消灭埃博拉病毒美赛数值模拟.doc-资料库

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消灭埃博拉摘要埃博拉出血热是由埃博拉病毒引起的一种急性出血性传染病。因其极高的致死率而被世界卫生组织列为对人类危害最严重的烈性传染病之一。由于埃博拉病毒在 Guinea, Liberia, Sierra Leone 的感染情况最严重，本文就埃博拉病毒在这三个国家为例，探讨了埃博拉病毒的传播和药物运输系统以及药物生产的需求和速度。本文引入了经典的 Susceptibles Infectives Recovered（SIR）模型来描述埃博拉病毒的传播问题，预测埃博拉病毒随时间变化的传播规律；并对一系列收集数据进行了数值模拟，得到了 SIR 模型中日接触率和日治愈率的时间t 的多项式函数；进一步，根据其拟合的和，得到感染病人数的时间t 的函数关系式，进行了统计检验，其准确度较高。关于药品的运输系统问题，选取了 America，England，Belgium，Canada 四个国家为生产地，Conakry International Airport ( 1a )，Nzérékoré Airport ( 2a )，Lungi International Airport ( 1b )，Kenema Airport ( 2b )，Roberts International Airport ( 1c ), James Spriggs Payne Airport( 2c )六个机场为分配地，采用了度量法对六个分配地进行中心仓库选取，将药品运输分为两地足够供应和供应不足两种情况分别进行讨论:制定了抗击埃博拉病毒的药品运输系统，为药品的分发以及药品生产地的选择提供了良好的方案，并分别得到了紧急配送方案(如下两图)。两地足够供应的交通运输网络两地供应不足的交通运输网络并且优化运输系统，得到了最优药物运输路线(如下图),使制药产地可以更高效率运输到各个疫情高发区。根据 World Health Organization (WHO)提供的药品需求量的测算公式，得出药品优化交通运输网络

需求量与患病人数之间的函数关系式，从而算得药品生产速度与时间的关系式，给出最优生产速度，求得最短生产时间。进一步，根据最短生产时间与最短运输时间求得消灭病毒所需最短时间。总之，本文针对埃博拉的传播建立了 SIR 模型，对所述药物的所需要的数量，可能可行递送系统，递送位置，制造药物和其它关键因素都给出了解答，并提供了一些建设性的建议用于世界医学协会。关键词: SIR，数值模拟，度量法选址，网络优化

一、问题重述埃博拉出血热是由埃博拉病毒引起的一种急性出血性传染病，有着极高的致死率。目前非洲的大部分国家都受其毒害并且已经蔓延到其他国家。而且但一旦发病，发展十分迅速，重症患者发病两三天后就可能导致死亡。世界医学组织已经宣布其新药物治疗可以阻止埃博拉并治愈非晚期病人。为了消灭埃博拉病毒，或者减小当前埃博拉病毒的压力，我们需要解决以下问题： 1. 建立疾病的传播模型； 2. 构建一个可行的运输系统和运送地点； 3. 分析求得药物数量、生产疫苗或药物的速度以及其他因素的影响； 4. 为世界医学组织准备一份 1-2 页非技术信函，以用于他们的宣告。二、模型假设 1. 由于国家人口基数较大，假设人口总数不变，不考虑人口的出生率和自然死亡率，即为常数 N ； 2. 将埃博拉的传播途径视为与病人的有效接触，每个健康人变成病人的途径只能是有效接触，而不是突然变异； 3. 不考虑气候条件对埃博拉传播的影响； 4. 假设埃博拉爆发有个初始时间； 5. 疫苗和药品都可用于消灭埃博拉。 N ( )s t ( ) i t ( )r t I  a b Z v 三、符号说明总人口数健康人口所占比例患病人口所占比例免疫人口所占比例患病人口总数传染期接触数为药品用量为缓冲百分比药物需求量药品生产速度四、问题分析由于问题要求建立疾病的传播模型，设立一个运输系统和运送的地点，以及求出药物的需求量和药物生产速度。对于疾病的传播，可以采用经典的 Susceptibles Infectives Recovered（SIR）模型，建立出新增病人与时间的关系。最后可以对模型进行检验，看其是否准确。对于运输系统的建立，我们可以找到制药产到疫情高发区作为出发地和目的地，根据其距离和各个节点赋予其权重，利用度量法评分得到最优的交通网络图。对于药品需求量可以根据患病人数求得，对于制药速度，可以先求出消灭病毒所需要的时间，然后根据时间和病人之间的关系算得其药品生产速度。

