1998年考研数学一真题及答案.doc-资料库

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1998 年考研数学一真题及答案一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) lim 0 x  1   x   x 2  1 2 x . (2) 设 z  1 ( f xy x )  ( y  x  y ), f ,  具有二阶连续导数,则 2z  x y    (3) 设 L 为椭圆 2 x 4 2 y 3  其周长记为 a ,则 1,  L (2 xy  3 x 2  4 2 y ds )  . . (4) 设 A 为 n 阶矩阵, 0A  , *A 为 A 的伴随矩阵, E 为 n 阶单位矩阵.若 A 有特征值, 则 * 2 )A ( E 必有特征值 . (5) 设平面区域 D 由曲线 1 x 区域 D 上服从均匀分布,则 ( y  及直线 y  0, x  1, x 2  所围成,二维随机变量 ( e )X Y 关于 X 的边缘概率密度在 2 x  处的值为 , 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.) (1) 设 ( ) f x 连续,则 d dx x  0 2 ( tf x  2 t dt )  )X Y 在 , _ . ( ) (A) 2( xf x ) (B)  2( xf x ) (C) 2 ( xf x 2 ) (D)  2 ( xf x 2 ) (2) 函数 ( ) f x  2 ( x   x 2) 3 x  不可导点的个数是 x (A) 3 (B) 2 (3) 已知函数 y  ( ) y x 在任意点 x 处的增量 y   (C) 1 y x  2 1 x  阶无穷小, (0) y  ,则 (1)y 等于 ( ) (D) 0  ,  且当 x  时,是 x 的高 0 (A) 2 (B)   4e (C)  4e  (D) (4) 设矩阵 a 1 a 2 a 3      b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3      是满秩的,则直线 x a  3 a a  1 2  y b  3 b b  2 1  z c 1   c 3 c 2 与直线 x a  1 a a  3 2  y b  1 b b  3 2  z c 2   c 1 c 3 ( ) ( )

(A) 相交于一点 (C) 平行但不重合 (B) 重合 (D) 异面 (5) 设 A B、是两个随机事件,且0  ( P A ) 1,  ( P B ) 0,  ( ) P B A |  ( ), P B A | 则必有( ) (A) ( P A B | )  ( P A B | ) (B) ( P A B | )  ( P A B | ) (C) ( P AB )  ( ( P A P B ) ) (D) ( P AB )  ( ( P A P B ) ) 三、(本题满分5分) 1  1 求直线 L x :  y 1  1 z  1  在平面 :    x y 2 z 1 0   上的投影直线 0L 的方程,并求 0L 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程. 四、(本题满分6分) 确定常数,使在右半平面 0 x  上的向量 ( , A x y )  2 ( xy x 4  y 2 )  i  2 ( x x 4  y 2 )  j 为某二元函数 ( , u x y 的梯度,并求 ( , ) u x y . ) 五、(本题满分6分) 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y (从海平面算起) 与下沉速度 v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为 m ,体积为 B ,海水比重为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为 ( k k  0) .试建立 y 与 v 所满足的微分方程,并求出函数关系式   y = y v . 六、(本题满分7分) ( axdydz  2 y x  计算  (  2 z a dxdy  2  ) 2 ) z 1 2 , 其中  为下半球面 z   2 a  2 x 2  的上侧, a 为大 y 于零的常数. 七、(本题满分6分)  n 1 lim n   sin   n   求  八、(本题满分5分) sin n  2  n 1 2    sin n      1  n  .

