2007年北京高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2007 年北京高考理科数学真题及答案一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1．（5 分）已知 cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 2．（5 分）函数 f（x）=3x（0＜x≤2）的反函数的定义域为（） A．（0，+∞） B．（1，9] C．（0，1） D．[9，+∞） 3．（5 分）平面α∥平面β的一个充分条件是（） A．存在一条直线 a，a∥α，a∥β B．存在一条直线 a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α 4．（5 分）已知 O 是△ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且，那么（） A． B． C． D． 5．（5 分）记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（） A．1440 种 B．960 种 C．720 种 D．480 种 6．（5 分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是（） A． B．0＜a≤1 C．0＜a≤1 或 D． 7．（5 分）如果正数 a，b，c，d 满足 a+b=cd=4，那么（） A．ab≤c+d 且等号成立时 a，b，c，d 的取值唯一 B．ab≥c+d 且等号成立时 a，b，c，d 的取值唯一 C．ab≤c+d 且等号成立时 a，b，c，d 的取值不唯一 D．ab≥c+d 且等号成立时 a，b，c，d 的取值不唯一

8．（5 分）对于函数①f（x）=lg（|x﹣2|+1），②f（x）=（x﹣2）2，③f（x）=cos（x+2），判断如下三个命题的真假：命题甲：f（x+2）是偶函数；命题乙：f（x）在（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；命题丙：f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（） A．①③ B．①② C．③ D．② 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 9．（5 分） = ． 10．（5 分）若数列{an}的前 n 项和 Sn=n2﹣10n（n=1，2，3，…），则此数列的通项公式为；数列 nan 中数值最小的项是第项． 11．（5 分）在△ABC 中，若 tanA= ，C=150°，BC=2，则 AB= 12．（5 分）已知集合 A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}．若 A∩B=∅，则实数 a 的取值．范围是． 13．（5 分）2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么 cos2θ 的值等于． 14．（5 分）已知函数 f（x），g（x）分别由下表给出 x 1 f（x） 1 x 1 g（x） 3 2 3 2 2 3 1 3 1 则 f[g（1）]的值为；满足 f[g（x）]＞g[f（x）]的 x 的值是．

三、解答题（共 6 小题，满分 80 分） 15．（13 分）数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c 是常数，n=1，2，3，…），且 a1，a2，a3 成公比不为 1 的等比数列．（1）求 c 的值；（2）求{an}的通项公式． 16．（14 分）如图，在 Rt△AOB 中，，斜边 AB=4．Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AO 为轴旋转得到，且二面角 B﹣AO﹣C 是直二面角．动点 D 在斜边 AB 上．（Ⅰ）求证：平面 COD⊥平面 AOB；（Ⅱ）当 D 为 AB 的中点时，求异面直线 AO 与 CD 所成角的余弦值大小；（Ⅲ）求 CD 与平面 AOB 所成角最大时的正切值大小． 17．（14 分）如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M（2，0），AB 边所在直线的方程为 x ﹣3y﹣6=0 点 T（﹣1，1）在 AD 边所在直线上．（Ⅰ）求 AD 边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形 ABCD 外接圆的方程；（Ⅲ）若动圆 P 过点 N（﹣2，0），且与矩形 ABCD 的外接圆外切，求动圆 P 的圆心的轨迹方程．

18．（13 分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有 100 名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量 ξ的分布列及数学期望 Eξ． 19．（13 分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为 2r，短半轴长为 r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 AB 是半椭圆的短轴，上底 CD 的端点在椭圆上，记 CD=2x，梯形面积为 S．（Ⅰ）求面积 S 以 x 为自变量的函数式，并写出其定义域；（Ⅱ）求面积 S 的最大值． 20．（13 分）已知集合 A={a1，a2，…，ak（k≥2）}，其中 ai∈Z（i=1，2，…，k），由 A 中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b ∈A，a﹣b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合 S 和 T 中的元素个数分别为 m 和 n．若对（Ⅰ）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质 P 并对其中具有性质 P 的集合，于任意的 a∈A，总有﹣a∉A，则称集合 A 具有性质 P．写出相应的集合 S 和 T；（Ⅱ）对任何具有性质 P 的集合 A，证明：；（Ⅲ）判断 m 和 n 的大小关系，并证明你的结论．

参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1．（5 分）已知 cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角【解答】解：∵cosθ•tanθ=sinθ＜0， ∴角θ是第三或第四象限角，故选 C． 2．（5 分）函数 f（x）=3x（0＜x≤2）的反函数的定义域为（） A．（0，+∞） B．（1，9] C．（0，1） D．[9，+∞）【解答】解：函数 f（x）=3x（0＜x≤2）的反函数的定义域就是函数 f（x）=3x（0＜x≤2）的值域，由函数 f（x）在其定义域内是单调增函数得 1＜f（x）≤9，故选 B． 3．（5 分）平面α∥平面β的一个充分条件是（） A．存在一条直线 a，a∥α，a∥β B．存在一条直线 a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α 【解答】证明：对于 A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故 A 不对；对于 B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故 B 不对；对于 C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故 C 不对；对于 D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故 D 正确．

4．（5 分）已知 O 是△ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且，那么（） A． B． C． D．【解答】解：∵ ，∴ ， ∵D 为 BC 边中点， ∴ ，则，故选：A． 5．（5 分）记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（） A．1440 种 B．960 种 C．720 种 D．480 种【解答】解：可分 3 步．第一步，排两端，∵从 5 名志愿者中选 2 名有 A5 2=20 种排法，第二步，∵2 位老人相邻，把 2 个老人看成整体，与剩下的 3 名志愿者全排列，有 A4 4=24 种排法第三步，2 名老人之间的排列，有 A2 2=2 种排法最后，三步方法数相乘，共有 20×24×2=960 种排法故选 B 6．（5 分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是（） A． B．0＜a≤1 C．0＜a≤1 或 D．【解答】解：由题意可知：画可行域如图：不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，

且当直线 x+y=a 过直线 y=x 与直线 2x+y=2 的交点时，a= ．所以 a 的取值范围是：0＜a≤1 或 a≥ 故选 C． 7．（5 分）如果正数 a，b，c，d 满足 a+b=cd=4，那么（） A．ab≤c+d 且等号成立时 a，b，c，d 的取值唯一 B．ab≥c+d 且等号成立时 a，b，c，d 的取值唯一 C．ab≤c+d 且等号成立时 a，b，c，d 的取值不唯一 D．ab≥c+d 且等号成立时 a，b，c，d 的取值不唯一【解答】解：如果 a，b 是正数，则根据均值不等式有：，则（a+b）2≥4ab 如果 c，d 是正数，则根据均值不等式有：；则 ∵a，b，c，d 满足 a+b=cd=4， ∴2 当且仅当 a=b=c=d=2 时取等号．化简即为：ab≤c+d 且等号成立时 a，b，c，d 的取值唯一．故选 A． 8．（5 分）对于函数①f（x）=lg（|x﹣2|+1），②f（x）=（x﹣2）2，③f（x）=cos（x+2），判断如下三个命题的真假：命题甲：f（x+2）是偶函数；

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