭圆Ｂ． π Ｃ． 2π Ｄ． 4π 2 2 x a  2 2 y b  1( a   的焦点为 1F ， 2F ，两条准线与 x 轴的交点分别为 M N，， 0) b 若 MN F F≤ 1 2 ，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．    10 ， 2    Ｂ．     2 0 ， 2    Ｃ．   1 1  ，  2  Ｄ．     2 1 ，   2  5．某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成，其中 4 个数字互不相同的牌照号码共有（） 4 A 个 10 Ａ． Ｃ． C C 1 26 2 2 1 26 10 Ｂ． 2 A A 个 26 4 10 4 个Ｄ． 2 2610A 4 个 ≥ ，  表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是（） 6．若不等式组 x y 0      5 y   a ≥ ， x ≤ ≤ 2 a ≥ Ａ． 5a  7．平面∥平面的一个充分条件是（Ｂ．Ｃ．5 7 a ≤ 7 Ｄ． 5a  或 a ≥ 7 ）Ａ．存在一条直线 a  ， ∥ ， ∥  a 

Ｂ．存在一条直线 a a ， a ， ∥  Ｃ．存在两条平行直线 a b a ，，   b ，   ， ∥ ， ∥   a b Ｄ．存在两条异面直线 a b a ，，   ， ∥ ， ∥   a b 8．对于函数① ( ) f x x  ，② 2 ( ) f x ( x 题的真假： 2  ，③ ( ) f x 2)  cos( x  ，判断如下两个命 2) 命题甲： ( f x  是偶函数； 2) 命题乙： ( ) f x 在 (  ，上是减函数，在 (2 ) ) ，上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② ）Ｄ．③ 第 II 卷（共 110 分）注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在题中横线上． 9． ( ) f x 是 ( ) f x  31 x 3  2 x 1  的导函数，则 ( 1) f   的值是． 10．若数列 na 的前 n 项和 nS  n 2 10 ( n n   1 2 3 ，，，，则此数列的通项公式为 ) ． 11．已知向量 a =  ． 2 4 ，，  b = 11   ，．若向量 b ( a + b ，则实数的值是 ) 12．在 ABC△ 中，若 tan A  ， 1 3 C  150  ， BC  ，则 AB  1 ． 13．2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为，那么 cos 2的值等于． 14．已知函数 ( ) f x ， ( )g x 分别由下表给出 x ( ) f x 1 2 2 1 3 1 x ( ) f x 1 3 2 2 则 [ (1)] f g 的值为；当 [ g f x  时， x  ( )] 2 3 1 ．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题共 12 分） x a  1 x  a  ，求 P ；记关于 x 的不等式（I）若 3 （II）若Q P ，求正数 a 的取值范围． 0  的解集为 P ，不等式 1 x  ≤ 的解集为Q ． 1  （ c 是常数， 1 2 3 n  cn a ，，，），且 1 3 a，，成公比不为1 a 2 n a a 2   1n 16．（本小题共 13 分）数列 na 中， 1 a  的等比数列．（I）求 c 的值；（II）求 na 的通项公式． 17．（本小题共 14 分） π 6 4   可中， OAB  ，斜边 AB  ．Rt AOC△ 以直线 AO 为轴旋转得到，且二面角 B AO C 如图，在 Rt AOB△ 以通过 Rt AOB△ 的直二面角． D 是 AB 的中点．（I）求证：平面COD  平面 AOB ；（II）求异面直线 AO 与CD 所成角的大小． 18．（本小题共 12 分）某条公共汽车线路沿线共有 11 个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有 6 位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：（I）这 6 位乘客在其不相同的车站下车的概率；（II）这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率； 19．（本小题共 14 分）如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 (2 0) M ，， AB 边所在直线的方程为 3 y x   点 ( 11) T  ，在 AD 边所在直线上． 6 0 （I）求 AD 边所在直线的方程；（II）求矩形 ABCD 外接圆的方程；（III）若动圆 P 过点 ( 2 0) N  ，，且与矩形 ABCD 的外接圆外切，求动圆 P 的圆心的轨迹方程． 20．（本小题共 14 分） A O D B C N y T D O A C M B x 已知函数 y kx 与 y  2 x ( A x  ≥ 的图象相交于 1 2( 0) x ( y，， 2 B x ) 1 y，， 1l ， 2l 分别是 ) 2 y  2 x  ≥ 的图象在 A B，两点的切线， M N，分别是 1l ， 2l 与 x 轴的交点． 2( 0) x （I）求 k 的取值范围；（II）设 t 为点 M 的横坐标，当 1 x x 时，写出t 以 1x 为自变量的函数式，并求其定义域 2