  ( 1)n n 1  a n 发散,试问级数  1(  na 1  n 是否收敛？并说 n ) 1 设正项数列 na 单调减少,且明理由. 九、(本题满分6分) 设 y  ( ) f x 是区间[0,1] 上的任一非负连续函数. (1) 试证存在 0 x  (0,1) ,使得在区间 00, x 上以 0( f x 为高的矩形面积,等于在区间 )  0,1x 上以 y  ( ) f x 为曲边的梯形面积. (2) 又设 ( ) f x 在区间 (0,1) 内可导,且  ( ) f x   2 ( ) f x x , 证明(1)中的 0x 是唯一的. 十、(本题满分6分) 已知二次曲面方程 2 x  2 ay  2 z  2 bxy  2 xz  2 yz  ,可以经过正交变换 4 x     y     z    P              化为椭圆柱面方程 2 24    ,求 ,a b 的值和正交矩阵 P . 4 十一、(本题满分4分) 设 A 是 n 阶矩阵,若存在正整数 k ,使线性方程组 kA x  有解向量,且 1 kA  0 0  , 证明：向量组 ,   A ,  A , k 1 是线性无关的. 十二、(本题满分5分) 已知线性方程组 n n 2,2 n     x 2 x 2 a 1,2 a a x 12 2 a x 22 2       0, a x  11 1  0, a x  21 1     0 a x   1 1 n ( , b b 12 , b b 21 22 a x 2 2 n    T ) ,( b 1,2 ,  x 2 , ,  n ,  a ,2 n n n 的一个基础解系为 11 n b 2,2 T ) , ,(  , b b 1 n n 2 n , ,  T b ,2 n n ) ,试写出线性 ( ) I 方程组

n n   b y 12 2 b y 22       0, b y  11 1  0, b y  21 1     0 b y  1 1 n 的通解,并说明理由. b 1,2 b 2,2    b y 2 n   b ,2 n n y y 2 y n ( II ) 2 2  2 n  2 n 十三、(本题满分6分) 设两个随机变量 ,X Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为 1 2 的正态分布,求随机变量 X Y 的方差. 十四、(本题满分4分) 从正态总体 N 2 (3.4,6 ) 中抽取容量为 n 的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4) 内的概率不小于0.95,问样本容量 n 至少应取多大？附表：标准正态分布表 z    ( ) z  2 t 2  e dt 1 2  z ( )z 1.28 0.900 1.645 0.950 1.96 0.975 2.33 0.990 十五、(本题满分4分) 设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程. 附表：t 分布表 p ( ) pt n n 35 36 { ( ) P t n  t n p ( )}  p 0.95 0.975 1.6896 1.6883 2.0301 2.0281

答案一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】  1 4 【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换, 原式  lim 0 x   1   x  2 x   1 x    2 1 x   1 1   x x 2  lim 0 x   x 2 1    1 x   x 1  1 2   x x   4 2   lim 0 x  2 1     x 2  2  1  1 x  2 4 x  1  2 x  1    1 2 2 x 2 x 2   1 4 . 1 2 2 x  lim 0 x  方法2：采用洛必达法则. 原式   洛 lim 0 x   1 x    x x 1     2   2  lim 0 x  1 2 1  x 1 2 1  x  2 x  lim 0 x  x 1 x   4 1 x   2 1 x  lim 0 x  1  x 1 x   4 x  洛 lim 0 x  1  2 1  x 1 2 1  x  4 lim 0 x     1  2 1   x 4  1 2 1  x      . 1 4 方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至 2x 项, 1 x 1   1 原式  lim 0 x  1 2  1 8  x  1 2 x 2 x  1 8 2 x 从而  2  o x 1  o x 1  2 1 2 x 1   x  1 8 x  2  2 1 x 8  o x 2   o x 2 2  , 2   2 , 1 x  1 2 2 1   x  2 1   . 4  1 4 2 x   lim 0 x     o x 2 2  o x 1 2 x  ( y   y )  x  y )  (2)【答案】 ( yf xy ) 【分析】因为 z  x  (   1 ( f xy x )  ( y  x  y ), f ,  具有二阶连续导数,利用混合偏导数在连续

