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1998年考研数学二真题及答案.doc
1998 年考研数学二真题及答案
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)
(1)
lim
0
x
1
x
x
2
1
2
x
.
x
3
(2) 曲线
y
x
ln sin
xdx
2
sin
x
(4) 设 ( )
f x 连续,则
(3)
(5) 曲线
y
x
ln(
e
2
与 x 轴所围成的图形的面积 A
x
2
.
.
2
(
tf x
2
t dt
)
的渐近线方程为
0)
.
.
x
0
d
dx
1
)(
x
x
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题
目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设数列 nx 与 ny 满足 lim
,则下列断言正确的是
x y
n
0
(
)
n
n
(A) 若 nx 发散,则 ny 发散
(B) 若 nx 无界,则 ny 必有界
(C) 若 nx 有界,则 ny 必为无穷小
(D) 若
1
nx
为无穷小,则 ny 必为无穷小
(2) 函数
( )
f x
2
(
x
x
2)
3
x
的不可导点的个数是
x
(
)
(A) 0
(B) 1
(3) 已知函数
y
( )
y x
在任意点 x 处的增量
y
(C) 2
y x
2
1
x
,
的无穷小,且 (0)
y
,
,则 (1)y
(D) 3
其中是比 (
x
高阶
0)
x
(
)
(
)
4e
(A)
(B) 2
(C)
4e
(D)
(4) 设函数 ( )
f x 在 x a 的某个邻域内连续,且 ( )
f a 为其极大值,则存在 0 ,当
x
a
(
)
a
时,必有
,
(A) (
( )
x a f x
)[
( )] 0
f a
(B) (
( )
x a f x
)[
( )] 0
f a
(C)
lim
a
t
f
( )
t
(
t
( )
f x
2
)
x
0(
x
)
a
(D)
lim
a
t
f
( )
t
(
t
( )
f x
2
)
x
0(
x
)
a
(5) 设 A 是任一 (
n n 阶方阵, A 是其伴随矩阵,又 k 为常数,且 0, 1
k ,则必有
3)
(
)kA
(A) kA
(B)
1nk A
(C)
nk A
(D)
1k A
(
)
三、(本题满分5分)
求函数
( )
f x
(1
x
)
x
x
)
4
tan(
在区间 (0,2 ) 内的间断点,并判断其类型.
四、(本题满分5分)
确定常数 ,
,a b c 的值,使
lim
0
x
ax
ln(1
sin
3
t
t
x
)
dt
(
c c
0).
x
b
五、(本题满分5分)
利用代换
y
u
cos
x
解.
将方程 cos
y
x
2 sin
y
x
3 cos
y
x
六、(本题满分6分)
计算积分
3
2
1
2
dx
x
x
2
.
x
化简,并求出原方程的通
e
七、(本题满分6分)
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y (从海平面算起)
与下沉速度 v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉
过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为 m ,体积为 B ,海水比重为,仪器所受的
阻力与下沉速度成正比,比例系数为 (
k k
0)
.试建立 y 与 v 所满足的微分方程,并求出函数
关系式
y = f v .
八、(本题满分8分)
设
y
( )
f x
是区间[0,1] 上的任一非负连续函数.
(1) 试证存在 0
x
(0,1)
,使得在区间
[0,
y
( )
f x
为曲边的梯形面积.
]x 上以 0(
0
f x 为高的矩形面积,等于在 0[
x 上以
,1]
)
(2) 又设 ( )
f x 在区间 (0,1) 内可导,且
( )
f x
2 ( )
f x
x
,证明(1)中的 0x 是唯一的.
九、(本题满分8分)
设有曲线
y
x
1
,过原点作其切线,求由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x
轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.
十、(本题满分8分)
设
y
( )
y x
是一向上凸的连续曲线,其上任意一点 ( ,
x y 处的曲率为
)
1
1 y
2
,且此曲
线上点 (0,1) 处的切线方程为
y
x ,求该曲线的方程,并求函数
1
y
( )
y x
的极值.
十一、(本题满分8分)
设 (0,1)
x
,证明：
(1)
(1
x
2
)ln (1
x
)
x
2
;
(2)
1
ln 2
1
1
ln(1
)
x
1
x
1
2
.
十二、(本题满分5分)
E C B A
)
1
T
1
C
,其中 E 是4阶单位矩阵, TA 是4阶矩阵 A 的转置矩阵,
B
1 2
0 1
0 0
0 0
3
2
1
0
2
3
2
1
,
C
1 2 0 1
0 1 2 0
0 0 1 2
0 0 0 1
,
设
(2
求 A .
十三、(本题满分8分)
已知 1
T
(1,4,0,2) ,
2
T
(2,7,1,3) ,
3
T
(0,1, 1, ) ,
a
(3,10,
T
,4)
b
,问：
,a b 取何值时,不能由 1
, 线性表示？
,
2
3
,a b 取何值时,可由 1
, 线性表示？并写出此表达式.
,
2
3
(1)
(2)
答案
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)
(1)【答案】
1
4
方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,
原式
lim
0
x
1
x
2
x
1
x
2
1
x
1
1
x
x
2
1
x
2
2
1
1
x
2
4
x
lim
0
x
x
2
1
1
x
x
1
1
2
x
x
4
2
lim
0
x
2
1
2
x
1
1
2
2
x
2
x
2
1
4
.
1
2
2
x
lim
0
x
方法2：采用洛必达法则.
