商业经济 Commercial Economic 基于蒙特卡洛方法的 超市收银排队问题动态仿真 ■ 焦树锋（滨州职业学院会计学院 山东滨州 256603 ） ◆ 中图分类号：F713 文献标识码：A 内容摘要：本 文 根 据 超 市 顾 客 到 达 的 随机性和服务时间的随机性，用蒙特 卡洛方法模拟不同的顾客到达和服务 水平，在 MATLAB/Simulink 上对超市单 队列多收银台的服务系统进行了动态 模拟仿真，得到不同顾客到达率和不 同服务水平下，顾客的排队等待时间， 服务器的空闲率等要素。综合考虑顾 客等待成本和商场的成本效益，进而 得出超市为满足一定服务水平应该开 设的服务器个数。 关键词：动态模拟 蒙特卡洛模拟 排 队 论 在超市收银排队系统中，顾客希望排 队等待的时间越短越好，这就需要服务机 构设置较多的收银台，这样可以减少排队 等待时间，但会增加商场的运营成本。而 收银台过少，会使服务质量降低，甚至造 成顾客流失。如何科学合理地设置收银台 的数量，以降低成本和提高效益，是商场 管理人员需要解决的一个重要问题。 蒙特卡洛方法简介 蒙特卡洛方法又称随机模拟方法，它 以随机模拟和统计试验为手段，从符合某 种概率分布的随机变量中，通过随机选择 数字的方法，产生一组符合该随机变量概 率分布特性的随机数值序列，作为输入变 量序列进行特定的模拟试验、求解（杜比， 2007）。在应用该方法时，要求产生的随机 数序列应符合该随机变量特定的概率分布。 应用该方法的基本步骤如下： 步骤1：建立概率模型，即将所研究的 问题变为概率问题，构造一个符合其特点 的概率模型；步骤2：产生一组符合该随机 变量概率分布特性的随机数值序列；步骤 3：以随机数值序列作为系统的抽样输入 进行大量的数字模拟试验，以得到模拟试 验值；步骤4：对模拟试验结果进行统计处 理（如计算频率、均值等），进而对研究问 题做出解释。 基于排队理论的仿真模型建立 （一）超市服务排队模型（M/M/C） 超市收款台服务是一个随机服务系统 （唐应辉，2006），该系统具有如下特征： 服务的对象是已经选购好商品的顾客，顾 客源是无限的，顾客之间相互独立，顾客 相继到达的时间间隔是随机的。系统有多 个服务员且对每个顾客的服务时间是相互 独立的。服务规则遵从先到后服务（FCFS） 的原则。每个收款台前都有排队队列，顾 客选择较短的队列排队等候，这样形成单 队列多服务员（M/M/C）的排队系统。超市 收银台顾客排队系统结构见图 1。 （二）产生随机数值序列 由于顾客到达间隔时间和顾客服务的 时间服从负指数颁布的随机数。令这个负 指数分布的随机数为x，负指数分布密度函 ，其分布函数为： 数为： ，F（x）的反函数为 。设 u 为[0，1]区间上的独立、 均匀分布的随机变量，则所求随机数为 ，这样得到 ，进而简化得 负指数分布的随机数（吴飞，2006）。 针对商场顾客到达和服务水平的统计 数据，据此可产生两个随机数列：顾客到 达时间间隔 a（i）和顾客服务时间 st（i）， 以此数值序列进行动 态输入仿真。 1 （三）模型变量设 置 at（i）：表示第 i 个 顾 客 到 达 时 刻 ； a（i）：表示第 i 个顾 客到达的时间间隔； st（i）：第 i 个顾客的服务时间；sst（i）： 第 i 个顾客的开始服务时间；lea（i）：第 i 个顾客离开时间；ls（j）：第 j 个队列中 最后一个顾客的离开时间；ls（m）：每个 队列中最后一个顾客离开时间的最早值； freet（j）：第 j 个服务员的平均空闲时间； w（i）：第 i 个顾客进入系统后的排队等 待时间。 其中：at（i+1）=at（i）+a（i+1）， sst（i）=max（at（i）,ls（m）），w（i）= max（0,ls（m）-at（i）），ls（m）=min（lt（j））。 仿真系统模拟 （一）超市收银台服务仿真模拟 解决超市收银台顾客排队问题，关键 是要测量常态下需要多少收银台才是适宜 的。