的条件下与求导次序无关,先求 z  x  或 z  y  均可,但不同的选择可能影响计算的繁简. 方法1：先求 . z  x  z  x   1    x x   ( f xy )  ( y  x  y )      1 2 x ( f xy )  2 z  x y     1 2 x ( f xy )  y x  ( f xy )   ( y  x  y )  ( f xy )   ( y  x  y ) , y x       y   1 2 x 1 x  ( yf      ( ) f xy x   ( f xy )  1 x  ( f xy )  yf y x  ( f  ( ) xy x   (  x  y )   ( y  x  y ) xy )   (  x  y )   ( y  x  y )  ( f xy xy )  )  1 x  ( x   y )   ( y  x  y ).  方法2：先求 z  y  . z  y  1    y x    ( f xy )   ( f xy )  ( y  x  y )  (  x  y )   ( y     x  ( ) f xy x  (  x  y )   ( y  x  y ) 1 x ), y   2 z  x y     2 z  y x    ( yf  xy )   x   (    ( f xy )  (  x  y )   ( y  x  y )  x  y )   ( y  x  y ). 方法3：对两项分别采取不同的顺序更简单些：     x   ( y  x  y )      y           y  1 ( f xy ) 2 z  x y             x y x     1    x x     x  yf  ( f xy xy  (  )     y  x    )  (    ( y  x  y )  y )   ( y  x  y ).  ( ) f xy x   ( y  x  y )  评注：本题中, ,f 中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要注意到对 x 求导时, y 视为常数；对 y 求导时, x 视为常数就可以了. (3)【答案】12a 【解析】 L 关于 x 轴( y 轴)对称, 2xy 关于 y (关于 x )为奇函数  2 xyds  0 .  L 又在 L 上,

2 x 4  2 y 3  L 因此, 原式     1 2 3 x 2 4 y   12  L 2 (3 x  4 2 y ds )   12 L ds  12 . a 2 xyds   L 2 (3 x  4 2 y ds )  12 a . 【相关知识点】对称性：平面第一型曲线积分  f x y ds  ,  l ,设  f x y 在l 上连续,如果l 关 ,  于 y 轴对称, 1l 为l 上 0 x  的部分,则有结论：  f x y ds  ,  l     ,  2 ,   f x y ds  l 1 0  ， ,  f x y  f x y ,   关于为偶函数, x 关于为奇函数. x 类似地,如果l 关于 x 轴对称, 2l 为l 上 0 y  的部分,则有结论：  f x y ds  ,  l     ,  2  f x y ds  l 2 0  ， ,  ,  f x y  f x y ,   关于为偶函数, y 关于为奇函数. y (4)【答案】 2    A      1 【解析】方法1：设 A 的对应于特征值的特征向量为,由特征向量的定义有 , A   (   0) . 由 0A  ,知 0 (如果0是 A 的特征值 0A  ),将上式两端左乘 A ,得  A A   A        A  A , 从而有 * A   A  ,  (即 A 的特征值为 A  ). 将此式两端左乘 A ,得   2* A   *A A       A   又 E  ,所以   2* A   E          A  2    2     .    1    ,故 * 2 )A ( E 的特征值为 2    A      1 . 方法2：由 0A  , A 的特征值 0 (如果0是 A 的特征值 0A  ),则 1A 有特征值

A  ( ； * 2 )A E 的特征值为 , A 的特征值为 1  【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：设 A 是 n 阶矩阵,若存在数及非零的 n 成立,则称是矩阵 A 的特征值,称非零向量 X 是矩阵 A 的特维列向量 X 使得 AX 征向量. X 1  . A        2 由为 A 的特征值可知,存在非零向量使 A  因为 0 ,故 0 ,于是有 1  A    .按特征值定义知若 AX X ,则 ( A kE X  )   ( k X  ) 1  AX kX  1A    . ,两端左乘 1A ,得 1  .即若是 A 的特征值,则是 1A 的特征值. A kE 的特征值是 k . 2.矩阵 A 可逆的充要条件是 0A  ,且 1  A  1 A  A . (5)【答案】 1 4 【解析】首先求 ( )X Y 的联合概率密度 ( , ) f x y . , D     ( , x y ) |1   x e 2 ,0   y 1 x    , 区域 D 的面积为 DS  2 e  1 1 x dx  ln x 2 e 1  2. ( , f x y )     1 , 2 0, ( , , x y D  ) 其他. 其次求关于 X 的边缘概率密度. ( ) 0 当 1x  或 x  ； e 时, x 2 Xf y y  1 x 1(2, 2 ) O 1 2 2e x 当 1 x   时, e 2 Xf ( ) x     ( , f x y dy )  1 x 0  1 dy 2  1 2 x . 故 Xf (2)  1 4 . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.) (1)【答案】(A) 【解析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量代换 t : 0   x : u x 2 0  , du   d x 2 2  t   2 tdt    dt 1 2 t du ,  2 x  t 2, u 

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