2009年辽宁高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2009 年辽宁高考理科数学真题及答案一- 选择题（每小题 5 分，共 60 分）（1）已知集合 M={x|-3

（9）已知偶函数 ( ) f x 在区间0, 2 3 (B) ［） ) 单调增加，则满足 (2 2 1 3 3 (C)（ 1 2 2 3 ，）（A）（ 1 3 ， f x  ＜ 1) 1( ) f 的 x 取值范围是 3 ，） (D) ［，） 1 2 2 3 （10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据 1a ， 2a ，。。。 Na ，其中收入记为正数，支出记为负数。该店用右边的程序框图计算月总收入 S 和月净盈利 V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（A）A>0,V=S-T (B) A<0,V=S-T (C) A>0, V=S+T （D）A<0, V=S+T （11）正六棱锥 P-ABCDEF 中，G 为 PB 的中点，则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC 体积之比为（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2 （12）若 1x 满足 2 x  x 2 5  , 2x 满足 2 （A） 5 2 (B)3 (C) x 7 2  2log ( 2 x 1) 5   , 1x + 2x = (D)4 （13）某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为 1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从 3 个分厂生产的电子产品中共取 100 件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为 980h，1020h，1032h，则抽取的 100 件产品的使用寿命的平均

值为 h. （14）等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 5 S 6 5 S 3  则 4a  5, （15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为 m）。则该几何体的体积为 3m （16）以知 F 是双曲线 2 x 4 2 y 12 PF PA 的最小值为（17）（本小题满分 12 分）  的左焦点， (1,4), A 1 P 是双曲线右支上的动点，则。如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 075 ， 030 ，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 060 ，AC=0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离（计算结果精确到 0.01km ， 2  1.414 ， 6  2.449）（18）（本小题满分 12 分）如图，已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内，M，N 分别为 AB，DF 的中点。（Ⅰ）若平面 ABCD ⊥平面 DCEF，求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦；（Ⅱ）用反证法证明：直线 ME 与 BN 是两条异面直线。

（19）（本小题满分 12 分）某人向一目射击 4 次，每次击中目标的概率为 1 3 。该目标分为 3 个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为 1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。（Ⅰ）设 X 表示目标被击中的次数，求 X 的分布列；（Ⅱ）若目标被击中 2 次，A表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次”，求 P（A）（20）（本小题满分 12 分）已知，椭圆 C 过点 A 3(1, 2 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； ) ，两个焦点为（-1，0），（1，0）。（Ⅱ）E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。（21）（本小题满分 12 分） 21 x 2 f x 的单调性；（Ⅰ）讨论函数 ( ) 已知函数 ( ) f x ax    ( a  1)ln , x a  1 （Ⅱ）证明：若 5a  ，则对任意 x 1 ，x 2  (0, ) ( f x ) ，x 1  x 2 ，有 1 x 1   ( f x x 2 ) 2   1 。请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲已知  ABC 中，AB=AC, D是  ABC 外接圆劣弧 AC 上的点（不与点 A,C 重合），延长 BD 至 E。（Ⅰ）求证：AD 的延长线平分  CDE；

（Ⅱ）若  BAC=30，  ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3 ，求  ABC 外接圆的面积。（23）（本小题满分 10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos（  ）=1，M,N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点。  3 （Ⅰ）写出 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标；（Ⅱ）设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程。（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 ( ) f x |    1| x | x a  。 | （Ⅰ）若 a   解不等式 ( ) 3 f x  ； 1, （Ⅱ）如果 x R   , ( ) 2 f x  ,求 a 的取值范围。参考答案 (1) B (2) D (3) B (4)B (10) C (11)C (12)C (17)解: (5)A (6)B 1 3 (14) (13)1013 (7)D (8) C (9) A (15) 4 (16)9 在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30°, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD=BA， ……5 分在△ABC 中，即 AB  AB sin  sin 60 sin15  AC BCA   3 2 AC ABC  6 ,  sin  20 因此， BD  3 2  20 6  0.33 km 。故 B，D 的距离约为 0.33km。 ……12 分（18）（I）解法一：