五、模型求解根据维基百科中的患病人数 [1] 可得折线图 1 5.1 疾病传播模型 5.1.1 模型的建立图 1：患病人数折线图对于疾病的传播，根据维基百科中的患病人数 [1] 可看出，埃博拉病毒在潜伏期传染性极低，所以我们采用经典的 SIR 模型初步建立微分方程人群分为易感染者，病人和病人免疫的移除者 s( )t ,i( )t , ( )r t 分别三类人在总人数 N 的比例， ( )s t 健康人口所占比例， ( ) i t 为患病人口所占比例， ( )r t 免疫人口所占比例。  ( ) s t ( ) i t  ( ) 1 r t  (1) 图 2：病毒发展流程图记初始时刻易感染人数和患病人口的比例分别为 0s 和 0i ( 0 r  所 s i  ，，均为常数，其中病人的日接触率为，日治愈率为，传染期接触  )此时 0 00, i 0 0 0 1 s 以 0 数为  建立 SIR 传染模型如下：。  i   si  di   dt  ds   dt  (0) i   (0) s    si    i 0 s 0 (2) 利用差分法处理数据以求得和，由（2）可得：

 /ds dt si    ds dt di dt / / i   (3) (4) s 和i 分别为易感染人数占总数的比例和患病人数占总数的比例； Ns 和 Ni 表示易感人群数和患病人口数； dsN dt 由于无法求出 ( )s t 和 ( ) 表示相邻两天 Ns 和 Ni 各自增加的人数。和 diN dt i t 的解析式，我们将模型消去 dt 并注意到的定义，可得： (5)   i i 0 容易求出（5）的解为, i  ( s 0  i 0 从而可以求得患病人数 I 为： di ds )   s 1 1,  s 1 ln s s 0 s s  0 。 I N   s 0    + +i -s 0  1 s ln s 0    (6) 5.1.2 模型的求解对维基百科中所查得艾埃博拉病毒在非洲的传染情况 [2] 进行整理，得到了由 2014 年 3 月 22 日到 2015 年 1 月 25 日患病总人数以及三个国家分别的患病总人数。表 1：患病总人数统计表 Sum t 0 3 4 5 9 10 11 16 19 26 30 32 39 44 53 62 66 72 Ns 20,452,970 20,452,910 20,452,882 20,452,859 20,452,844 20,452,816 20,452,805 20,452,763 20,452,751 20,452,690 20,452,677 20,452,665 20,452,642 20,452,623 20,452,619 20,452,577 20,452,519 20,452,466 Ni 29 59 86 103 114 130 135 163 169 209 215 220 233 243 245 270 309 354 diN dt 29 30 27 17 11 16 5 28 6 40 6 5 13 10 2 25 39 45 Ne 29 59 60 66 70 82 88 102 108 129 136 143 153 162 164 181 200 208 dsN dt -58 -60 -28 -23 -15 -28 -11 -42 -12 -61 -13 -12 -23 -19 -4 -42 -58 -53

75 80 88 94 102 108 109 114 117 119 122 126 129 131 134 136 139 141 143 146 148 150 156 161 164 168 171 175 178 182 184 186 189 192 196 198 203 208 210 215 221 20,452,359 20,452,302 20,452,163 20,452,091 20,451,802 20,451,666 20,451,601 20,451,461 20,451,348 20,451,275 20,451,155 20,450,976 20,450,762 20,450,538 20,450,385 20,450,288 20,450,167 20,449,984 20,449,756 20,449,559 20,449,205 20,448,986 20,448,407 20,447,473 20,446,938 20,446,485 20,445,807 20,445,103 20,444,520 20,443,865 20,443,411 20,443,061 20,442,550 20,442,097 20,441,130 20,440,654 20,439,546 20,438,524 20,438,187 20,436,134 20,435,294 438 474 528 599 759 844 888 964 1,048 1,093 1,201 1,323 1,440 1,603 1,711 1,779 1,848 1,975 2,127 2,240 2,473 2,615 3,069 3,707 4,001 4,366 4,846 5,339 5,762 6,263 6,574 6,808 7,192 7,492 8,033 8,386 8,997 9,693 9,964 11,868 12,647 84 36 54 71 160 85 44 76 84 45 108 122 117 163 108 68 69 127 152 113 233 142 454 638 294 365 480 493 423 501 311 234 384 300 541 353 611 696 271 1,904 779 231 252 337 338 467 518 539 603 632 660 672 729 826 887 932 961 1,013 1,069 1,145 1,229 1,350 1,427 1,552 1,848 2,089 2,177 2,375 2,586 2,746 2,900 3,043 3,159 3,286 3,439 3,865 3,988 4,485 4,811 4,877 5,026 5,087 -107 -57 -139 -72 -289 -136 -65 -140 -113 -73 -120 -179 -214 -224 -153 -97 -121 -183 -228 -197 -354 -219 -579 -934 -535 -453 -678 -704 -583 -655 -454 -350 -511 -453 -967 -476 -1,108 -1,022 -337 -2,053 -840