原式
洛
lim
0
x
1
x
x
x
1
2
2
lim
0
x
1
2 1
x
1
2 1
x
2
x
lim
0
x
x
1
x
4
1
x
2
1
x
lim
0
x
1
x
1
x
4
x
洛
lim
0
x
1
2 1
x
1
2 1
x
4
lim
0
x
1
2 1
x
4
1
2 1
x
.
1
4
方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至 2x 项,
1 x
1
1
原式
lim
0
x
1
2
1
8
x
1
2
x
2
x
1
8
2
x
2
o x
1
o x
1
2
1
2
x
1
x
1
8
x
2
2
1
x
8
o x
2
o x
2
2
,
2
2
, 1 x
1
2
2
1
x
2
1
4
2
x
2
o x
1
2
x
lim
0
x
o x
2
1
.
4
从而
(2)【答案】
37
12
此曲线与 x 轴交点.
x
y
x
x
3
2
【分析】求曲线与 x 轴围成的图形的面积,应分清楚位于 x 轴上方还是下方,为此,要先求
与 x 轴的交点,即 3
x
2
2
x
2
x
(
x x
2)(
x
1) 0
的根
为
x
1,0,2.
当 1
时,
0
x
y ；当 0
0
x 时,
2
y ,从而
0
A
0
1
4
x
4
ydx
2
0
ydx
0
2
x
1
3
x
3
0 (
1)
(4
1
4
1
3
x
cot
x
1
2
2 )
x dx
2
3
2
x
3
x
3
2
x
5
12
0
8
3
0
(
x
1
4
x
4
8
3
x C
4)
.
2
0
3
(
x
x
2
2 )
x dx
37
12
.
sin x
ln sin
,所以
x
cot
x dx
ln sin
xd
cot
x
(3)【答案】 cot
因为
cot
x
2
ln sin
x
csc
x
ln sin
xdx
2
sin
x
分部
[cot
x
ln sin
x
cot
xd
ln sin ]
x
cot
x
ln sin
x
cot
x
cos
sin
x
dx
x
cot
x
ln sin
x
2
cos
2
sin
x
dx
x
cot
x
ln sin
x
cot
x
ln sin
x
cot
cot
x
x
ln sin
ln sin
x
x
2
x
x
dx
1 sin
2
sin
dx
2
sin
x
cot
x dx
cot
x C
x
.
1
dx
x
(4)【答案】
2(
xf x
)
作积分变量代换
du
u
d x
2
x
t
2
2
t
2,
t
: 0
x
:
u x
2
0
,
2
tdt
dt
du
,
1
2
t
xtf x
(
0
2
2
t dt
)
u
2
x
2
t
0
2
x
( )
tf u
d
dx
x
0
2
(
tf x
2
t dt
)
1
2
d
dx
2
x
0
( )
f u du
du
1
2
t
1 (
f x
2
x
2
0
x
2
2
)
【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若
( )
F t
阶可导,则
( )
F t
( )
t
f
(5)【答案】
y
x
1
e
( )
t
( )
t
f
( )
t
.
题中未说什么渐近线,所以三类渐近线都要考虑.
( )
f u du
1
2
2
x
0
( )
f u du
,
2
) 2
x
(
xf x
2
)
.
1
2
1 (
f x
2
( )
t
( )
t
( )
f x dx
, ( )t , ( )t 均一
由曲线方程
y
x
ln(
e
知,铅直渐近线可能在两处：
1
x
)
x
1
e
及
x ,但题设
0
x ,所以
0
x
1
e
不予考虑,考虑
x
的情况.当
0
x
时,
0
lim ln(
x
x
0
e
1
x
)
x
1
t
lim
t
ln(
)
e t
t
洛
lim
t
1
e t
0
,
所以无铅直渐近线；
因
lim ( )
y x
x
lim ln(
x
x
e
1
x
)
lim ln
x
x
e
,
故无水平渐近线.
再考虑斜渐近线:
y
x
lim
x
lim ln(
x
e
) 1
,
y
x
lim
x
lim ln(
x
x
e
1
x
1
x
1
ex
) 1
)
lim
x
x
lim ln
x
1
ex
1
e
x
e
ln(1
1
ex
) 1
,
lim ln(1
x
x
( x 时,
ln(1
所以有斜渐近线 y
)
1
1
)
ex
ex
1x
.
e
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题
目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)【答案】(D)
方法1:直接利用无穷小量的性质可以证明(D)是正确的.
由
y
n
(
x y
n
n
)
1
及
x
n
lim
n
x y
n
n
0,lim
n
1
x
n
可知 ny 为两个无穷小之积,故 ny 亦为无
0
穷小,应选(D).
方法2:排除法.
(A)的反例:
x
n
,
n y
n
1
2
n
,lim
n
x y
n
n
lim
n
n
1
2
n
lim
n
1
n
不发散；
0
满足题设,但 lim
n
y
n
0
(B)的反例:
x
n
1,
2
k
0,
n
n
2
1,
k
2 ,
k
y
n
0,
2 ,
k
n
n
2
1,
k
2 ,
k
k
1,2,
,
满足 lim
n
x y
n
n
,但 ny 不是有界数列；
0
(C)的反例:
:1,
1 1
,
2 3
,
有界数列,
,
,
1
n
ny
1(
n
1,2,
满足
),
lim
n
x y
n
n
lim
n
,但 ny 不是无穷小；
0
nx
1
n
排除掉(A)、(B)、(C),故选(D).
(2)【答案】(B)
当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是分段函
数.
( )
f x
2
(
x
x
2)
2
x x
,当 0, 1
1
x 时 ( )
f x 可导,因而只需在 0, 1
x 处考察
( )
f x 是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.
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