和值域；（III）试比较 OM 与 ON 的大小，并说明理由（ O 是坐标原点）．参考答案一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1．Ｃ 7．Ｄ二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 2．Ｂ 8．Ｃ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｃ 9．3 10． 2 n  11 11． 3 13． 7 25 14．1 1 12． 10 2 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15．（共 12 分）解：（I）由 3 x  1 x   x x P    1 x ≤ （II），得 Q  0 1 0 2    x  3  ≤ ≤ ． x 1    ． x 由 0a  ，得 P   x    ，又Q P ，所以 2a  ， 1 x  a 即 a 的取值范围是 (2 ) ，． 16．（共 13 分）解：（I） 1 a  ， 2 a 2 a   ， 3 2 c   ， 2 3 c 因为 1a ， 2a ， 3a 成等比数列，所以 (2  2 c )  2(2 3 ) c  ，  解得 0c  或 2c  ．当 0c  时， 1 a a 2 a 3 n≥ 时，由于 c （II）当  ， a 2  a 1 2  ，不符合题意舍去，故 2c  ．  ， 2 c 2 a a  3  a a  1 n n  ( n 1) c  ，所以 a n  a 1    [1 2   ( n  1)] c  1) ( n n c 2 ．

2 2 na ( n n   a  ， 2c  ，故又 1 当 1n  时，上式也成立， 1 2  ，，．   所以 2(  n n n ) na 2 1)   2 n   n 2( n  ，，． 2 3 )  ，   CO BO ， BO AO  是直二面角，，又 AO BO O 是二面角 B AO C 17．（共 14 分）解法一：（I）由题意，CO AO BOC    CO  平面 AOB ，又CO  平面COD ．  平面COD  平面 AOB ．（II）作 DE OB ，垂足为 E ，连结CE （如图），则 DE  在 Rt COE△ 是异面直线 AO 与CD 所成的角． 1 2 CO BO  ， CDE  ， BO OE 中，， 2 1    CE 又 DE  2  ． 5 2  CO OE 1 2 AO 3  ． A O D E B AO∥ ， C  在 Rt CDE△ 中， tan CDE  CE DE   5 3 15 3 ．  异面直线 AO 与CD 所成角的大小为 arctan 15 3 ．解法二：（I）同解法一．（II）建立空间直角坐标系 O xyz  ，如图，则 (0 0 0) O ，，， (0 0 2 3) A ，，， (2 0 0) C ，，， D ，，， (0 1 3)    cos   OACD ，  OA  (0 0 2 3) ，，， ( 2 1 3) ，，，  CD     OA CD   OA CD   z A D  6  2 3 2 2  6 4 ．  异面直线 AO 与CD 所成角的大小为 arccos 6 4 ． O x C B y

18．（共 13 分）解：（I）这 6 位乘客在互不相同的车站下车的概率为 P  6 A 10 6 10  1512 6 10 ≥ .1512 ．（II）这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率为 3 3 9 CP   6 6 10  1458 6 10  0.01458 ． 19．（共 14 分）解：（I）因为 AB 边所在直线的方程为 3 y 斜率为 3 ．又因为点 ( 11) T  ，在直线 AD 上， x   ，且 AD 与 AB 垂直，所以直线 AD 的 6 0 所以 AD 边所在直线的方程为 1    y 3( x 1)  ． 3 x y   ． 2 0 （II）由 x   3  3  x   y y   6 0 2 = 0 ，解得点 A 的坐标为 (0 2)，，因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 (2 0) 所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心． 2 2 (0 2) (2 0) AM  又．  2  2   M ，．从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 ( x  2 2)  2 y  ． 8 （III）因为动圆 P 过点 N ，所以 PN 是该圆的半径，又因为动圆 P 与圆 M 外切，所以 PM PN  2 2 ，即 PM PN  2 2 ．故点 P 的轨迹是以 M N，为焦点，实轴长为 2 2 的双曲线的左支．因为实半轴长 a  ，半焦距 2c  ． 2 所以虚半轴长 b  2 c  2 a  ． 2 从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为 2 x 2  2 y 2  1( x ≤ 2) ． 20．（本小题共 14 分）

解：（I）由方程 y   y   kx ， 2 2 x  消 y 得 2 x kx 依题意，该方程有两个正实根，故    x   1 2 k x 2 8 0   ，解得 2 2 0 k   ， k  ．   ．················· ① 2 0  （II）由 ( ) f x  ，求得切线 1l 的方程为 x 2 y  2 ( x x 1  x 1 )  ， y 1 由 y 1 2 x 1  ，并令 0 y  ，得 2 t  x 1 2  1 x 1 1x ， 2x 是方程①的两实根，且 1 x x ，故 2 x 1  k  2  8  k 2 k  4 k 2  8 ， 2 2 k  ， 1x 是关于 k 的减函数，所以 1x 的取值范围是 (0 2)，． t 是关于 1x 的增函数，定义域为(0 2)，，所以值域为 ( ，0 ， ) x （III）当 1 x 时，由（II）可知 2 OM t    x 1 2  ． 1 x 1 类似可得 ON  x 2 2  ． 1 x 2 OM ON    x 2  x 1  2 x 2 x  1 x x 1 2 ．由①可知 1 2 x x  ． 2 从而 OM ON  ． 0 x 当 2 x 时，有相同的结果 1 OM ON  ． 0 所以 OM ON ．

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