224 226 231 233 238 240 245 252 259 266 273 280 287 294 301 308 20,434,796 20,434,800 20,433,770 20,433,438 20,432,463 20,432,218 20,431,404 20,429,813 20,428,698 20,427,510 20,425,943 20,424,917 20,424,046 20,423,303 20,422,663 20,422,126 13,041 13,268 14,098 14,413 15,145 15,351 15,935 17,145 17,942 18,603 19,497 20,206 20,747 21,296 21,724 22,092 394 227 830 315 732 206 584 1,210 797 661 894 709 541 549 428 368 5,191 4,960 5,160 5,177 5,420 5,459 5,689 6,070 6,388 6,915 7,588 7,905 8,235 8,429 8,641 8,810 -498 4 -1,030 -332 -975 -245 -814 -1,591 -1,115 -1,188 -1,567 -1,026 -871 -743 -640 -537 其中，表 1 中每列分量除以总数 N ，即可得到 s 和i 以及 ds dt 和 di 的离散值。 dt 和 di 于是对和的计算，就转化为利用第t 天的 s 和i 以及 ds dt dt 天对应的和的离散值，同理我们可求得其他三个国家的和的离散值（具体表格见附录）。的离散值计算出当表 2：和的离散值  2.000000 1.016949 0.325581 0.223301 0.131579 0.215385 0.081481 0.257669 0.071006 0.291866 0.060465 0.054545 0.098712 0.078189  1.000000 0.508475 0.01162 0.058252 0.035088 0.092308 0.044444 0.085890 0.035503 0.100478 0.032558 0.031818 0.042918 0.03703 Sum t 148 150 156 161 164 168 171 175 178 182 184 186 189 192 t 0 3 4 5 9 10 11 16 19 26 30 32 39 44  0.143146 0.083748 0.188661 0.251956 0.133717 0.103756 0.139909 0.131860 0.101180 0.104582 0.069060 0.051410 0.071051 0.060464  0.048928 0.029446 0.040730 0.079849 0.060235 0.020156 0.040858 0.039521 0.027768 0.024589 0.021752 0.017039 0.017659 0.020422

53 62 66 72 75 80 88 94 102 108 109 114 117 119 122 126 129 131 134 136 139 141 143 146 0.016327 0.155556 0.187702 0.149718 0.244292 0.12025 0.26325 0.120200 0.380764 0.161137 0.073198 0.145228 0.107824 0.066789 0.099917 0.135299 0.148611 0.13973 0.08942 0.054525 0.065476 0.092658 0.107193 0.087946 0.008163 0.062963 0.06148 0.022599 0.05251 0.044304 0.160985 0.001669 0.169960 0.06042 0.023649 0.066390 0.027672 0.025618 0.009992 0.04308 0.067361 0.038054 0.026300 0.016301 0.02813 0.028354 0.035731 0.037500 196 198 203 208 210 215 221 224 226 231 233 238 240 245 252 259 266 273 280 287 294 301 308 0.120378 0.056761 0.123152 0.105437 0.033822 0.172986 0.066419 0.038187 -0.000301 0.073060 0.023035 0.064378 0.015960 0.051083 0.092797 0.062145 0.063861 0.080371 0.050777 0.041982 0.034889 0.029461 0.024307 0.053031 0.014667 0.055241 0.033633 0.006624 0.012555 0.004823 0.007975 -0.017410 0.014186 0.001179 0.016045 0.002541 0.014434 0.022222 0.017724 0.028329 0.034518 0.015688 0.015906 0.009110 0.009759 0.007650 在已经得到了和关于t 的离散点后，查找三个国家的人口数量 [3][4][5] ，可以得知几内亚人口总数为 10057975 人，利比里亚的人口总数为 3955000，塞拉利昂的人口总数为 6440053 人。算得三个国家总人数 N =20453028 人。根据数据我们用 MATLAB 拟合，得到三个国家以及它们总的的拟合图(分别为 Sum, Guinea, Liberia, Sierra Leone)：

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