A  一.(18 分)填空：设 矩阵论试题（06，12） 10  ,  09  1. A-B 的 Jordan 标准形为 J= 2. 是否可将 A 看作线性空间 V2 中某两个基之间的过渡矩阵（ ）。 3. 是否可将 B 看作欧式空间 V2 中某个基的度量矩阵。（ 11 11  .         B  ） 4. ( vec B )  （ p 1 ），其中  p  。 5 .若常数 k 使得 kA 为收敛矩阵，则 k 应满足的条件是（ 6. AB 的全体特征值是（ ）。 ）。 7.  2BA  （ ）。 8. B 的两个不同秩的{1}-逆为 )1( B      , B   )1(        。 二.(10 分)设 nmCA  ,对于矩阵的 2-范数 2A 和 F-范数 FA ，定义实数 A  A 2 2  2 FA ，（任意 nmCA  ） 验证 A 是 nmC  中的矩阵范数，且与向量的 2-范数相容。 三.(15 分)已知 A  1 1 2 0 11       1    )(, 2 tb   1        t t 3 3 e e 0   )0(, x          1 1 0      。 1. 求 Ate ； 2. 用矩阵函数方法求微分方程 d dt 四.(10 分)用 Householder 变换求矩阵 A        0021 4301 0301 4021 五.（10 分）用 Gerschgorin 定理隔离矩阵 A  图表示） 20 6 1      1 / 5 )( tx  )( tAx  )( tb 满足初始条件 x(0) 的解。 的 QR 分解。       41 68 1 i      的特征值。（要求画 

六. (15 分)已知 A        1010 2121 0101 1212    ,    b        1 3 1 3       。 1. 求 A 的满秩分解； 2. 求 A+； 3. 用广义逆矩阵方法判断线性方程组 Ax=b 是否有解； 4. 求线性方程组 Ax=b 的极小范数解，或者极小范数最小二乘解 x0。（要求指 出所求的是哪种解） 七.(15 分)已知欧式空间 R22 的子空间 V  X        x 1 x 3 x x 2 4    x 1 x 2   x 4 x 3   0 0  ,   R22 中的内积为 ( , BA ) 2 2   i 1  j 1  Aba ij , ij     a 11 a 21 a 12 a 22  ,   B     b 11 b 21 b 12 b 22  ,   V 中的线性变换为 T(X)=XP+XT, 任意 XV， P    10 01  .   1. 给出子空间 V 的一个标准正交基； 2. 验证 T 是 V 中的对称变换； 3. 求 V 的一个标准正交基，使 T 在该基下的矩阵为对角矩阵. 八. (7 分) 设线性空间 Vn 的线性变换 T 在基 Vn 的单位变换，证明：存在 x00，使得 T(x0)=(Te-T)(x0)的充要条件是 A 的特征值. 2 2 , , nx , xx 1  下的矩阵为 A，Te 表示 1 为 一.(18 分)填空： 矩阵论试题（07，12） 的 Jordan 标准形为 J=  A 1. 矩阵 0 1   0 1    0 1   1 0  001  0 12 0 21 1 00 2    0   1  2   1     2   ,   3   4   3. 若 A 是正交矩阵，则 cos(A)= 2 0 2  1 1   0  ,  0  1   2. 设       A   x 则      A F  A  Ax 2  2 / 5 

4. 设 nmCA  ，A+是 A 的 Moore-Penrose 逆，则(-2A, A)+= 5. 设 A  1 2      2 4  ,   B       111 220 300      ，则 AB+I2I3 的全体特征值是（ ）。 6. 设向量空间 R2 按照某种内积构成欧式空间，它的两组基为  1   2 ),12,6( )1,1( ),2,0(  ),1,1(  2  1 和   且 i与 j 的内积为 (  1 , 1 (,1)   2 , 1 )  (,15  1 , 2 )  (,1  2 , 2 3)  则基 1, 2 的度量矩阵为（ ）。 二.(10 分)设 A  ( a ) nmij   C nm  ,定义实数 A  n max j i , a ij 1. 证明 A 是 nmC  中的矩阵范数. 2. 证明该矩阵范数与向量的 -范数相容. 三.(15 分)已知 A  1  1 1       2  2 1  2   )(, 1 tb    2   t e 1 1 2        )0(, x          1 2 3      。 1. 求 Ate ； 2. 用矩阵函数方法求微分方程 d dt )( tx  四.(10 分)用 Givens 变换求矩阵 21 00 00 20 00 五.（10 分）用 Gerschgorin 定理隔离矩阵         A   )( )( tb tAx 4 3 0 4 13  12  3 0 满足初始条件 x(0) 的解。 5 3 5  4 4          的 QR 分解。 A  2 0 5  0       0 2  5 3.0 1.0  1.0 4 i 2.0        1   1    5.2  2 i   0 1 01  1 1 11  六. (15 分)已知 0 1 1  1 1. 求 A 的满秩分解； 2. 求 A+； 0 1 1  1 A 的特征值。（要求画图表示） b        1  2 3  1       。 1  1 2  0    ,    3 / 5 

3. 用广义逆矩阵方法判断线性方程组 Ax=b 是否有解； 4. 求线性方程组 Ax=b 的极小范数解，或者极小范数最小二乘解 x0。（要求指出 所求的是哪种解） 七.(15 分)设 3 维欧式空间 V 中元素 0 在 V 的标准正交基 (1，-1，0)T. 定义 V 的变换如下 ,  1 3 , 2 下的坐标为 )(   (  ,( ) V ) 0 0 T 1. 证明 T 是线性变换； 2. 证明 T 是对称变换； 3. 求 V 的一个标准正交基 n , 1 , 2 ，使 T 在该基下的矩阵为对角矩阵. 八. (7 分) 设 V 是数域 K 上的 2 维线性空间，V 的一组基为 1, ，V 的两个子 2 空间为 证明：V=W1W2.  ( ) kW  0 1 2  W k  1 2 2  1 k    1 2 k  0 , kk 1  , K kK  且 1 2  k 2  0 答案： 1  1.        1  1     1  1   ; 2. 8,3,14 ; 3. I-2A; 4.  1 5    A2 A     ; 5. 1,1,1,-2,-5,-8; 6.    12 21    三. 1. At e  t e 21 t  t  t      四. A           0001 4000 5 0100 0010 3000 5 五. D=diag(1,1,5,1) 2 t  1 t  t  0 3 5 0 0 4  5 2 t t  1 t       ;2. )( tx  t e 1 t  2 t  23 t            .                  21 20 00 00 00 3 4 12  13  0 5 0 0 5 4 5  0 5         4 / 5 

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