根据商场收银台服务统计数据，可以 测算出超市收银员的服务率、顾客到达率， 然后通过仿真方法测量出超市提供多少收 银台才最适宜。基本步骤如下： 系统经过较长时间运行后达到平稳。 根据实际考察，一周之内，双休日及 表 1 第三时段（14：00-18：00）顾客到达时间与服务时间（单位：秒） 2 顾客序号 … 到达时刻 00′48〞 01′4〞 01′27〞 01′37〞 … 间隔时间 … … 服务时间 23 〞 108〞 16 〞 30 〞 10 〞 60 〞 3 〞 87 〞 3 4 999 1000 31′58〞 32′4〞 20 〞 75 〞 6 〞 74 〞 表 2 动态仿真模拟结果（顾客到达λ =277，服务强度μ =49） 5 服务台数量(个) 70.3% 64.54% 60.37% 49.37% 服务台忙率 平均等待时间 3627.5〞 250.92〞 47.09〞 20.07〞 6.73〞 4.84〞 0.44〞 99.25% 93.57% 83.49% 10 11 6 7 8 9 下转 42 页 32 商业时代 （原名 《商业经济研究》） 2010 年 29 期 

电子商务 E-Business 会产生这样那样的困惑与问题，网上商店 若不能及时、准确地回复他们，就很有可 能“得罪”客户，使得他们放弃在你网店 购物的意向而转投他人。因此，网店经营 者应该为客户提供多种联系沟通的渠道和 服务方式，让顾客真真切切地感受到店家 的诚意。例如，提供即时的在线客户服务、 提供客服电子邮箱、电话服务专线、留言 板服务和虚拟社区等。另外，网店还要不 断提升服务的质量，让顾客实实在在地体 会到自己的善意。例如，真诚且准确地解 答客户的问题、对客户的询问迅速回复、不 拖延等。 （七）服务补救 与传统购物相比，网络购物的一个新 特征是交易完成的滞后性。消费者在网上 商店完成商品的购买和支付后，还需耐心 等待商品的送达。而在商品送达的过程中， 很可能会发生一些意外，使消费者对最终 获得的商品产生不满。在传统商店中，已 有很多研究证实了企业的服务补救行为会 影响顾客的满意度和忠诚度。同样，网上 商店在服务补救方面的承诺或实际行为仍 将是提升顾客感知质量、赢得顾客的重要 服务环节之一。 顾客感知质量的传导机制 店家说得再好、做得再好，都要让客 户真正地感受到。也就是说，网上商店如 何把“老客户对自己的良好感知”传导给 新来的客户，网上商店应该如何利用“口 碑效应”呢？ “淘宝网”在这方面的设计非常成功。 买家在与网店交易成功后，可对网店的服 务态度、发货速度以及商品与店家描述的 符合程度等指标分别作出评分。从 1 分到5 分，分别表示非常不满意、不满意、一般、 满意、非常满意。客户的评价积分达到 4 分，网店可以凭此换一颗“红心”；达到40 分可以升级为两颗“红心”；90 分为三颗； 150 分为 4 颗；250 分为 5 颗。当网店的积 分达到 500 分时，可以换取一颗“蓝钻”， 当积分达到10000 分时，可以换取5 颗“蓝 钻”。以此类推，当网店的评价得分超过 500000 分时，网店的级别可以达到 5 个 “蓝冠”， 当网店的评价得分超过10000000 分时，网店的级别可以达到最高级别 5 个 “金冠”。客户对网店的每一次打分和评价， 都通过“淘宝网”的这种“评价传导机制” 传递给了下一位顾客。试想，一位从来没 有在“淘宝网”上买过商品的“网络购物 新手”，当他看到一家网上商店有 5 个“金 冠”的级别时，他对在这家网店购物就会 非常放心了。 综上，追逐顾客忠诚，不论是在传统 环境下，还是在新兴的网络商业领域中，都 是企业永恒的追求目标。然而，获取顾客 真正且持久的忠诚，并非一朝一夕所能实 现的，需要网上商店持之以恒地苦下功夫。 事实将会证明，那些拥有卓越的“顾客感 知质量”交付能力的网店将会最终赢得顾 客的忠诚。“网络技术的灵活应用”、“精美 商品的图片展示”、“生动活泼的动画演 播”、“优雅动听的背景音乐”，网上商店这 种有别于传统消费方式的客户体验将会让 顾客感到新鲜和时尚，为顾客带来情感上 的愉悦和享受，提升网店的感知质量，吸 引着顾客再次惠顾，从而赢得顾客最终的 忠诚。 