取 CD 的中点 G，连接 MG，NG。设正方形 ABCD，DCEF 的边长为 2，则 MG⊥CD，MG=2，NG= 2 因为平面 ABCD⊥平面 DCED，所以 MG⊥平面 DCEF，可得∠MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角。因为 MN= 6 ，所以 sin NMG  6 3 解法二：为 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值 ……6 分设正方形 ABCD，DCEF 的边长为 2，以 D 为坐标原点，分别以射线 DC，DF，DA 为 x,y,z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图.  则 M（1,0,2）,N(0,1,0),可得 MN =(-1,1,2).  又 DA =（0，0，2）为平面 DCEF 的法向量， cos 可得   MN DA ,    MN DA   MN DA  || | |   6 3 · 所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为   | MN DA  , | cos 6 3 · （Ⅱ）假设直线 ME 与 BN 共面， ……6 分 ……8 分则 AB  平面 MBEN，且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN 由已知，两正方形不共面，故 AB  平面 DCEF。又 AB//CD，所以 AB//平面 DCEF。而 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线，所以 AB//EN。又 AB//CD//EF，所以 EN//EF，这与 EN∩EF=E 矛盾，故假设不成立。所以 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线. ……12 分（19）解：

（Ⅰ）依题意知 X B ~ (4, 1 3 ) ，即 X 的分列为 X P 0 16 81 1 32 81 2 24 81 3 8 81 4 1 81 ………………6 分（Ⅱ）设 iA 表示事件“第一次击中目标时，击中第 i 部分”，i=1，2. iB 表示事件“第二次击中目标时，击中第 i 部分”，i=1，2. ( P A 依题意知 1 )  ( P B 1 ) 0.1,  ( P A 2 )  ( P B 2 ) 0.3  ， A A B 1  1  A B 1 1  A B 1 1  A B 2 2 , 所求的概率为 ) ( P A  ( P A B 1 1 )  ( P A B 1 1 )  P A B  （） 1 1 ( P A B 2 2 ) = ( ( P A P B 1 ) 1 )  ( ( P A P B 1 ) 1 )  ( P A P B （ 1 ) 1 )  ( ( P A P B 2 ) 2 = 0.1 0.9 0.9 0.1 0.1 0.1 0.3 0.3 0.28         ) ………12 分（20）解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为 x  1 2 2 b  2 2 y b  1 ，因为 A 在椭圆上，所以所以椭圆方程为 2 x 4 1 b  2  9 4 b 2  1  。 1 1 2 y 3 ，解得 2 b  ， 2 b   （舍去） 3 3 4 ……………4 分 2 x 4 2 y 3  得 1 3 2 3 4(  2 3(1, A 2 ) 2 k )  12  0 在椭圆上，所以（Ⅱ）设直线 AE 方程为： y  ( k x 1)   ，代入 (3 4  k 2 2 ) x  4 (3 2 ) k k x   设 (x , y ) E E E , F ,因为点 F (x , y ) F 34( ) k 2 3 4 k    E x 2  12 2

y E  kx E   3 2 k ………8 分又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以 k 代 k ，可得 x F  y F   所以直线 EF 的斜率 2  12 2  34( ) k 2 3 4 k  3   2 y x kx  k EF F k   E  y x E  ( k x F x x  E x  F ) 2 k  E  1 2 F F 即直线 EF 的斜率为定值，其值为 1 2 。 ……12 分 (21)解：(1) ( ) f x 的定义域为 (0, ) 。 ' ( ) f x    x a a 1  x  2 x  ax a   1 x ( x  1)(  x x 1   a ) ……2 分（ⅰ）若 1 1 a   即 2 a  ,则 ' ( ) f x  ( x 2 1)  x 故 ( ) f x 在 (0, ) 单调增加。（ⅱ）若 1 1 a   ,而 1a  ,故1 a  ,则当 ( a  时， '( ) 0 f x  ; 1,1) 2 x 当 (0, a x 1)  及 (1, x   时， '( ) 0 f x  ) 故 ( ) f x 在 ( a  单调减少，在 (0, 1,1) a  1),(1,  单调增加。 ) （ⅲ）若 1 1 a   ,即 2 a  ,同理可得 ( ) f x 在 (1, a  单调减少，在 (0,1),( 1) 调增加. （Ⅱ）考虑函数 ( ) g x    x  ax  ( a  1)ln x  x ( ) f x 21 x 2 则  ( ) g x   x ( a 1)   a 1  x  2 a g x 1  x  ( a 1) 1 (    a 1 1)   2 a   单 1, ) 由于 1

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