上接 32 页 节假日的客流量剧增，而在一天之中顾客 的到达也出现几个高峰期，所以，作如下 改进：将一天分为四个时段（9：00-12： 00，12：00-14：00，14：00-18：00， 18：00-21：00），首先调查其中一个时段 （以第三时段为例）周一至周五的工作状 况，调查数据如表 1 所示。 根据统计数据得到了单位时间内到达 的顾客数 n 和为每位顾客服务的时间 t，然 后 利 用 χ 2 拟 合 检 验 （ 包 科 研 、 李 娜 ， 2008），得到单位时间的顾客到达数服从 Possion 分布，服务时间服从负指数分布。 根据资料统计得到单服务台服务强度 为每小时 49 人，即μ=49，到达速率每小 时 277 人，即λ=277。设定顾客平均等待 时间小于 5 分钟，模拟次数 1000 次，模拟 超市应设置多少收银台。同时，这里的μ 和λ可以根据不同时段的实际情况变化， 以模拟在不同到达速率和服务强度下的工 作状态。 （二）仿真程序设计 首先顾客按规定的到达模式产生到达， 同时按规定的服务模式产生服务时间，然 后判断是否有空闲的服务台。有，则直接 接受服务而不需进入队列等待；否则，顾 客将进入队列等待服务。顾客选择等待服 务台队列时，以最早接受服务为标准，此 前要计算各服务台进入空闲的时间。仿真 钟采用事件调度法，以顾客到达为驱动。一 个顾客进入系统后，按仿真方法和流程计 算其服务时间与离开时间后，驱动下一个 事件（下一个顾客的到达）的发生。 2000 名顾客时模拟终止，仿真采用基于 事 件 （ 基 于 顾 客 ） 的 方 法 。 本 文 以 MATLAB7.0/Simulink6.0 仿真系统为工具 进行动态模拟仿真（黄永安，2007），仿真 次数 1000 次，结果取平均值。 （三）仿真结果 结果分析：由表 2 中数据可以发现，在 顾客到达为 277 人 / 小时，单服务服务强度 49 人 / 小时的情况下，开设 5 个窗口时，服 务器几乎没有空闲，顾客的等待时间超过 1 小时；而开设 11 个窗口时，顾客几乎不用 等待，服务器平均闲置率超过50%；综合考 虑顾客的等待成本和商场的服务成本，商场 应开设 7 个窗口，此时服务器忙碌概率为 83.49%，平均每个顾客等待时间为 47.09 秒，这种情况下商场和顾客均可接受。 根据相同的方法，可以针对不同时段 的客流量和服务水平的变化进行动态仿真， 得到不同状况下商场应该设置多少个收款 台、多少个收款服务员，才能适合变化的 客流，提高客流服务量，增加效益。 综上，由于随机服务系统本身的概率 规律性，要用解析的方法来处理一个复杂 的随机服务系统十分困难，而模拟因自身 的特点成为解决这一问题的很好的方法。 本文介绍的仿真方法具有一定的普遍性， 大型商场、大型银行和医院等收费系统均 可借鉴此模型，实现自身系统的优化，对于 指导生活、生产具有重要的现实意义。 参考文献： 1 . 杜比. 蒙特卡洛方法在系统工程中 的应用[ M ] . 西安交通大学出版社，2 0 0 7 2 . 唐应辉. 排队论[ M ] . 科学出版社， 在仿真过程中还要对服务台利用率、 2006 队列长度、顾客等待时间等进行统计以达 到仿真目的，如图 2 所示。 该模型（M/M/C ）以第三时段为例， 顾客随机性到达，到达模式服从泊松分布 λ =277；服务时间也是随机的，服从指数 分布，每小时服务人数为μ =49；纪录到 3 . 吴飞. 产生随机数的几种方法及应 用[ J ] . 数值计算与计算机应用，2 0 0 6 . 3 4.包科研，李娜.数理统计与 MATLAB 数据处理[M]. 东北大学出版社，2008 5.黄永安等.MATLAB7.0/Simulink6.0 建模仿真开发与高级工程应用[ M ] . 清华 大学出版社，2 0 0 7 42 商业时代 （原名 《商业经济研究》） 2010 年 29 期